Презентация по математике. Математическая вертикаль. Четность и нечетность. 7 класс 7 кл

• 1 слайд

  четность и нечетность чисел
  7 класс
  учитель математики
  ГБОУ ИЗМАЙЛОВСКАЯ ШКОЛА № 1508
  Савина Светлана Ивановна
  

• 2 слайд

  четность и нечетность чисел
  
  Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.
  Норберт Винер
  

• 3 слайд

  теория
  Способ 1.
  Перебор по последней цифре. n = 10a +b, где b – его последняя цифра.
  Первое слагаемое 10а =2∙5а четно. Следовательно
  четность суммы 10a +b совпадает с четностью слагаемого b.
  Способ 2.
  Четное число – это число, делящееся на 2, т.е. то, которое представляется в виде 2n.
  
  Нечетное число – это число, которое не делится нацело на 2, т.е. в остатке остается 1. Поэтому оно записывается в виде 2m+1.
  
  Замечание.
  0 – тоже четное число
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  свойства
  1. Сумма двух чисел одной четности – четна
  2n+2m=2(m+n)
  (2n+1)+(2m+1)=2(n+m)+2=2(n+m+1)
  тоже число, делящееся на 2.
  
  2. Сумма двух чисел разной четности – нечетна
  2n+(2m+1)=2(m+n) +1
  тоже нечетное (при делении на 2 остается остаток 1).
  
  

• 5 слайд

  свойства
  3. Произведение любого целого числа
  на четное число – четно
  n ∙ 2m=2(m ∙ n)
  тоже число, делящееся на 2.
  
  4. Произведение двух нечетных чисел – нечетно
  (2n+1) ∙ (2m+1)=2(2nm+n+m)+1
  тоже нечетное (при делении на 2 остается остаток 1).
  
  

• 6 слайд

  Замечание
  1.Четность суммы двух чисел равна четности их разности
  2n - 2m=2(m - n)
  (2n+1) - (2m+1)=2(n - m)
  тоже число, делящееся на 2.
  2n - (2m+1)=2(m - n) - 1
  тоже нечетное (при делении на 2 остается остаток 1).
  2. Четность суммы совпадает с чётностью количества нечетных слагаемых
  (разбиение на пары)
  

• 7 слайд

  Задачи
  Можно ли доску 9×9 разрезать на доминошки?
  Ответ: нет. Так как каждая доминошка занимает две клетки, то фигура, которую можно замостить доминошками состоит из четного числа клеток. А наша доска состоит из 81 клетки.
  2. Верно ли равенство 1×2+2×3+3×4+…+99×100 = 2002013?
  Ответ. Нет. Каждое слагаемое четно, сумма четных чисел четна. А число 2002013 нечетно.
  3. Сумма трёх чисел чётна. Каким — чётным или нечётным — будет их произведение?
  
  Ответ. Четным. Произведение может быть нечетным только если все сомножители нечетны. Но если бы наши три числа были бы нечетны, их сумма была бы нечетна: (н+н)+н=ч+н=н
  
  

• 8 слайд

  Задачи
  4. Существуют ли шесть целых чисел, и сумма, и произведение которых являются нечётными числами? А двести?
  
  Решение. Нет. Произведение может быть нечетным только если все сомножители нечетны. Но сумма шести нечетных чисел четна. Аналогично если чисел будет двести.
  5. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20 и отдал листок тридцати трём богатырям. Каждый богатырь (по очереди) либо прибавил к числу единицу, либо отнял единицу. Может  ли в результате получиться число 10?
  
  Решение. Нет, не может. После изменения первого богатыря число становится нечетным, после того, как изменит второй – четным, через три изменения - нечетным и т.д. после 33 изменения число будет нечетным, т.е. никак не 10.
  
  

• 9 слайд

  Задачи
  6. Можно ли расставить знаки «+» или «–» между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?
  Решение. Нет, нельзя. Заметим, что когда мы вычитаем или прибавляем четное число – четность не меняется, а когда нечетное – меняется. Т.е. когда мы к 1 прибавим или вычтем 2, получим нечетное число. Дальше прибавим или вычтем 3 – получим четное. К результату прибавим или вычтем 4 -получим снова четное. Далее четность результата будет изменяться: Н, Н, Ч, Ч, Н. Т.е. итоговый результат – нечетное число. А 0 – четное число (делится на 2).
  7. Можно ли 20 рублей разменять семью монетами по 1 и 5 рублей?
  Решение. Нет нельзя. У нас семь нечетных слагаемых, их сумма будет нечетной: (н+н)+(н+н)+(н+н)+н= (ч+ч)+(ч+н)=ч+н=н
  

• 10 слайд

  Задачи
  8. Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп 300 монет на общую сумму 1001 рупий. Аборигены не признают никаких других монет, кроме монет 1, 5, 7 и 9 рупий. Можно ли выкупить Кука на таких условиях?
  Решение. Нет, нельзя. У нас 300 нечетных слагаемых. Их можно разбить на пары. В каждой паре результат будет четным. Сумма четных чисел – четна. Итого результат будет четное число рупий. А нам нужно нечетное – 1001.
  9. Сумму выкупа удвоили – теперь Аборигены просят 2002 рупии. По-прежнему они требуют, чтобы монет было 300. Но теперь в ходу монеты только в 2, 10, 14 и 18 рупий. Можно ли выкупить Кука?
  Решение. Нет, нельзя. Предположим, что можно. Тогда 2002 равно сумме 300 слагаемых, каждое из которых одно из чисел 2, 10, 14 и 18. Заметим, что в этом равенстве все числа делятся на 2. Сократим на 2. Получим, что 1001 равно сумме 300 нечетных чисел, что невозможно.
  
  

• 11 слайд

  Задачи
  10. Хулиган Игорь рвал газету. Вначале он порвал ее на 5 частей. Далее он брал одну из получившихся частей и рвал ее на 5 частей. И так несколько раз. Все обрывки он раскидал по классу. Дежурные нашли 2000 обрывков. Тщательно ли они прибрались?
  Решение. Не тщательно. Порвав каждый новый кусок, Игорь увеличивает общее число кусков на 4. Изначально был один кусок. Увеличивая на 4, мы не меняем четность числа, значит после любой «итерации» число кусков будет нечетно.
  11. Можно ли все клетки квадратной таблицы 5×5 заполнить первыми 25 простыми числами так, чтобы суммы чисел в любом столбце, в любой строке и по диагоналям были бы одинаковы?
  Решение. Нет нельзя. Т.к. Есть ровно одно четное простое число 2. Оно стоит в какой-то одной строке. Сумма чисел в этой строке четна (четыре нечетных и одно четное). А во всех остальных строках сумма чисел нечетна (пять нечетных чисел).
  
  

• 12 слайд

  Задачи
  12. На рисунке прямая пересекает все стороны шестиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны 11-угольника, не проходя ни через одну его вершину?
  
  
  
  Решение. Нет. После первого пересечения прямая войдет внутрь многоугольника, после второго – выйдет наружу, после третьего – снова войдет внутрь ... После 11 пересечения она должна оказаться внутри многоугольника и больше уже не выйдет, чего не может быть.
  Второй способ: покрасим внутренность 11-угольника в желтый цвет. Наша прямая как-то пересекает многоугольник, поэтому на ней окажется несколько желтых отрезков. Их концы – это все точки пересечения. Но концов отрезков четное число, т.е. всего точек пересечения четное число. А если бы прямая пересекала все стороны по разу, то точек пересечения было бы 11 – нечетное число.
  
  

• 13 слайд

  Задачи
  13. Даны три целых числа. Может ли оказаться так, что сумма любых двух из них нечетна?
  Решение. Нет. Два из этих чисел одной четности. Поэтому их сумма будет четной.
  14. Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено к любым двум числам прибавить по единице. Можно ли несколькими такими операциями сделать все числа равными?
  Решение. Нет нельзя. Когда мы добавляем к двум числам по единице, четность суммы всех чисел не меняется. Вначале сумма всех чисел равна 1+2+3+4+5+6=21. И после любого числа операций она останется нечетной.
  
  

• 14 слайд

  Задачи
  15. Кузнечик умеет прыгать по числовой прямой влево на 5, а вправо на 7 делений. Сможет ли он за 2011 прыжков попасть в исходную точку?
  
  
  Решение. Нет, не сможет. Прыжок вправо – это +7, а прыжок влево – это -5. В результате, сложив такие числа, мы должны получить 0. У нас нечетное число слагаемых (2011). Поэтому их сумма будет нечетна, т.е. никак не 0.
  
  

• 15 слайд

  Задачи
  16. Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?
  Решение. нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.
  
  17. Можно ли из 36 веревочек сплести сетку так, чтобы каждая веревочка была связана ровно с тремя другими?
  Решение. да, произведение 36х3 четно.
  
  

• 16 слайд

  Задание на дом
  Расположите числа от 1 до 16 в клетках таблицы 4x4 так, чтобы суммы чисел каждой строки и каждого столбца и двух диагоналей были нечетны.
  
  
  
  

• 17 слайд

  проверка
  Расположите числа от 1 до 16 в клетках таблицы 4x4 так, чтобы суммы чисел каждой строки и каждого столбца и двух диагоналей были нечетны.
  
  
  
  

• 18 слайд

  Спасибо
  за
  внимание.
  

• 19 слайд

  раздаточный материал
  

• 20 слайд

  раздаточный материал
  

• 21 слайд

  раздаточный материал
  

Краткое описание документа:

Презентация по курсу специальной математики Математической Вертикали для 7 класса с решениями по теме "Четность". Можно использовать на кружках по математике 6-7 класс по решению олимпиадных задач.