Презентация "Оригами и геометрия"

• 1 слайд

  Оригаметрия
  учитель математики
  
  Утева Любовь Петровна
  
  МКОУ «Новоповалихинская ООШ»
  С.Новоповалиха Первомайский район Алтайский край
  

• 2 слайд

  История оригами
  История возникновения оригами и геометрии.
  Официальной датой “появления” бумаги в Китае считается 105 г. до н.э. А в 610 году японцы уже производят собственную бумагу, которая по качеству превосходит китайскую. Первая крупная бумажная фабрика в Токио возникла в 1870году.
  В древности, в Китае бумагу использовали в религиозных обрядах. Не случайно первые оригами появляются в храмах. Один из ритуалов с их использованием состоял в изготовлении коробочек санбо, которые наполняли кусочками рыбы и овощей, для жертвоприношения богам. Это искусство в Японии стало традицией, которая передавалась из поколения в поколение, в основном по женской линии. Первым японским изданием по оригами считается книга “Сенбадзуру ориката” (1797г., “как сложить тысячу журавлей”). Автором считается настоятель храма Рокан. Во второй половине XIX века оригами вышло за границы Японии. В России так получилось, что большинство взрослых оригамистов - педагоги, а юные складыватели - их ученики. Оригами распространяется среди преподавателей и рассматривается как прием обучения и развития учащихся. Самые крупные центры оригами в России находятся в Москве и Санкт-Петербурге.
  

• 3 слайд

  ОРИГАМИ + ГЕОМЕТРИЯ= ОРИГАМЕТРИЯ
  Оригаметрия - это сочетание оригами и геометрии, которое несет в себе оригинальность другого подхода к геометрическим задачам.
  Геометрия в первоначальном своем значении понималась как наука о фигурах, о взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. История геометрии теряется в глубокой древности, но колыбелью ее, несомненно, является Восток. Геометрические сведения и факты в основном сводились к правилам о вычислении площадей и объемов, и надо полагать, что эти правила носили больше эмпирический, чем логический характер. В VII в. до н. э. геометрические сведения были, по мнению греческих историков, перенесены из Египта и Вавилонии в Грецию. Греческие философы стали знакомиться с египетской и вавилонской мудростью. С этого времени начинается период развития геометрии – период систематического изложения геометрии как науки, где все предложения доказывались. Само название "оригами" происходит от двух японских слов "ори" и "ками" и в буквальном переводе означает "сложенная бумага". И это не случайно, так как сгибание является простейшей операцией с листком бумаги, которая не требует от человека никаких навыков, кроме воображения и, как не странно, эта простейшая операция порождает своеобразную геометрию, не менее богатую, чем геометрия циркуля и линейки. Сначала кажется, что возможности перегибания включают в себя всю геометрию одной линейки, однако это ошибка. В некоторых случаях складки таят в себе также возможности циркуля, хотя и не позволяют проводить непосредственно дуги окружности. И чем дальше погружаешься в эту необычную геометрию, тем все больше приходишь в восхищение от разнообразия забавных и серьезных задач, которые удается решить. С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.
  

• 4 слайд

  Используемые термены
  

• 5 слайд

  Условные знаки, принятые в оригами
  надуть
  Держать здесь
  

• 6 слайд

  Схемы базовых форм
  дом
  книга
  дверь
  катамаран
  птица
  лягушка
  рыба
  Воздушный
  змей
  треугольник
  блинчик
  Двойной
  треугольник
  Двойной квадрат
  

• 7 слайд

  Базовые формы
  1.Перегните квадрат по диагоналям. Переверните изделие.
  3.Надавите на середину квадрата. Вогните боковые треугольники, складывая их пополам. При этом верхняя часть квадрата согнется на другую сторону.
  4.Перелистните изделия, меняя треугольники местами.
  2.Теперь перегните пополам, совмещая верхнюю и нижнюю стороны.
  Двойной треугольник
  4
  1
  2
  3
  4
  

• 8 слайд

  Базовые формы
  1.Квадрат расположите ромбиком. Перегните его по диагонали.
  Воздушный змей
  2.От вершины верхнего к линии перегиба опустите боковые стороны.
  

• 9 слайд

  Базовые формы
  1.Квадрат перегибается по диагоналям дважды. Как вариант - дважды можно перегнуть книжкой. В итоге наметится центр квадрата.
  
  блинчик
  2.Все углы по очереди опускаются к центру квадрата.
  1
  2
  

• 10 слайд

  Базовые формы
  1.Квадрат перегнуть книжкой.
  дверь
  2.От вершины верхнего к линии перегиба опустите боковые стороны.
  1
  2
  

• 11 слайд

  Базовые формы
  1.Квадрат нужно перегнуть дважды пополам, совместив противоположные стороны. переверните изделие.
  3.Надавите на середину квадрата. Вогните боковые треугольники, складывая их пополам. При этом верхняя часть квадрата согнется на другую сторону.
  2.Перегните квадрат по диагоналям.
  Двойной квадрат
  1
  2
  3
  

• 12 слайд

  Базовые формы
  1.Сложите из квадрата базовую форму воздушный змей, переверните изделие.
  3.Вытяните угол кармана вверх.
  4.Втяните угол второго кармана
  5.Захватив один слой, согните его вверх.
  6.Переверните.
  Рыба
  1
  3
  4
  5
  6
  2
  Согните, совмещая вершины верхнего и нижнего углы.
  Рыба (способ 2)
  

• 13 слайд

  Базовые формы
  Разверните базовую форму Воздушный змей
  3.Квадрат перегните по второй диагонали.
  4.Защипните боковые углы (складывая их пополам по линии диагонали) и согните их кверху, закрывая фигурку по линиям ромба.
  2.Сложите второй Воздушный змей (уже снизу). При этом нужно опустить нижние боковые стороны квадрата к линии
  Рыба (способ 2)
  1
  2
  3
  4
  

• 14 слайд

  Базовые формы
  1.Квадрат положить прямо перед собой, согнуть пополам.
  3.Перегнуть боковые части, опустив короткие стороны к середине.
  4.Боковые карманы раскрыть и расплющить.
  5.Те же действия с другой стороны.
  Домик
  2.Полученный прямоугольник нужно перегнуть пополам, совместив короткие стороны.
  1
  2
  3
  5
  6
  

• 15 слайд

  Базовые формы
  1.Сложите базовую форму Двойной квадрат. Согните стороны от раскрывающегося угла к линии перегиба.
  ..
  3Разогните уголки.
  4.Поднимите вверх нижнюю часть, захватывая один слой бумаги и придерживая глухой угол..
  5.Боковые части при этом должны оказаться в центре.
  6.Переверните изделие.
  птица
  2. Глухой угол согните.
  птица (способ 2)
  7.Перегните глухой и боковые углы.
  8.Раскройте карман, вытягивая нижнюю часть вверх.
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  

• 16 слайд

  Базовые формы
  Сложите базовую форму Двойной квадрат. Перегните эту форму, опуская стороны от раскрывающегося углы к линии перегиба. Вогните боковые части внутрь.
  3.Теперь поднимите нижний угол вверх.
  птица
  2.Повторите с другой стороны.
  птица (способ 2)
  1
  2
  3
  

• 17 слайд

  Базовые формы
  1.Из квадрата сложите базовую форму Дверь и переверните..
  3.Перегните нижнюю часть.
  Раскройте карманы и расплющите их, совместив верхние стороны со сторонами, поднимаемыми от середины, вытягивая нижние углы в стороны.
  5.Получилась лодочка. Переверните изделие.
  6.Перегните изделие, совмещая верхние и нижние стороны.
  катамаран
  2.Изделие согните пополам.
  катамаран (способ 2)
  7.Раскройте карманы, получая вторую лодочку.
  

• 18 слайд

  Базовые формы
  1.Вогните углы внутрь.
  3.Вытягивая углы, сложите вторую лодочку.
  4.Полученное изделие - базовая форма Катамаран в развернутом виде. Нужно согнуть верхнюю часть от себя.
  2.Согните нижнюю часть, вытянув углы в стороны, при этом нижний угол втягивается внутрь.
  катамаран (способ 2)
  1
  2
  3
  4
  

• 19 слайд

  Базовые формы
  1.Сложите базовую форму квадрат и переложите её глухим углом вниз. Правую нижнюю сторону перегните к центральной вертикали. Повторите сзади то же самое
  3.Проверьте результат и перелистните фигурку спереди и сзади перекиньте её правую половинку налево
  4.Перегните левую нижнюю сторону к центральной вертикали. Расплющите карман и повторите сзади
  5.Проверьте результат. Спереди и сзади перегните две верхние стороны к центральной вертикали
  6.В центре подхватите край бумаги и начните тянуть его вниз. Посмотрите внимательно, через какие точки проходит горизонтальная линия сгиба. Верхние боковые стороны сходятся к центральной вертикали, и получается неправильный ромбик. Повторите то же самое сзади.
  лягушка
  2.Спереди и сзади раскройте и расплющите карманы(намеченная линия долина становится горой)
  7.Проверьте результат и снова перелистните фигурку
  8.Спереди и сзади повторите 5-6
  

• 20 слайд

  Оригами и геометрия
  Доказательство теорем
  Устные упражнения
  Решение задач
  Изображение фигур
  Аксиомы оригаметрии.
  

• 21 слайд

  ФИГУРЫ
  плоские
  объёмные
  

• 22 слайд

  Аксиомы оригаметрии.
  Для построения теории используется система аксиом. Действительно, аксиомы оригаметрии существуют! Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита.
  
  
  Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.
  Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.
  Аксиома 3. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.
  Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.
  Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.
  Аксиома 6. Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.
  A
  B
  A
  B
  a
  b
  a
  A
  A
  a
  b
  A
  B
  

• 23 слайд

  Устные упражнения
  тема «Равнобедренный треугольник».
  тема «Углы».
  тема« Свойства площади»
  тема «Четыре замечательные точки треугольника».
  

• 24 слайд

  Решение задач с помощью оригами.
  
  Любая оригамская задача состоит:
  1. Из постановки задачи.
  2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.
  3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
  Примеры задач:
  При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.
  Построение серединного перпендикуляра к отрезку
  Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.
  Построение правильного треугольника
  Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и
  перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М.
  Доказать, что MD //AB.
  
  Задача 5.
  

• 25 слайд

  Доказательство теорем
  В прямоугольном треугольнике против угла 300 лежит катет, равный половине гипотенузы.
  Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  
  Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух
  параллельных прямых секущей, равны.
  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
  
  

• 26 слайд

  Тема «Четыре замечательные точки треугольника».
  
  биссектрисы
  высоты
  срединные перпендикуляры
  медианы
  Задание 4
  

• 27 слайд

  Задача 4. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.
  
  Используя чертёж рис.5, можно записать
  ВАС-равносторонний, значит
  тогда
  Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.
  Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.
  Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.
  Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.
  

• 28 слайд

  Задача.1 Построение правильного треугольника
  A B C D E
  A1 B1 C1 D1 E1
  B C
  B1 C1 D1 E1
  A B C D E
  A1 B1 C1 D1 E1
  A B C D E
  A1 B1 C1 D1 E1
  A
  E
  E
  K1
  K1
  K1
  K
  D
  A1
  D
  Имеем
  
  
  
  
  (по катету и острому углу)
  
  
  

• 29 слайд

  Задача 2
  Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и
  перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М.
  Доказать, что MD //AB.
  
  Решение :
  Возьмем лист бумаги, имеющий форму производного треугольника.
  Проведем биссектрису AD, согнув лист так, чтобы сторона АС совместилась со стороной АВ.
  Наметим середину АD, совместив точки А и D. Проведем ОМ, перпендикулярную AD.
  Согнем лист по линии MD.
  Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD //АВ
  
  

• 30 слайд

  Задача 3. Построение серединного перпендикуляра к отрезку
  если взять на листке отрезок и согнуть лист так, чтобы концы отрезка соединились, а потом разгладить лист аккуратненько на парте, то перегиб образует срединный перпендикуляр к исходному отрезку
  

• 31 слайд

  Сложите по предложенной схеме тропическую рыбку. В процессе работы постарайтесь ответить на следующие вопросы:
  1. Какой треугольник представляет собой лист бумаги, из которого складывают рыбку?
  2. Определите величины всех углов этого треугольника.
  3. Сколько треугольников вы получили на рисунке 2 схемы сборки? Определите вид этих треугольников.
  4. На рисунке 4 схемы сборки укажите равнобедренные треугольники. Сколько их на этом этапе сборки фигурки. Определите углы этих треугольников.
  5. На рисунке 5 схемы сборки определите вид треугольника DMP.
  6. На рисунке 8 схемы сборки модели назовите все треугольники. Определите их вид.
  Задание 2. Тема «Равнобедренный треугольник».
  

• 32 слайд

  Задание 1. «Тема «Углы».
  Сложи фигурку совы:
  1. Сложите базовую форму - треугольник (рис.1 схемы сборки модели). Назовите все углы на этом рисунке. Укажите их вершину и стороны.
  2. Какие углы у вас получились на рисунке 2?
  3. Чем является АС для углов ДАВ и ВСД? Почему?
  4. Равны ли углы ЕАД и ЕСМ?
  5. На рисунке 2 найдите все смежные углы.
  6. На рисунке 3 сколько углов получилось? Какие из них тупые углы?
  7. На рисунке 5 найдите развернутый угол и смежные углы.
  8. Какие углы на рисунке 5 являются тупыми?
  Нарисуйте на полученной модели физиономию совы и игрушка готова.
  9. Какие углы вы видите на готовой модели? Обозначьте их .
  

• 33 слайд

  тема « Свойства площади»
  Перегните квадрат по диагонали. Будут ли равны площади полученных треугольников? Почему? Будут ли равны периметры? Почему?
  Перегните квадрат по средней линии. Будут ли равны площади полученных прямоугольников? Почему? Будут ли равны периметры? Почему?
  Сформулируйте свойство площадей равных фигур.
  Найдите центр квадрата. Соедините вершины квадрата с его центром. Разверните квадрат. Что можно сказать о площади четырехугольника, который получился внутри квадрата и площадях треугольников по краям?
  Сформулируйте свойство площади фигуры, составленной из нескольких фигур.
  Задание 3
  

• 34 слайд

  квадрат
  

• 35 слайд

  Правильный пятиугольник
  

• 36 слайд

  Правильный шестиугольник
  

• 37 слайд

  Правильный треугольник
  

• 38 слайд

  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
  
  M
  A
  B
  N
  K
  C
  M
  N
  K
  B(AC)
  Согните треугольник по средним линиям
  MN и NK
  Острые углы без наложений составляют прямой угол, который равен 900.
  

• 39 слайд

  Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 300 лежит катет, равный половине гипотенузы.
  AМР =  МРК (совпадают при наложении),
  значит АМ=МК и КD = КМ, КD =0,5 AK
  A
  D
  C
  B
  A
  C
  D
  B
  A
  A
  B
  B
  C
  C
  D
  N
  N
  K
  A
  B
  C
  K
  M(D)
  A
  B
  C
  K
  M
  A
  B
  M
  P
  B
  M
  N
  C
  A,K
  P
  D
  

• 40 слайд

  Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  
  Доказательство: возьмём лист бумаги ,имеющий форму произвольного треугольника
  1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).
  
  
  
  
  
  2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.
  
  
  
  
  22
  3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.
  1
  2
  1
  2
  3
  3
  

• 41 слайд

  Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух
  параллельных прямых секущей, равны.
  
  1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.
  2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.
  3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
  

• 42 слайд

  Модульное оригами
  Куб
  1.Квадрат перегните по диагоналям.
  Нужно: 6 квадратов одного размера и цвета (окрашенных с одной стороны).
  2.Два противоположных угла согните к центру.
  3.Уголки согните от центра (можно отогнуть углы) и наружные углы горой. Переверните изделие.
  4.Верхний и нижний углы согните.
  5.Согните боковые стороны.
  6.Боковые части согните горой, так, чтобы средняя часть имела форму квадрата.
  7.Соедините все детали, как показано на схеме (боковые части крайних деталей помещайте внутрь центральных деталей).
  

• 43 слайд

  Куб из квадратов
  Сложите базовую форму Блинчик, а затем разверните.
  Углы согните к линии перегибов.
  Соедините по линиям перегибов.
  Переверните изделие.
  Боковые стороны опустите.
  Углы вогните.
  Потяните наружные углы в стороны, опуская средние части.
  Противоположные углы перелистните.
  Сложите 6 таких деталей.
  Модульное оригами
  Детали соедините, помещая углы в карманы и выполняя сгибы горой по ребрам куба.
  

• 44 слайд

  тетраэдер
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  

• 45 слайд

  куб
  1
  2
  4
  3
  10
  9
  8
  7
  6
  5
  12
  11
  

• 46 слайд

  ромб
  

• 47 слайд

  пирамида
  

• 48 слайд

  Задача 5:
  Четыре сестры решили заняться цветоводством. На дачном участке бабушка отгородила им квадратный участок земли и сказала разделить его на четыре части равной площади, чтобы никому не было обидно. Сели сестры на крылечко, взяли каждая в руки бумажный квадрат и стали решать бабушкину задачу. Каждая придумала свой вариант раздела участка. А сколько вариантов придумаете вы?
  Реши самостоятельно!
  

• 49 слайд

  Ресурсы Интернет
  
  http://www.origami.ru/
  http://www.origami-paper.ru/
  http://www.vsakura.ru/art/origami.aspx
  http://podelki-shop.ru/origami/origami-uslovnye-znaki-i-bazovye-formy
  http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature09.html
  http://www.origami.kulichki.ru/modules.php?name=Pages&go=page&pid=2