Презентация по математике "Угол между прямой и плоскостью. Подготовка к ЕГЭ" (10-11 класс)

• 1 слайд

  Угол между
  прямой и плоскостью.
  Подготовка к ЕГЭ
  Галкин Сергей Михайлович, учитель математики
  МБОУ «Гимназия № 41», г. Новоуральск, Свердловская обл.
  [e-mail], smgal.ru
  © Галкин С.М. 2012-2017
  

• 2 слайд

  A1
  B1
  C1
  A
  B
  C
  D
  D1
  C1
  B1
  A1
  C
  B
  A
  D
  D1
  Рисунок неудачный:
  плоскость треугольника CB1D1 плохо просматривается
  Поменяли местами буквы A и A1. Теперь все хорошо просматривается.
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  2
  

• 3 слайд

  C1
  B1
  C
  B
  D
  D1
  Так как АВ║С1D1, то угол между прямой АВ и пл. CB1D1 равен углу между прямой C1D1 и пл. CB1D1.
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  3
  A1
  A
  

• 4 слайд

  Так как АВ║С1D1, то угол между прямой АВ и пл. CB1D1 равен углу между прямой C1D1 и пл. CB1D1.
  C1
  B1
  A1
  C
  B
  A
  D
  D1
  A1C1 является проекцией наклонной АС1 на пл. A1B1C1D1
  По теореме о трех перпендикулярах
  B1D1 ┴ АС1
  
  (прямая B1D1 лежит в плоскости A1B1C1D1 и перпендикулярна к проекции A1C1 наклонной АС1 на плоскость A1B1C1D1 поэтому она (B1D1) перпендикулярна и к самой наклонной АС1 )
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  4
  

• 5 слайд

  Так как АВ║С1D1, то угол между прямой АВ и пл. CB1D1 равен углу между прямой C1D1 и пл. CB1D1.
  C1
  B1
  A1
  C
  B
  A
  D
  D1
  A1C1 является проекцией наклонной АС1 на пл. A1B1C1D1
  По теореме о трех перпендикулярах
  B1D1 ┴ АС1
  
  (прямая B1D1 лежит в плоскости A1B1C1D1 и перпендикулярна к проекции A1C1 наклонной АС1 на плоскость A1B1C1D1 поэтому она (B1D1) перпендикулярна и к самой наклонной АС1 )
  Аналогично СB1 ┴ АС1
  
  (прямая СB1 лежит в плоскости СС1B1B и перпендикулярна к проекции BC1 наклонной АС1 на плоскость СС1B1B поэтому она (CB1) перпендикулярна и к самой наклонной АС1 )
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  5
  

• 6 слайд

  Прямые АС1 и СО1 лежат в одной плоскости АА1С1С и пересекаются в некоторой точке М, которая и является точкой пересечения прямой АС1 с плоскостью СB1D1 .
  Прямая АС1 лежит в диагональной плоскости АА1С1С , которая пересекает верхнюю грань A1B1C1D1 по прямой А1С1, а плоскость СB1D1 по прямой О1С, где О1 – центр квадрата A1B1C1D1.
  Построим точку пересечения прямой АС1 с плоскостью CB1D1.
  C1
  B1
  C
  B
  D
  D1
  О1
  M
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  6
  A1
  A
  Итак, прямая АС1 перпендикулярна к двум пересекающимся прямым B1D1 и CB1, лежащим в плоскости CB1D1, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости СB1D1.
  

• 7 слайд

  Таким образом, С1М – перпендикуляр к плоскости СB1D1. Тогда MD1 - проекция С1D1 на эту плоскость СB1D1 и угол С1D1M – искомый угол прямой C1D1
  (а, значит, и АВ) с плоскостью СB1D1
  C1
  B1
  C
  B
  D
  D1
  О1
  M
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  7
  A
  Прямая АС1 лежит в диагональной плоскости АА1С1С , которая пересекает верхнюю грань A1B1C1D1 по прямой А1С1, а плоскость СB1D1 по прямой О1С, где О1 – центр квадрата A1B1C1D1.
  Построим точку пересечения прямой АС1 с плоскостью CB1D1.
  A1
  A
  Итак, прямая АС1 перпендикулярна к двум пересекающимся прямым B1D1 и CB1, лежащим в плоскости CB1D1, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости СB1D1.
  Прямые АС1 и СО1 лежат в одной плоскости АА1С1С и пересекаются в некоторой точке М, которая и является точкой пересечения прямой АС1 с плоскостью СB1D1 .
  

• 8 слайд

  C1
  B1
  C
  B
  D
  D1
  О1
  M
  C
  C1
  A1
  A
  О1
  Треугольники С1МО1 и АМС подобны по двум углам . Откуда
  M
  Пусть ребро куба равно а. Тогда
  Значит, С1М = k, МА = 2k, С1А = 3k
  Из прямоугольного треугольника C1MD1
  1. В кубе А … D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1.
  8
  A1
  A
  

• 9 слайд

  A
  A1
  C1
  B
  C
  D1
  D1
  D1
  M
  N
  O
  O1
  Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда А…D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.
  Задача 372. Геометрия 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян и др. 11-е изд. - М. : Просвещение, 2002.
  Опорная, ключевая задача. (Задача предок)
  9