• 

  1 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
  Презентация к уроку алгебры и начала анализа в 10 классе по учебнику А. Н. Колмогорова.
  
  Учитель математики МБОУ СОШ № 31 с. Шаумян Туапсинского района Краснодарского края Зайцева Н.М.
  

• 

  2 слайд

  Расскажи – и я забуду
  Покажи – и я запомню
  Дай мне сделать самому – и я научусь.
  Китайская мудрость
  

• 

  3 слайд

  Цель урока:
  Обобщить теоретические знания по данной теме.
  Закрепить основные способы решения тригонометрических уравнений
  Научиться подбирать правильный способ к решению определённого вида уравнения
  

• 

  4 слайд

  Каково будет решение уравнения cos x = a при ‌ а ‌ > 1
  5. Каково будет решение уравнения sin x = a при ‌ а ‌ > 1
  2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?
  6.При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?
  Какой формулой выражается это решение?
  7. Какой формулой выражается это решение?
  4.На какой оси откладывается значение а при решении
  уравнения cos x = a ?
  Блиц - опрос
  8. На какой оси откладывается значение а при решении
  уравнения sin x = a ?
  

• 

  5 слайд

  9. Каким будет решение уравнения cos x = 1?
  10. Каким будет решение уравнения cos x = -1?
  11. Каким будет решение уравнения sin x = 1?
  12. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
  13. Каким будет решение уравнения cos x = 0?
  14. Каким будет решение уравнения sin x = 0?
  15. Какой формулой выражается решение уравнения tg x = а?
  16. Какой формулой выражается решение уравнения
  сtg x = а?
  

• 

  6 слайд

  Некоторые типы тригонометрических уравнений.
  Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cos х = t, sin х = t.
  Asin2 x + B cosx + C = 0
  A cos2 x + В sinx + C = 0
  Решаются методом введения новой переменной.
  2.Однородные уравнения первой и второй степени.
  I степени. A sinx + B cosx = 0 : cosx
  A tg x + B = 0
  II степени. A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x
  A tg2 x + B tgx + C = 0
  Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.
  
  3. Уравнение вида:
  А sinx + B cosx = C. А, В, С  0
  Применимы все методы.
  

• 

  7 слайд

  4. Понижение степени.
  
  А cos2x + В = C.
  A cos2x + B = C.
  Решаются методом разложения на множители.
  
  A sin2x + B = C.
  A sin2x + B = C.
  Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).
  
  

• 

  8 слайд

  Формулы.
  
  
  a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где
  sin =
  cos =
   - вспомогательный аргумент.
  Универсальная подстановка.
  х   + 2n; Проверка обязательна!
  Понижение степени.
  = (1 + cos2x ) : 2
  = (1 – cos 2x) : 2
  Метод вспомогательного аргумента.
  

• 

  9 слайд

  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным
  Пример1. 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥−1=0
  sinx=y, 𝑦 ≤1
  2𝑦 2 +𝑦−1=0, 𝑦 1 =−1, 𝑦 2 = 1 2 .
  𝑠𝑖𝑛𝑥=−1 или 𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2
  𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥= −1 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 2 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍,
  𝑥= −1 𝑛 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
  Ответ: − 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 , −1 𝑛 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
  
  Пример 2. 6𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
  6 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 +5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
  6−6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
  6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−5𝑐𝑜𝑠𝑥−4=0, 𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑦, 𝑦 ≤1
  6𝑦 2 −5𝑦−4=0, 𝑦 1 =1 1 3 , 𝑦 2 =− 1 2 .
  Так как 𝑦 ≤1, то 𝑐𝑜𝑠𝑥=− 1 2 ,
  𝑥=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − 1 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍,
  𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  Ответ: 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  
  
  
  

• 

  10 слайд

  Пример 3. tgx+2ctgx=3.
  tgx+ 1 tgx =3, tgx=y,
  𝑦+ 1 𝑦 =3,
  𝑦 2 −3𝑦+1=0 при 𝑦≠0,
  у = 1 или у = 2
  𝑡gx = 1 𝑡g𝑥=2
  𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
  x= 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  Ответ: 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
  
  
  

• 

  11 слайд

  2.Однородные уравнения первой и второй степени.
  Пример 4. 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
  Так как sinx и cosx не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1. Следовательно, при делении
  уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.
  Разделим обе части уравнения на cosx, получим
  tgx=2,
  𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡g 2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑡g 2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  Пример 5. 3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0, разделим на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥, получим
  3𝑡g 2 𝑥−4𝑡gx+1=0, tgx=y,
  3𝑦 2 −4𝑦+1=0,
  y = 1 или 𝑦= 1 3 ,
  tgx=1 𝑡g𝑥= 1 3
  x=arctg1+π𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡g 1 3 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  x= 𝜋 4 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍
  Ответ: 𝜋 4 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍 ; 𝑎𝑟𝑐𝑡g 1 3 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  

• 

  12 слайд

  Пример 6. 6𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=1.
  Заменим 1 в правой части уравнения на 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. После преобразований, получим 5𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0. Далее решаем, как в примере 5, получим 𝑡g𝑥= 1 5 или 𝑡g𝑥=−1,
  𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 5 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −1 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍,
  x=− 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
  Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 5 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
  3.Метод разложения на множители.
  Пример 7. 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥=0.
  𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
  𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥 =0,
  𝑠𝑖𝑛𝑥=0 или 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
  𝑥=𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 𝑡g𝑥=2,
  𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
  Ответ: 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 ; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
  
  

• 

  13 слайд

  4.Применение формул.
  Пример 8. cos6x + cos2x = 0
  Применим формулу 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 , получим
  2cos4xcos2x =0,
  cos4x = 0 или cos2x = 0,
  4𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 2𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍,
  𝑥= 𝜋 8 + 𝜋𝑛 4 , 𝑛𝜖𝑍 𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘𝜖𝑍,
  Ответ: 𝜋 8 + 𝜋𝑛 4 , 𝑛𝜖𝑍 , 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘𝜖𝑍,
  Закрепление изученного. Решить № 165(б), 167(а)
  
  Задание на дом: п.11 №164(б,г) 165(в,г), 166(а), 167(б).
  

• 

  14 слайд

  Спасибо за урок!
  

Краткое описание материала