Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Периодические функции в технике
2 слайд
Математика – одна из древнейших наук. За долгую историю своего существования она знала периоды расцвета и длительного застоя. В наши дни эта наука развивается исключительно быстро.
Чрезвычайно расширились связи математики с другими науками. Теперь она с успехом используется и в таких областях научного знания, о которых ещё недавно думали, что они не допускают внедрения математических методов. Такое мнение существовало о биологии, медицине, языкознании и некоторых отраслях общественных наук.
Возможности использовать математику для решения практических задач промышленности, сельского хозяйства и транспорта ныне представляются неограниченными.
3 слайд
Они внесли особый вклад в развитие математики!
Л.В. Канторович
Выдающийся советский математик, ныне академик, разработал метод линейного программирования в 30-х годах.
А.Н. Колмогоров
Герой Социалистического Труда, академик. Создал новую область математики -теорию информации.
А.Н. Крылов
Российский математик, академик Герой Социалистического Труда. Впервые в истории науки сформулировал один из принципов вычислительной культуры.
4 слайд
Периодические процессы
В природе и технике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются по истечении некоторого промежутка времени.
Например, если маятник делает одно полное колебание за Т секунд, то его отклонение от положения равновесия в моменты времени t, t+T, t+2T и т.д. будет одним и тем же.
Периодически с периодом в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца.
С периодом в 1 лунный месяц меняются фазы Луны.
Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.
5 слайд
Периодические функции
Определение 1:
Число T называют периодом функции f, если для любого t, при котором эта функция определена, выполняются равенства
Заметим, что число 0 является периодом любой функции. Периодическими являются, например, тригонометрические функции
y= sin x, y=cos x и др.
6 слайд
Теорема 1.
Если T- период функции f, то –T тоже является периодом этой функции. Если Т1 и Т2 – периоды f, то и Т1 + Т2 – период той же функции.
Доказательство.
Первое утверждение вытекает из того, что равенство
числа T и –Т входят равноправно. Второе же утверждение следует из того, что
и аналогично
7 слайд
Следствие.
Если Т-период функции f, то при любом целом значении n число nT также является периодом этой функции.
Доказательство.
Пусть n –натуральное число.
При n=1 истинность следствия вытекает из того, что T – период функции f.
Если kT –период этой функции, то по второму утверждению той же теоремы и kT+T=(k+1)T является ее периодом.
С помощью математической индукции убеждаемся в справедливости следствия для всех натуральных, а следовательно, и для всех целых значений n.
8 слайд
Определение 2:
Функцию f называют периодической, если она имеет хотя бы один отличный от нуля период.
Если Т – положительный период функции f и известен график этой функции на каком-либо промежутке [a;a+T), то можно получить ее график на всей числовой оси с помощью параллельных переносов вдоль оси абсцисс на kT, где k Z. Обычно выбирают a=0 или
Если функция f постоянна, то любое число является ее периодом. Можно доказать, что если функция f отлична от постоянной, непрерывна и периодична, то среди ее положительных периодов есть наименьший.
9 слайд
Определение 3:
Наименьший положительный период функции называется основным периодом этой функции.
Пример 1.
Докажем, что функция {x} (дробная часть x) периодична, и найдем ее основной период.
Решение. От прибавления к x целого числа дробная часть x не меняется. Поэтому любое отличное от нуля целое число является периодом функции y={x}. Наименьшим из положительных целых чисел является 1.
Докажем, что число 1 – основной период функции {x}. Для этого достаточно показать, что ни одно положительное число T меньшее, чем 1, не может быть периодом функции y={x}. Но при x=0 имеем {x}=0, а {x+T} = {T} = T 0 (поскольку 0<T<1).
Значит, равенство {x}={x+T} не выполняется при x=0, и поэтому T не является периодом функции {x}. Это и означает, что основной период функции y={x} равен 1.
10 слайд
Теорема 2:
Если Т- основной период функции f, то все остальные периоды той же функции кратны Т.
Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно провести доказательство для положительных периодов функции f. Если Т1 – такой период, то он не может быть меньше Т, так как Т-наименьший из положительных периодов функции f. Но если Т1 Т, то найдется такое натуральное число n, что nT T1<(n+1)T. Из теоремы 1 и ее следствия вытекает, что –nT, а потому и Т1-nT – период функции f. Но 0 Т1 – nT<Т, а из сказанного выше следует, что период Т1-nT не может быть положительным и меньшим, чем Т. Значит, Т1 – nT = 0, т.е. Т1=nT.
11 слайд
Примеры периодических функций
Функция y= [x]=x- {x}, где каждому числу x ставится в соответствие целая часть.
12 слайд
Функция y = {x}, периодическая функция, основной период которой равен 1.
13 слайд
Функции cos t и sin t – периодические функции
Основной период данных функций равен
В самом деле, точки М(t), N(t+ ) и P(t- ) совпадают, а потому имеют одни и те же координаты. Так как декартовы координаты точки M(t) равны cos x и sin x и аналогично для двух других точек, то имеем:
(1)
(2)
14 слайд
Равенства (1), (2) доказывают, что - один из положительных периодов функций cos t и sin t. Докажем, что у этих функций нет положительных периодов, меньших, чем .
В самом деле, если бы Т, где 0<T< , было бы периодом для функции cos t, то при t=0 должно было выполняться равенство cos T=cos 0=1. Но на координатной окружности есть лишь одна точка с абсциссой 1, а именно начало отсчета А(0)=А(1;0). Она соответствует числам вида n, n Z. Поскольку 0<T< , то Т не имеет такого вида и потому равенство cos T=1 ложно. Этим доказано, что функция cos t не имеет положительных периодов, меньших, чем , а потому является основным периодом этой функции.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 665 111 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Рыкунова Ариадна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.