Презентация по математике на тему "Комплексные числа"

• 1 слайд

  Комплексные числа
  

• 2 слайд

  Определение
  Комплексным числом z называют выражение:
  где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством:
  а – действительная часть числа z,
  b – мнимая часть.
  Обозначение:
  Если а = 0, то число i·b называется чисто мнимым.
  Если b = 0, то получается действительное число а.
  

• 3 слайд

  Определение
  Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными:
  Противоположным к комплексному числу
  является комплексное число
  −𝑧=−𝑎−𝑖∙𝑏
  𝑧=𝑎+𝑖∙𝑏
  Задание: Найти для комплексного числа
  его сопряжённое число.
  𝑧=−14+56𝑖
  Задание: Найти противоположное число к комплексному числу
  𝑧=189−73𝑖
  

• 4 слайд

  Геометрическое изображение
  Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости XOY в виде точки A(a; b).
  Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной.
  Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось OX называют действительной осью.
  Точкам, лежащим на оси OY, соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
  

• 5 слайд

  Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
  Тогда имеют место равенства:
  Следовательно, комплексное число z можно представить в виде:
  Обозначим через r модуль вектора , через φ угол между вектором и положительным направлением оси OX.
  Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого
  

• 6 слайд

  Свойства модуля комплексного числа
  

• 7 слайд

  Действия над комплексными числами
  Равенство комплексных чисел
  Два комплексных числа и называются равными : , если
  Комплексное число равно нулю , тогда и только тогда, когда
  Сложение и вычитание комплексных чисел
  Суммой (разностью) комплексных чисел
  и называется комплексное число, определяемое равенством:
  

• 8 слайд

  Задача 1
  Найти сумму комплексных чисел и
  𝑧 1 =−7+5𝑖
  𝑧 2 =13−4𝑖
  Найти сумму комплексных чисел и
  𝑧 2 =15+5𝑖
  𝑧 1 =17−35𝑖
  

• 9 слайд

  Действия над комплексными числами
  Умножение комплексных чисел
  Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов.
  Умножением комплексных чисел и
  называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам алгебры как двучлены, учитывая что
  При любом целом k:
  

• 10 слайд

  Действия над комплексными числами
  На основании этого правила получим:
  тогда произведение находится по формуле:
  Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
  Произведение сопряженных комплексных чисел:
  

• 11 слайд

  Действия над комплексными числами
  Деление комплексных чисел
  Чтобы разделить на
  необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю:
  Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
  

• 12 слайд

  Задача 2
  Найти произведение и частное комплексных чисел:
  Найти произведение комплексных чисел
  Найти частное комплексных чисел
  

• 13 слайд

  Действия над комплексными числами
  Возведение в степень комплексного числа
  При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
  Извлечение корня из комплексного числа
  Корень n – ой степени из комплексного числа
  находится по формуле:
  Арифметическое значение корня из положительного числа r
  

• 14 слайд

  Действия над комплексными числами
  Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня.
  Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
  Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
  Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:
  

• 15 слайд

  Задача 3
  Найти все значения кубического корня из единицы
  

• 16 слайд

  Показательная форма комплексного числа
  Показательной формой комплексного числа называется выражение
  — модуль комплексного
  числа, 
  — расширение экспоненты на случай, когда
  показатель степени является комплексным числом.
  Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме
  комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем
  — модуль
  

• 17 слайд

  Спасибо за внимание