Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему "Введение в теорию вероятностей"

Презентация по математике на тему "Введение в теорию вероятностей"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика
Введение в теорию вероятностей.
Случайные события. Операции над событиями Частота. Классическая формула вероя...
Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо...
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А в...
Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них...
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы...
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном н...
Частота 			Определение. Частотой 					случайного события в серии 				испытани...
Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления....
Свойства вероятности: Вероятность достоверного события равна 1 Вероятность не...
Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота...
1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность чт...
Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёл...
Пример 3. Из собранных 10велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероя...
Сложение вероятностей
D и E называются несовместными событиями.
Сложение вероятностей Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовмес...
Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите в...
Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятност...
 - благоприятные события для А - благоприятные события для В
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя...
Умножение вероятностей Вероятность совместного появления двух независимых соб...
Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет...
Пример 2. Вероятность попадания в 	 цель при стрельбе из первого орудия равн...
событие - промах 1-го орудия событие - промах 2-го орудия события и независим...
Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предпо...
Вероятность появления хотя бы одного события Вероятность появления хотя бы од...
Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появле...
ПРИМЕР. Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одно...
Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из...
Задачи 1.  В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке...
Задачи 2. В водоеме обнаружено загрязнение с превышением ПДК. Потенциальные и...
3. Из 10 учеников, пришедших на экзамен, трое подготовились отлично, четверо...
Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятнос...
Пример. Подбрасываем 10 раз кубик. Какова вероятность, что пятерка выпадет ро...
Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отличн...
Для вычислений по формуле имеются таблицы. В таблицах приведены значения функ...
Пример 1. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика четверка выпаде...
Пример 2. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика 4 выпадет от m1...
Задача 3 . Сколько раз нужно подбросить кубик, чтобы частота отличалась от ве...
Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют др...
1 из 42

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Введение в теорию вероятностей.
Описание слайда:

Введение в теорию вероятностей.

№ слайда 2 Случайные события. Операции над событиями Частота. Классическая формула вероя
Описание слайда:

Случайные события. Операции над событиями Частота. Классическая формула вероятности Свойства вероятности Статистическая и геометрическая вероятности Сложение вероятностей Теорема сложения вероятностей Умножение вероятностей Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Вероятность появления хотя бы одного события Формула полной вероятности Формула Байеса Формула Бернулли Локальная теорема Лапласа Интегральная теорема Лапласа Распределение Пуассона Основные понятия:

№ слайда 3 Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо
Описание слайда:

Событие- явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть). Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами). Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами). Случайные события

№ слайда 4 Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А в
Описание слайда:

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. События А и В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного). События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент). Случайные события

№ слайда 5 Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них
Описание слайда:

Два события А и называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А). Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка). Случайные события

№ слайда 6 Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы
Описание слайда:

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар Операции над событиями

№ слайда 7 Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном н
Описание слайда:

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Пример: происходят следующие события: А- из колоды карт вынута ”дама” В- вынута карта пиковой масти А∙В – событие – вынута карта “дама пик” Операции над событиями

№ слайда 8 Частота 			Определение. Частотой 					случайного события в серии 				испытани
Описание слайда:

Частота Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний. , где m – число испытаний с благоприятным исходом, n – число всех испытаний. Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

№ слайда 9 Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления.
Описание слайда:

Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания. N – число всех исходов испытания М – число исходов благоприятствующих событию А Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности. Классическая формула вероятности

№ слайда 10 Свойства вероятности: Вероятность достоверного события равна 1 Вероятность не
Описание слайда:

Свойства вероятности: Вероятность достоверного события равна 1 Вероятность невозможного события равна 0 Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

№ слайда 11 Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота
Описание слайда:

Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области. Статистическая и геометрическая вероятности

№ слайда 12 1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность чт
Описание слайда:

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ? N=10; М=6; А- Извлечение белого шара N=10; М=4; А- Извлечение черного шара 2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый N=10; М=2 N=10; М=4 N=10; М=0 N=10; М=4 Пример 1.

№ слайда 13 Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёл
Описание слайда:

Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым? Решение: а) б) в)

№ слайда 14 Пример 3. Из собранных 10велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероя
Описание слайда:

Пример 3. Из собранных 10велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта? Решение:

№ слайда 15 Сложение вероятностей
Описание слайда:

Сложение вероятностей

№ слайда 16 D и E называются несовместными событиями.
Описание слайда:

D и E называются несовместными событиями.

№ слайда 17 Сложение вероятностей Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовмес
Описание слайда:

Сложение вероятностей Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

№ слайда 18 Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите в
Описание слайда:

Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара. Решение:

№ слайда 19 Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятност
Описание слайда:

Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной. Решение: - всего событий Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные, событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная.

№ слайда 20  - благоприятные события для А - благоприятные события для В
Описание слайда:

- благоприятные события для А - благоприятные события для В

№ слайда 21 Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя
Описание слайда:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: Теорема сложения вероятностей

№ слайда 22 Умножение вероятностей Вероятность совместного появления двух независимых соб
Описание слайда:

Умножение вероятностей Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

№ слайда 23 Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет
Описание слайда:

Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза. Решение:

№ слайда 24 Пример 2. Вероятность попадания в 	 цель при стрельбе из первого орудия равн
Описание слайда:

Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу. Решение: событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

№ слайда 25 событие - промах 1-го орудия событие - промах 2-го орудия события и независим
Описание слайда:

событие - промах 1-го орудия событие - промах 2-го орудия события и независимые события А,В и противоположные

№ слайда 26 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предпо
Описание слайда:

Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

№ слайда 27 Вероятность появления хотя бы одного события Вероятность появления хотя бы од
Описание слайда:

Вероятность появления хотя бы одного события Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

№ слайда 28 Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появле
Описание слайда:

Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий Определение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

№ слайда 29 ПРИМЕР. Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одно
Описание слайда:

ПРИМЕР. Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В двух по 3 белых и одному чёрному шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым. Решение:

№ слайда 30 Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из
Описание слайда:

Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез: Формула Байеса

№ слайда 31 Задачи 1.  В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке
Описание слайда:

Задачи 1.  В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ? Решение:  Пусть A - событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1, H2 и H3 - гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке. Вероятности этих гипотез соответственно равны:    далее, из условия задачи следует, что: Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

№ слайда 32 Задачи 2. В водоеме обнаружено загрязнение с превышением ПДК. Потенциальные и
Описание слайда:

Задачи 2. В водоеме обнаружено загрязнение с превышением ПДК. Потенциальные источники - два предприятия, причем выбросы на первом происходят в 9 раз чаще, чем на втором. Только 15% сбросов первого предприятия превышают ПДК. Для второго предприятия эта вероятность равна 92% Кто виноват?! Решение:

№ слайда 33 3. Из 10 учеников, пришедших на экзамен, трое подготовились отлично, четверо
Описание слайда:

3. Из 10 учеников, пришедших на экзамен, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно и один совсем не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отличники могут ответить на все вопросы, хорошисты – на 16, троечники – на 10, а двоечники – на 5 вопросов. Каждый ученик получает 3 вопроса. Приглашенный первый ученик ответил на три вопроса. Какова вероятность, что он отличник? Решение: А={ученик ответил на три вопроса}, H1={приглашенный ученик отличник}, H2={ученик-хорошист},H3={ученик-троечник}, H4={ученик-двоечник}. Задачи

№ слайда 34 Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятнос
Описание слайда:

Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0<Р<1) , событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли q=1-p ; q- вероятность противоположного события, где n – общее количество испытаний, к – количество наступивших испытаний. или Формула Бернулли

№ слайда 35 Пример. Подбрасываем 10 раз кубик. Какова вероятность, что пятерка выпадет ро
Описание слайда:

Пример. Подбрасываем 10 раз кубик. Какова вероятность, что пятерка выпадет ровно 4 раза? Решение. Схема испытаний Бернулли. p=1/6, q=1-1/6=5/6.

№ слайда 36 Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отличн
Описание слайда:

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна где Интегральная теорема Лапласа Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна где Локальная теорема Лапласа

№ слайда 37 Для вычислений по формуле имеются таблицы. В таблицах приведены значения функ
Описание слайда:

Для вычислений по формуле имеются таблицы. В таблицах приведены значения функции для положительных значений аргумента. Значения для отрицательных значений аргумента вычисляются по формуле На рисунке приведены графики функций Ф(x) (черным цветом) и подынтегральной функции (красным цветом) Интегральная теорема Лапласа

№ слайда 38 Пример 1. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика четверка выпаде
Описание слайда:

Пример 1. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика четверка выпадет ровно 30 раз. n=100, m=30, p=1/6, q=1-1/6=5/6

№ слайда 39 Пример 2. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика 4 выпадет от m1
Описание слайда:

Пример 2. Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика 4 выпадет от m1=15 до m2=25 раз.

№ слайда 40 Задача 3 . Сколько раз нужно подбросить кубик, чтобы частота отличалась от ве
Описание слайда:

Задача 3 . Сколько раз нужно подбросить кубик, чтобы частота отличалась от вероятности не более чем на 0.005 с вероятностью 0.9? Решение. Основная формула. Роль x1, x2 теоремы Лапласа играют Из теоремы Лапласа Подставив числа, получим уравнение относительно n По таблице ищем значение аргумента функции Лапласа такое, что ее значение равно 0.95. Это 1.65. Отсюда находим n n=15125

№ слайда 41 Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют др
Описание слайда:

Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна Распределение Пуассона

№ слайда 42
Описание слайда:


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров157
Номер материала ДВ-520343
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх