Презентация по алгебре на тему "Тригонометрические функции и их свойства"

• 1 слайд

  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
  

• 2 слайд

  Цель изучения темы:
  Повторить сведения о тригонометрические функции острого угла.
  Ввести тригонометрические функции произвольного угла.
  Познакомить учащихся с тригонометрическими функциями числового аргумента, их графиками и свойствами.
  Знать:
  Уметь:
  Определение функций: sin 𝛼, cos 𝛼, 𝑡𝑔𝛼, 𝑐𝑡𝑔𝛼;
  Формулы перехода углов с радианной меры в градусную и наоборот;
  Изменение знаков тригонометрических функций;
  Свойства тригонометрических функций.
  Определять sin 𝛼, cos 𝛼, 𝑡𝑔𝛼, 𝑐𝑡𝑔𝛼 в зависимости от угла 𝛼;
  Переходить от одной меры измерения углов в другую;
  Строить графики и исследовать тригонометрические функции.
  

• 3 слайд

  Через прямоугольный треугольник
  (для острых углов)
  Определение тригонометрических функций и их простейшие свойства
  sin 𝛼 = 𝑎 𝑐
   
   
  cos 𝛼 = 𝑏 𝑐
  tg 𝛼 = 𝑎 𝑏
  ctg 𝛼 = 𝑏 𝑎
   
  

• 4 слайд

  х
  y
  𝑃 𝛼 (x,y)
  0
  𝑃 0
  𝛼
  sin 𝛼 = 𝑦 𝑟
   
   
  cos 𝛼 = 𝑥 𝑅
  tg 𝛼 = 𝑦 𝑥
  ctg 𝛼 = 𝑥 𝑦
   
  Через ПРОИЗВОЛЬНЫЙ КРУГ
  (r – радиус круга)
  x
  y
  

• 5 слайд

  Через Единичный круг
  (r = 1)
  sin 𝛼 = y
   
   
  х
  y
  𝑃 𝛼 (x,y)
  0
  𝑃 0
  𝛼
  x
  - ордината точки 𝑃 𝛼
  cos 𝛼 = х
  - абсцисса точки 𝑃 𝛼
  tg 𝛼 = 𝑦 𝑥 = sin 𝛼 cos 𝛼
  ctg 𝛼 = 𝑥 𝑦 = cos 𝛼 sin 𝛼
  x
  y
  −1≤𝑠𝑖𝑛𝛼≤1 для любого угла.
  −1≤ cos 𝛼 ≤1 для любого угла.
  Значение тангенса (котангенса) угла может быть любым действительным числом.
  

• 6 слайд

  𝛼
  x
  y
  0
  1
  В
  А(1; у А )
  Наглядное представление тангенса и котангенса на единичной окружности
  tg𝛼= 𝑦 𝐴 1 = 𝑦 𝐴
  - ордината соответствующей точки оси тангенсов.
  сtg𝛼= Х В 1 = Х В
  - абсцисса соответствующей
  точки оси котангенсов.
  𝛼
  x
  y
  0
  1
  С
  В( х В ;1)
  1
  

• 7 слайд

  Знаки тригонометрических функций
  IV
  x
  y
  0
  1
  I
  sin 𝛼
  +
  _
  +
  _
  III
  II
  cos 𝛼
  IV
  x
  0
  1
  I
  _
  +
  +
  _
  III
  II
  y
  tg 𝛼 , ctg 𝛼
  IV
  x
  y
  0
  1
  I
  _
  _
  +
  +
  III
  II
  

• 8 слайд

  Связь между радианной и градусной мерами угла
  1 ° - то угол, равный 1 360 части полного оборота луча вокруг своей начальной точки в положительном направлении (против часовой стрелки).
  1 радиан – это центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна длине радиуса круга.
  А ° = А𝜋 180 рад
  𝛼 рад= 𝛼∙180 𝜋
  1 ° = 60 ′ (60 минут)
  1 ′ = 60′′ (60 секунд)
  B
  ∪𝐴𝐵=𝑅
  𝛼=1
  А
  0
  R
  𝛼
  y
  x
  интересно знать
  В морском деле: румб - это угол, составляет 1 32 часть полного угла.
  В технике: полный оборот - угол 360 °
  В артиллерии: большая деление угломера- 6 ° ;
  Малое деление угломера – 3 ′ 36′′.
  

• 9 слайд

  Четность и нечетность
  Х
  y
  В
  0
  В 0
  𝛼
  x
  y
  -y
  𝛼
  В 1
  Функция у=𝑓 𝑥 называется четной, если для любых значений 𝑥 и (- 𝑥) из области определения выполняется равенство : 𝑓 −𝑥 =𝑓(𝑥).
  График четной функции симметричен относительно оси ординат.
  Функция у=𝑓 𝑥 называется нечетной, если для любых 𝑥 и (- 𝑥) из области определения выполняется равенство : 𝑓 −𝑥 =−𝑓(𝑥).
  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
  cos (−𝑥) = cos 𝑥 − четная;
  sin (−𝑥) = −sin 𝑥 − нечетная;
  𝑡𝑔 −𝛼 =−tgα − нечетная;
  𝑐𝑡𝑔 −𝛼 =−𝑐𝑡𝑔𝛼 − нечетная.
  

• 10 слайд

  Свойства периодических функций
  Функция у=𝑓 𝑥 называется периодической с периодом 𝑇≠0, если для какого - либо 𝑥 из области определения 𝑓 𝑥+𝑇 =𝑓 𝑥−𝑇 =𝑓(𝑥)
  Периодичность тригонометрических функций
  1. Если число 𝑇 – период функции, то и число 𝑛∙𝑇, где 𝑛∈𝑍 − также период этой функции (𝑇 -наименьший период).
  2. Если функция у=𝑓 𝑥 периодическая с периодом 𝑇, то функция 𝑦=𝑎𝑓 𝑘𝑥+𝑏 − также периодическая с периодом 𝑇 𝑘 , где (𝑎, 𝑏, 𝑘 −постоянные числа и 𝑘≠0).
  𝑠𝑖𝑛𝑥= sin 𝑥+2𝜋𝑛 , 𝑛∈𝑍
  𝑡𝑔 𝑥 =𝑡𝑔 𝑥+𝜋𝑛 , 𝑛∈𝑍.
  y=3 cos x 2 + π 3 =3cos⁡( 1 2 x+ π 3 )
  T= 2π 1 2 =4π.
  y=2ctg 3x− π 6 ;T= π 3
  

• 11 слайд

  Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
  Постройте угол 𝛼, если sin 𝛼= 2 3 .
  𝛼 1
  В
  0
  А
  𝛼 2
  x
  y
  В 1
  1
  ПОСТРОЕНИЕ:
  Чертим круг произвольного радиуса с центром в начале координат и принимаем длину этого радиуса за 1.
  
  Делим радиус на 3 равные части и откладываем две из них на положительной полуоси О у от точки О.
  
  Через найденную точку проводим перпендикуляр к этой полуоси, который пересекает единичную окружность в точкахВ и В 1 .
  
  Ординаты точек В и В 1 равняются 2 3 .
  
  Соединяем точки В и В 1 с точкой О.
  
  ∠АОВ= 𝛼 1 и ∠ АОВ 1 = 𝛼 2 , sin 𝛼 1 = sin 𝛼 2 = 2 3
  
  
  

• 12 слайд

  Тригонометрические функции, их графики и свойства
  o
  y
  x
  Функция 𝒚=𝒔𝒊𝒏 𝒙
  0
  𝜋 6
  𝜋 3
  𝜋 2
  2𝜋 3
  5𝜋 6
  𝜋
  3𝜋 2
  1
  𝜋 2
  𝜋
  𝜋 6
  𝜋 3
  2𝜋 3
  5𝜋 6
  −𝜋
  2𝜋
  -1
  𝐷 𝑠𝑖𝑛𝑥 =𝑅
  𝐸 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1;1 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥 <1.
  𝑇=2𝜋; sin 𝑥+2𝜋 =𝑠𝑖𝑛𝑥.
  a) 𝑠𝑖𝑛𝑥=0, 𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
  б) 𝑓 0 =𝑠𝑖𝑛0=0 точка 0;0 .
  − 𝜋 2 +2𝜋𝑘; 𝜋 2 +2𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  𝑠𝑖𝑛𝑥>0 при 𝑥∈ 2𝜋𝑘; 𝜋+2𝜋𝑘 ;
  𝑠𝑖𝑛𝑥<0 при 𝑥∈ 𝜋+2𝜋𝑘;2𝜋𝑘 , k∈𝑍.
  𝜋 2 +2𝜋𝑘; 3 2 𝜋+2𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  Нечетная: sin −𝑥 =−𝑠𝑖𝑛𝑥, симетрия относительно начала координат.
  Кривая – синусоида.
  

• 13 слайд

  o
  y
  x
  0
  𝜋 6
  𝜋 3
  𝜋 2
  2𝜋 3
  5𝜋 6
  𝜋
  3𝜋 2
  1
  𝜋 2
  𝜋
  𝜋 6
  𝜋 3
  2𝜋 3
  5𝜋 6
  −𝜋
  2𝜋
  -1
  Функция 𝒚=𝒄𝒐𝒔 𝒙
  − 3𝜋 2
  − 𝜋 2
  3𝜋 2
  𝐷 𝑐𝑜𝑠𝑥 =𝑅
  𝐸 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1;1 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥 <1.
  𝑇=2𝜋; co𝑠 𝑥+2𝜋 =𝑐𝑜𝑠𝑥.
  a) 𝑐𝑜𝑠𝑥=0, 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
  б) 𝑓 0 =𝑐𝑜𝑠0=1 точка 0;1 .
  −𝜋+2𝜋𝑘; 2𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  𝑐𝑜𝑠𝑥>0 при 𝑥∈ − 𝜋 2 +2𝜋𝑘; 𝜋 2 +2𝜋𝑘 ;
  𝑐𝑜𝑠𝑥<0 при 𝑥∈ 𝜋 2 +2𝜋𝑘; 3𝜋 2 +2𝜋𝑘 , k∈𝑍.
  2𝜋𝑘; 𝜋+2𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  Четная: cos −𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥, симетрия относительноно осі О у .
  Кривая – косинусоида.
  

• 14 слайд

  Функция 𝒚=𝒕𝒈 𝒙
  𝐷 𝑡𝑔𝑥 :𝑥≠ 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
  𝐸 𝑡𝑔𝑥 =𝑅.
  𝑇=𝜋; 𝑡𝑔 𝑥+𝜋 =𝑡𝑔𝑥.
  a)𝑡𝑔𝑥=0, 𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍:(𝜋𝑘;0)
  б) 𝑓 0 =𝑡𝑔0=0 точка 0;0 .
  Возростает: − 𝜋 2 +𝜋𝑘; 𝜋 2 +𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  𝑡𝑔𝑥>0 при 𝑥∈ 𝜋𝑘; 𝜋 2 +𝜋𝑘 ;
  𝑡𝑔𝑥<0 при 𝑥∈ − 𝜋 2 +𝜋𝑘;𝜋𝑘 , k∈𝑍.
  Вертикальные асимптоты
  𝑥=− 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
  Нечетная: 𝑡𝑔 −𝑥 =−𝑡𝑔𝑥, симетрия относительно начала координат.
  Кривая – тангенсоида.
  𝑇 𝜋 3
  x
  y
  0
  1
  𝑃 0
  𝑇 𝜋 6
  𝑇 − 𝜋 6
  𝑇 − 𝜋 3
  0
  − 𝜋 2
  𝜋 2
  y
  x
  t
  𝜋
  3𝜋 2
  

• 15 слайд

  Функция 𝒚=𝒄𝒕𝒈 𝒙
  Кривая – котангенсоида.
  0
  − 𝜋 2
  𝜋 2
  y
  x
  𝜋
  3𝜋 2
  −𝜋
  𝐷 𝑐𝑡𝑔𝑥 :𝑥≠𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
  𝐸 𝑐𝑡𝑔𝑥 =𝑅.
  𝑇=𝜋; 𝑐𝑡𝑔 𝑥+𝜋 =𝑐𝑡𝑔𝑥.
  a)c𝑡𝑔𝑥=0, 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍:( 𝜋 2 +𝜋𝑘;0)
  б) Пересечения с О у не имеет.
  Убывает:
  𝜋𝑘; 𝜋+𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍.
  с𝑡𝑔𝑥>0 при 𝑥∈ 𝜋𝑘; 𝜋 2 +𝜋𝑘 ;
  с𝑡𝑔𝑥<0 при 𝑥∈ 𝜋 2 +𝜋𝑘;𝜋+𝜋𝑘 , k∈𝑍.
  Вертикальные асимптоты
  𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
  Нечетная: 𝑐𝑡𝑔 −𝑥 =−𝑡𝑔𝑥, симетрия относительно начала координат.
  

• 16 слайд

  Литература
  М. І. Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова. Математика 11 Київ. «Зодіак - ЕКО» 2010.
  В. С. Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа Москва «Просвещение» 1990г.
  Роєва Т. Г., Хроменко Н. Ф. Алгебра в таблицях за новою програмою «Академія» видавнича група 2001р.
  

• 17 слайд

  спасибо ЗА внимание!
  ЖЕЛАЮ УСПЕХА!
  Работа
  Лаврик Галины Фёдоровны
  учителя математики
  Оленовской ООШ І-ІІІ ст. №2
  Волновахского района
  Донецкой области