Презентация на тему "Решение уравнений и систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований"

• 1 слайд

  Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований.
  Выполнила:
  учитель математики СШ №9 Н.Г. Распутина
  

• 2 слайд

  𝑥+𝑦=5 𝑥𝑦=6
  
  Пример 1. Решить систему.
  𝑥=5−𝑦 − 𝑦 2 +5𝑦=6
  −𝑦 2 +5𝑦−6=0
  D=25-24=1
  𝑦 1 = −5−1 2 =3 , 𝑥 1 =2
  𝑦 2 = −5+1 2 =2 , 𝑥 2 =3
  Ответ: 𝑥 1 =2 𝑦 1 =3 𝑥 2 =3 𝑦 2 =2
  

• 3 слайд

  Если х, у удовлетворяют равенствам х + у = -р, ху = q, то х и у - корни уравнения z2 + pz + q = 0.
  Применение этой теоремы к искомым числам х и у позволяет утверждать, что х и у - корни уравнения z2 - 5z + 6 = 0.
  После решения этого уравнения можем записать ответ:
   
  𝑥 1 = 𝑧 1 𝑦 1 = 𝑧 2 𝑥 2 = 𝑧 2 𝑦 2 = 𝑧 1
  т.е.
  𝑥 1 =3 𝑦 1 =2 и 𝑥 2 =2 𝑦 2 =3
  
  

• 4 слайд

  𝑥+𝑦+𝑧=6 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=11 𝑥𝑦𝑧=6
  Пример 2.
  Система содержит три переменных, поэтому, скорее всего, имеет смысл применить теорему, обратную теореме Виета для многочлена третьей степени: "Если х, у, z удовлетворяют равенствам
  х + у + z = -р, ху + yz + xz = q, xyz = -г, то x,y,z - корни уравнения
  u3 + pu2 + qu + г = 0"
  Следовательно, x,y,z - корни уравнения u3 – 6u2 + 11u — 6 = 0
  

• 5 слайд

  𝑢 1 =1, 𝑢 2 =2, 𝑢 3 =3
   
  Запишем ответ:
  𝑥 1 =1 𝑦 1 =2 𝑧 1 =3 𝑥 2 =1 𝑦 2 =3 𝑧 2 =2 𝑥 3 =2 𝑦 3 =1 𝑧 3 =3 𝑥 4 =2 𝑦 4 =3 𝑧 4 =1 𝑥 5 =3 𝑦 5 =1 𝑧 5 =2 𝑥 6 =3 𝑥 6 =2 𝑥 6 =1
  
  

• 6 слайд

  𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 2𝑥+3𝑦+5𝑧=10
  
  Пример 3.
  Покажем, что каждая из этих ассоциаций приводит к решению.
  
    𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
  𝑥 2 − 𝑦+𝑥 𝑥+ 𝑦 2 −𝑦𝑧+ 𝑧 2 =0
  D= 𝑦 2 +2𝑦𝑧+ 𝑧 2 −4 𝑦 2 +4𝑦𝑧−4 𝑧 2 =−3 (𝑦−𝑧) 2 ,
  −3 (𝑦−𝑧) 2 ≤0
  
  𝐷≤0, следовательно 𝑦=𝑧, тогда 𝑥=𝑦
  

• 7 слайд

  𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −𝑥𝑦−𝑦𝑧−𝑧𝑥=0
  2𝑥 2 +2 𝑦 2 +2 𝑧 2 −2𝑥𝑦−2𝑦𝑧−2𝑧𝑥=0
  (𝑥−𝑦) 2 + (𝑦−𝑧) 2 + (𝑧−𝑥) 2 =0 (1)
  т.к. (𝑥−𝑦) 2 ≥0, (𝑦−𝑧) 2 ≥0, (𝑧−𝑥) 2 ≥0, то равенство (1) возможно лишь в случае 𝑥−𝑦=𝑦−𝑧=𝑧−𝑥=0, т.е. 𝑥=𝑦=𝑧
  
  

• 8 слайд

  𝑥 2 + 𝑦 2 ≥2𝑥𝑦
  𝑦 2 + 𝑧 2 ≥2𝑦𝑧
  𝑥 2 + 𝑧 2 ≥2𝑥𝑧
  Сложим почленно эти неравенства
  2𝑥 2 +2 𝑦 2 +2 𝑧 2 ≥2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥
  𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
  Равенство возможно в том и только в том случае, если 𝑥=𝑦=𝑧
  
  Далее как в (1) и (2) Приходим к системе:
  𝑥=𝑦=𝑧 2𝑧+3𝑦+5𝑧=10
  Решая ее, находим 𝑥=𝑦=𝑧=1,
  Ответ:
  𝑥=1 𝑦=1 𝑧=1
  

• 9 слайд

  Пример 4.
  1 4 (𝑥−𝑦) 2 − (𝑥−𝑦) 4 = 𝑦 2 −2 𝑥 2 𝑦>4 𝑥 4 +4𝑦 𝑥 2 + 1 2
  
  Выделим полный квадрат и преобразуем исходную систему к следующему виду:
  
  1 16 − 𝑥−𝑦 ²− 1 4 ² = 𝑦 2 −2 𝑥 2 𝑦>4 𝑥 4 +4𝑦 𝑥 2 + 1 2
  

• 10 слайд

  Если ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ) – решение системы, то
  
  1 16 − ( ( 𝑥 0 − 𝑦 0 ) 2 − 1 4 ) 2 = 𝑦 0 2 −2 𝑥 0 2 𝑦 0 >4 𝑥 0 2 +4 𝑦 0 𝑥 0 2 + 1 2
  
  Тогда
  
  1 16 − ( ( 𝑥 0 − 𝑦 0 ) 2 − 1 4 ) 2 + 𝑦 0 > 𝑦 0 2 −2 𝑥 0 2 +4 𝑥 0 2 +4 𝑦 0 𝑥 0 2 + 1 2
  

• 11 слайд

  Теперь ясно, что неравенство (2) равносильно системе:
  1 16 − ( ( 𝑥 0 − 𝑦 0 ) 2 − 1 4 ) 2 = 1 16 𝑦 0 + 4 𝑥 0 2 −1 2 =0
  𝑥 0 − 𝑦 0 = 1 2 𝑦 0 + 4 𝑥 0 2 −1 2 =0
  𝑥 0 − 𝑦 0 =1 𝑦 0 +4 𝑥 0 2 − 1 2 =0
  𝑥 0 − 𝑦 0 =− 1 2 𝑦 0 + 4 𝑥 0 2 −1 2 =0
  𝑦 0 = 𝑥 0 − 1 2 𝑥 0 − 1 2 + 2 𝑥 0 2 −1 2 =0
  

• 12 слайд

  𝑥 0 =−1 𝑦 0 =− 3 2 𝑥 0 = 1 2 𝑦 0 =0 𝑥 0 =0 𝑦 0 = 1 2 𝑥 0 =− 1 2 𝑦 0 =0 (3)
  Итак, все решения системы (1) содержатся среди решений совокупности (3)
  

• 13 слайд

  Подстановкой убеждаемся, что решением исходной системы являются:
  
  𝑥 1 =−1 𝑦 1 =− 3 2 𝑥 2 =0 𝑦 2 = 1 2
  

• 14 слайд

  Спасибо за внимание!
  Всем творческих успехов!