Презентация по математическому анализу на тему "Показательная, логорифмическая, тригонометрические функции комплексного переменного"

• 1 слайд

  Функции 𝑒𝑧, 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧, гиперболические функции. Логарифмическая функция. Обратные тригонометрические и гиперболические функции
  доцент Р.М.Тургунбаев
  

• 2 слайд

  План
  1. Показательная функция, свойства
  2. Тригонометрические функции, свойства
  3. Гиперболические функции, свойства
  3. Логарифмическая функция, свойства
  4.Обратные тригонометрические и гиперболические функции
  5. Степенная функция (обобщенная)
  6. Заключение
  

• 3 слайд

  Показательная функция, свойства
  В математическом анализе имеет место равенство:
  𝑒 𝑥 = lim 𝑛→∞ 1+ 𝑥 𝑛 𝑛
  Для фиксированного комплексного числа z=x+yi рассмотрим последовательность с общим членом:
  𝑎 𝑛 = 1+ 𝑧 𝑛 𝑛 .
  Очевидно, что
  𝑅𝑒 1+ 𝑧 𝑛 =1+ 𝑥 𝑛 ; 𝐼𝑚 1+ 𝑧 𝑛 = 𝑦 𝑛
  

• 4 слайд

  
  Откуда,
  𝑎 𝑛 = 1+ 𝑧 𝑛 𝑛 = 1+ 𝑥 𝑛 2 + 𝑦 2 𝑛 2 𝑛 = 1+ 2𝑥 𝑛 + 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑛 2 𝑛 2
  𝑎𝑟𝑔 𝑎 𝑛 =𝑛𝑎𝑟𝑔 1+ 𝑧 𝑛 =𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑛 1+ 𝑥 𝑛
  
  

• 5 слайд

  При n имеет место соотношения
  1+ 2𝑥 𝑛 + 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑛 2 ~1+ 2𝑥 𝑛 ,arctg 𝑦 𝑛 1+ 𝑥 𝑛 ~ 𝑛𝑦 𝑛+𝑥 .
  Учитывая эти соотношения имеем
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = lim 𝑛→∞ 1+ 2𝑥 𝑛 𝑛 2 = lim 𝑛→∞ 1+ 2𝑥 𝑛 𝑛 2𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑥
  lim 𝑛→∞ 𝑎𝑟𝑔 𝑎 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛𝑦 𝑛+𝑥 =𝑦 (1)
  

• 6 слайд

  Следовательно,
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = lim 𝑛→∞ 1+ 𝑧 𝑛 𝑛 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦 (2)
   
  Для ∀𝑧=𝑥+𝑖𝑦 функция 𝑒𝑧 определяется следующим образом:
  𝑤=𝑒𝑧=𝑒𝑥+𝑖𝑦=𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) (3)
  Откуда
  𝑒𝑧 =𝑒𝑥 ,𝑦=𝐴𝑟𝑔𝑒𝑧,
  𝑅𝑒 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝐼𝑚 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦
  

• 7 слайд

  Свойства 𝑤=𝑒𝑧 :
  1) При 𝑧∈𝑅 функция 𝑒𝑧 обладает всеми свойствами 𝑒𝑥;
  2) Аналитическая функция в комплексной плоскости;
  3) (𝑒𝑧)’=𝑒𝑧;
  4) Имеет место формула сложения:
  𝑒 𝑧 1 ∙ 𝑒 𝑧 2 = 𝑒 𝑧 1 + 𝑧 2 (4)
  Доказательство 4-св. Пусть z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2
  

• 8 слайд

  Тогда
  
  𝑒 𝑧 1 ∙ 𝑒 𝑧 2 = 𝑒 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠 𝑦 1 +𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑦 1 ∙ 𝑒 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2 +𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑦 2
  
  = 𝑐𝑜𝑠 𝑦 1 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2 −𝑠𝑖𝑛 𝑦 1 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑦 1 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2 +𝑐𝑜𝑠 𝑦 1 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2
  
  = 𝑒 𝑥 1 + 𝑥 2 cos 𝑦 1 + 𝑦 2 +𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑦 1 + 𝑦 2 = 𝑒 𝑧 1 + 𝑧 2
  
  

• 9 слайд

  5) Уравнение 𝑒 𝑧 =0 не имеет решение. Действительно
  𝑒 𝑧 =0⟺ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦=0, 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦=0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑦=0, 𝑠𝑖𝑛𝑦=0 ⟺ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑦=0
  Противоречие.
  6) Функция периодическая, любое число вида 2𝑘𝜋𝑖,𝑘∈𝑍.
  Действительно :
  𝑒 𝑧+2𝑘𝜋𝑖 = 𝑒 𝑧 ∙ 𝑒 2𝜋𝑘𝑖 = 𝑒 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋+𝑖𝑠𝑖𝑛2𝑘𝜋 = 𝑒 𝑧 5
  
  Показательная форма комплексного числа: 𝑧=|𝑧| 𝑒 𝑖𝑎𝑟𝑔𝑧 .
  

• 10 слайд

  Trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari
  Ixtiyoriy kompleks son z uchun trigonometrik funksiyalarni quyidagi
  𝑠𝑖𝑛𝑧= 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 2𝑖 , 𝑐𝑜𝑠𝑧= 𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 2 (6)
  tengliklar bilan aniqlaymiz.
  Bundan 𝑡𝑔𝑧 va 𝑐𝑡𝑔𝑧 funksiyalar ushbu
  𝑡𝑔𝑧= 𝑠𝑖𝑛𝑧 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 𝑖( 𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 ) , 𝑐𝑡𝑔𝑧= 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑖(𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 ) 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 (7)
   formulalar bilan aniqlanadi. Bu funksiyalar mos ravishda 𝑐𝑜𝑠𝑧 va 𝑠𝑖𝑛𝑧 nolga aylanmaydigan barcha nuqtalarda analitik funksiyalardir. (7) formulalarga asosan, 𝑡𝑔𝑧 va 𝑐𝑡𝑔𝑧 ning davriy ekanligi va davri  ga tengligini ko‘rsatish mumkin.
  

• 11 слайд

  Ko‘rsatkichli ez funksiyaning davri 2i ga teng bo‘lgani uchun sinz va cosz funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri 2 ga teng ekanligi shu bilan birga sinz - toq, cosz - juft funksiya ekanligi (6) formuladan kelib chiqadi, ya’ni
  
  𝑠𝑖𝑛(𝑧+2𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠(𝑧+2𝜋)=𝑐𝑜𝑠𝑧;
  𝑠𝑖𝑛(−𝑧)=−𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠(−𝑧)=𝑐𝑜𝑠𝑧.
  
  Haqiqiy o‘zgaruvchi trigonometrik funksiyalari orasidagi munosabatlarni ifodalovchi barcha formulalar kompleks sohada ham o‘rinlidir.
  

• 12 слайд

  Misol uchun yig‘indi haqida teoremani tekshirib ko‘raylik:
  
  𝑠𝑖𝑛 𝑧 1 𝑐𝑜𝑠 𝑧 2 +𝑐𝑜𝑠 𝑧 1 𝑠𝑖𝑛 𝑧 2 == 𝑒 𝑖 𝑧 1 − 𝑒 −𝑖 𝑧 1 2𝑖 ∙ 𝑒 𝑖 𝑧 2 + 𝑒 −𝑖 𝑧 2 2 + 𝑒 𝑖 𝑧 1 + 𝑒 −𝑖 𝑧 1 2 ∙ 𝑒 𝑖 𝑧 2 − 𝑒 −𝑖 𝑧 2 2𝑖 == 𝑒 𝑖 𝑧 1 + 𝑧 2 − 𝑒 −𝑖 𝑧 1 + 𝑧 2 2𝑖 =𝑠𝑖𝑛 𝑧 1 + 𝑧 2
  
  Xuddi shunday usul bilan ushbu formulani hosil qilamiz:
  cosz1cosz2 -sinz1sinz2=cos(z1+z2).
  

• 13 слайд

  Yuqoridagi munosabatlardan:
  sin(z+/2)=cosz, cos(z+/2)=-sinz, sin(z+)=-sinz, cos(z+)=-cosz formulalarni va ixtiyoriy z uchun sin2z+cos2z=1 ekanini osongina ko‘rsatish mumkin. Faraz etaylik sinz=0 bo‘lsin. U holda
  eiz-e-iz=0 yoki e2iz=1. z=x+iy desak, e2i(x+iy)=1 yoki e-2y e2ix=1.
  Bundan
  
  e-2y=1, 2x=2k (9)
  
  tengliklarni hosil qilamiz. Demak, y=0, x=k. Shunday qilib, sinz funksiya z=k nuqtalarda 0 ga aylanadi.
  
  

• 14 слайд

  Xuddi shu usulda cosz=0 bo‘lishi uchun z=k+/2 bo‘lishi zarurligini ko‘rsatish mumkin.
  𝑠𝑖𝑛𝑧 va 𝑐𝑜𝑠𝑧 barcha kompleks tekislikda analitik (chunki ez - analitik), undan tashqari bular uchun ushbu
  (𝑠𝑖𝑛𝑧)’=𝑐𝑜𝑠𝑧, (𝑐𝑜𝑠𝑧)’=−𝑠𝑖𝑛𝑧
  differensiallash formulalari o‘rinlidir.
  Kompleks sohada 𝑠𝑖𝑛𝑧 va 𝑐𝑜𝑠𝑧 funksiyalar chegaralanmagan, ya’ni ularning |𝑠𝑖𝑛𝑧| va |𝑐𝑜𝑠𝑧| modullari avvaldan berilgan har qanday musbat sondan katta qiymatlar qabul qiladi.
  

• 15 слайд

  Haqiqatan ham, agar (6) da 𝑧=𝑖𝑡, 𝑡∈𝑅 desak, u holda
  𝑠𝑖𝑛𝑖𝑡 = 𝑒 𝑖𝑖𝑡 − 𝑒 −𝑖𝑖𝑡 2𝑖 =|𝑠ℎ𝑡|,
  𝑐𝑜𝑠𝑖𝑡 = 𝑒 𝑖𝑖𝑡 + 𝑒 −𝑖𝑖𝑡 2 =𝑐ℎ𝑡.
  Analizdan ma’lumki, 𝑠ℎ𝑡 va 𝑐ℎ𝑡 chegaralanmagan funksiyalar.
  

• 16 слайд

  Logarifmik funksiya va uning xossalari
  Ta’rif. Berilgan ew=z (10) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday w son z sonning e asosli (ya’ni natural) logarifmi deyilib, quyidagicha yoziladi:
  𝑤=𝐿𝑛𝑧 (11)
  Ma’lumki, ew0. Shu sababli (11) da z=x+iy0, ya’ni nolning logarifmi mavjud emas.
  Agar w va z larni 𝑤=𝑢+𝑖𝑣, 𝑧=𝑟 𝑒 𝑖𝜑 ko‘rinishda yozsak, (10) dan ushbu 𝑒 𝑢+𝑖𝑣 =𝑟 𝑒 𝑖𝜑 yoki 𝑒 𝑢 ∙ 𝑒 𝑖𝑣 =𝑟 𝑒 𝑖𝜑 tenglamalarga ega bo‘lamiz.
  Bundan
  𝑢=𝑙𝑛𝑟, 𝑣=𝜑+2𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍.
  

• 17 слайд

  Demak, 𝑤=𝑢+𝑖𝑣=𝑙𝑛𝑟+𝑖(𝜑+2𝑘)
  yoki (11) ga asosan:
  𝐿𝑛𝑧=𝑙𝑛𝑟+𝑖(𝜑+2𝑘) (12)
  bunda 𝑟=|𝑧|, (𝜑+2𝑘)=𝐴𝑟𝑔𝑧.
  Shuning uchun ba’zan (12) tenglik
  𝐿𝑛𝑧=ln⁡|𝑧|+𝑖𝐴𝑟𝑔𝑧 (12’)
  ko‘rinishda ham yoziladi: 𝑘=0 bo‘lgan holni, ya’ni 𝑙𝑛𝑟+𝑖 ni logarifmning bosh qiymati deyiladi va 𝑙𝑛𝑧 orqali belgilanadi:
  𝑙𝑛𝑧=𝑙𝑛|𝑧|+ 𝑖 (13)
  

• 18 слайд

  Buni e’tiborga olib, (12) formulani quyidagicha ham yozish mumkin:
  𝐿𝑛𝑧=𝑙𝑛𝑧+2𝑘𝑖.
  Bundan ko‘rinadiki, logarifmik funksiya ko‘p qiymati funksiya ekan, chunki 𝑘=0,± 1, ±2, ... . Elementar matematikada isbot qilingan logarifmlarga tegishli teoremalar bu joyda to‘plam ma’nosida o‘z kuchida qoladi. Ular quyidagilardan iborat:
  1. 𝐿𝑛 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 =𝐿𝑛 𝑧 1 +𝐿𝑛 𝑧 2 ,
  2. 𝐿𝑛 𝑧 1 / 𝑧 2 =𝐿𝑛 𝑧 1 −𝐿𝑛 𝑧 2 .
  Misol. 𝐿𝑛𝑖=?
  Ravshanki, 𝑖=𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 +𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 , ya’ni 𝑟=|𝑖|=1, =𝑎𝑟𝑔𝑖= 𝜋 2 .
  𝐿𝑛𝑖=𝑙𝑛1+𝑖 𝜋 2 +2𝑘𝜋 = 2𝑘+ 1 2 𝜋, 𝑘=0,±1, ±2, …
  
  

• 19 слайд

  Ixtiyoriy darajali funksiya
  Biz darajaning eng umumiy 𝑧 𝛼 holini tekshiramiz, bunda:
  𝑧=𝑥+𝑖𝑦, 𝛼=𝑎+𝑖𝑏.
  Haqiqiy 𝑥 va 𝑎 sonlar uchun 𝑥>0 da
  𝑥 𝑎 = 𝑒 𝑎𝑙𝑛𝑥
  ayniyat o‘rinli bo‘lgani uchun 𝑧 𝛼 ni ham quyidagi tenglikdan topamiz:
  𝑧 𝛼 = 𝑒 𝛼𝐿𝑛𝑧 .
  
  

• 20 слайд

  Mustaqil o’qishga
  Kompleks o’zgaruvchili giperbolik funksiyalar va ularning trigonometrik funksiyalar bilan aloqasi