Инфоурок Другое ПрезентацииПрезентация по теме "Замечательные свойства медианы и биссектрисы"

Презентация по теме "Замечательные свойства медианы и биссектрисы"

Скачать материал
Скачать материал "Презентация по теме "Замечательные свойства медианы и биссектрисы""

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист по работе с молодежью

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Исследовательская работа по теме:
«Замечательные свойства биссектрисы и медиа...

    1 слайд

    Исследовательская работа по теме:
    «Замечательные свойства биссектрисы и медианы.»

    Работу выполнила:
    Рейхерт Надежда
    ученица 9А класса.
    Руководитель:
    Кузьмина Галина Вячеславовна,
    учитель математики.

  • Актуальность темы, цель и задачи.
Актуальность: Треугольник, его свойства и т...

    2 слайд

    Актуальность темы, цель и задачи.

    Актуальность: Треугольник, его свойства и теоремы, связанные с ним, проходят красной линией по всей геометрии, являются основой основ планиметрии и стереометрии. Поэтому я посчитала важным изучить теорию о треугольнике. Так же мне это пригодится при сдаче ГИА, а в дальнейшем и ЕГЭ.

    Перед собой я поставила цель: Узнать новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, его элементов и укрепить свои прежние знания.

    Задачи:
    Узнать историю треугольника.
    Повторить основные теоретические положения.
    Дополнить свои знания новой информацией.

  • Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количес...

    3 слайд



    Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — тригонометрия. Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность


    Основные понятия.

    Обозначения

    Признаки равенства треугольников
    Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:
    a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
    a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
    a, b, c (равенство по трём сторонам).
    Признаки равенства прямоугольных треугольников:
    по катету и гипотенузе;
    по двум катетам;
    по катету и острому углу;
    по гипотенузе и острому углу.

  • Отрезки и точкиМедианой треугольника, проведённой из данной вершины, называе...

    4 слайд

    Отрезки и точки

    Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.
    Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).


  • Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника.ТЕОРЕМА.  Пусть  биссектрисы...

    5 слайд

    Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника.

    ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A L1, ВL2, СL3 треугольника ABC пересекаются в точке I, тогда
    Докажем равенство:
    Доказательство:
    AL1 ─ биссектриса ΔABC. Известно, что
    Из того, что СI ─ биссектриса
    Δ A L1 C, используя выражение для x , получим:
    откуда

  • Задача 1.  Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в...

    6 слайд

    Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в одном отношении, то треугольник АВС равносторонний.

    Решение.
    По условию:
    Следовательно,
    Прибавляя к каждой дроби 1, получим
    отсюда следует, что
    . Значит, треугольник АВС ─ равносторонний.

  • Как можно найти длину биссектрисы треугольника?Длину биссектрисы треугольник...

    7 слайд

    Как можно найти длину биссектрисы треугольника?

    Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле
    биссектриса угла В,
    a, b, c стороны треугольника АВС, , – отрезки на которые биссектриса
    делит
    противоположную сторону.
    2) Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле
    βс =
    3) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле
    βс =
    где a и b – стороны треугольника,
    γ - угол между ними.
    ,где

  • Доказательства формул нахождения биссектрисы. Дано: ∆ ABC,...

    8 слайд

    Доказательства формул нахождения биссектрисы.
    Дано: ∆ ABC, - биссектриса угла В
    Доказать:

    Доказательство. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е . Соединим точки Е и С. Положим
    .
    По свойству пересекающихся хорд имеем:
    (а)
    Рассмотрим треугольники ABD и EBC.
    по условию.
    как углы опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,
    Из подобия треугольников имеем
    (б).
    Из условий (а) и (б) следует, что
    . Что и требовалось доказать.
    1)

  • 2)Дано: ∆ ABC...

    9 слайд

    2)
    Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказать: βс =
    Доказательство:
    Запишем формулу
    = ab – a1b1 в виде
    = ab – a1(c – a1) . Используя теорему о том, что биссектриса делит
    сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим
    ac – aa1 = ba1;
    ac = a1(b + a);
    Отсюда находим
    Тогда
    βс =
    . Что и требовалось доказать.

  • Дано: ∆ABC,...

    10 слайд

    Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса

    Доказать: βс =
    3)
    Доказательство:
    Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b,
    γ. Тогда
    , или
    , откуда βс =
    . Что и требовалось доказать.

  • О медиане.Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длин...

    11 слайд

    О медиане.

    Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле

    ma =
    где a, b, c – стороны треугольника.
    Докажем справедливость этой формулы
    Дано: ∆ ABC
    AD – медиана.
    Доказать: AD =
    Доказательство:
    Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма)
    Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

    AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2
    (2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
    4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
    AD =
    Составим уравнение
    Значит, данная формула справедлива. Что и требовалось доказать.

  • Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключе...

    12 слайд

    Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена.

    Пусть AB = c, AC = b, BC = a, CM = mC.
    Пусть F – точка пересечения прямой CM и прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Ясно, что
    MAF =
    MBC (по стороне
    и двум прилежащим углам). Получили, что MF=MC = mC и AF = BC = a.
    В ACF имеем:

    CF
    AC + AF (неравенство треугольника)
    a + b;

    Что и требовалось доказать.
    2mC
    mC
    (a + b)/2

  • Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны.Дока...

    13 слайд

    Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны.

    Доказательство:
    AM=MC
    BM – медиана;
    ABC;
    AM
    BH;
    MC
    BH.
    Проведем ВН – высоту
    SABM=
    SMBC=
    Так как AM=MC, поэтому
    SABM = SMBC
    Что и требовалось доказать.

  • ОЗадачи.
Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ,...

    14 слайд

    О
    Задачи.

    Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ, они пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей АМОД и ∆АВС, если АВ=14, ВС=21.
    Дано: ∆ АВС
    ВД – биссектриса
    СМ – медиана
    АВ=14, ВС=12.
    Найти:
    Решение:
    Д
    C
    B
    A
    M
    Пусть
    =S.
    т.к СМ – медиана.
    т.к. ВД – биссектриса.
    значит
    Ответ:
    .
    .

    .

  • Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиа...

    15 слайд

    Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=3:2. Найдите площадь четырёхугольника EDCK. (Задача взята из КИМов под редакцией А.А. Семенов, И.В. Ященко; вариант 18 №26)
    E
    K
    C
    D
    B
    A
    Дано: ∆ АВС
    AD – биссектриса
    ВК – медиана


    BD:CD=3:2
    Найти:
    Решение:
    т.к. ВК – медиана делит
    на два равновеликих треугольника.
    По свойству биссектрисы
    т.к. ВК – медиана, то

    имеют равный угол при вершине В, то
    Ответ:

  • Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке...

    16 слайд

    Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О. Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС=4, а ВО:ОН=5:3. (Задача взята из КИМов под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов; вариант 14 №26. 2014год)

    Дано: ∆ АВС
    AL – биссектриса
    ВН – высота
    ВС=4, BО:ОН=5:3
    Найти: R.
    L
    Н
    С
    В
    А
    О
    Решение:

    Ответ: R=2,5.

  • Вывод.В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной...

    17 слайд

    Вывод.
    В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной в школьной программе, из дополнительных источников узнала новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, рассмотрела интересные задачи с их применением. Всё это поможет мне при решении задач. Конечно, эти знания полезны и необходимы при сдаче экзамена.

  • Литература И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособи...

    18 слайд

    Литература
    И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93.
    Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113.
    Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40.
    Аксенов М. Геометрия Энциклопедия для детей: Математика / М. Аксенов. – Москва: Аванта +, 2004 год.
    Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Педагогика, 1989 год.

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 756 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 11.09.2015 4545
    • PPTX 1.7 мбайт
    • 14 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кузьмина Галина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кузьмина Галина Вячеславовна
    Кузьмина Галина Вячеславовна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 16798
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Организация деятельности библиотекаря в профессиональном образовании

Библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 279 человек из 66 регионов

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

4920 руб. 2950 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Анализ эффективности проектов

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

ЕГЭ по биологии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фитнес: теория и практика

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе