830915
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по теме "Замечательные свойства медианы и биссектрисы"

Презентация по теме "Замечательные свойства медианы и биссектрисы"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Исследовательская работа по теме: «Замечательные свойства биссектрисы и медиа...
Актуальность темы, цель и задачи. Актуальность: Треугольник, его свойства и т...
Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количес...
Отрезки и точки Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называе...
Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника. ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A...
Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в...
Как можно найти длину биссектрисы треугольника? Длину биссектрисы треугольник...
Доказательства формул нахождения биссектрисы. Дано: ∆ ABC, - биссектриса угла...
2) Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказа...
Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса Доказать: βс = 3) Доказательство: Пусть СС...
О медиане. Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длин...
Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключе...
Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны. Дока...
О Задачи. Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ...
Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиа...
Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке...
Вывод. В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной...
Литература И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособи...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Исследовательская работа по теме: «Замечательные свойства биссектрисы и медиа
Описание слайда:

Исследовательская работа по теме: «Замечательные свойства биссектрисы и медианы.» Работу выполнила: Рейхерт Надежда ученица 9А класса. Руководитель: Кузьмина Галина Вячеславовна, учитель математики.

2 слайд Актуальность темы, цель и задачи. Актуальность: Треугольник, его свойства и т
Описание слайда:

Актуальность темы, цель и задачи. Актуальность: Треугольник, его свойства и теоремы, связанные с ним, проходят красной линией по всей геометрии, являются основой основ планиметрии и стереометрии. Поэтому я посчитала важным изучить теорию о треугольнике. Так же мне это пригодится при сдаче ГИА, а в дальнейшем и ЕГЭ. Перед собой я поставила цель: Узнать новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, его элементов и укрепить свои прежние знания. Задачи: Узнать историю треугольника. Повторить основные теоретические положения. Дополнить свои знания новой информацией.

3 слайд Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количес
Описание слайда:

Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — тригонометрия. Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность Основные понятия. Обозначения Признаки равенства треугольников Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов: a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними); a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам); a, b, c (равенство по трём сторонам). Признаки равенства прямоугольных треугольников: по катету и гипотенузе; по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу.

4 слайд Отрезки и точки Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называе
Описание слайда:

Отрезки и точки Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

5 слайд Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника. ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A
Описание слайда:

Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника. ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A L1, ВL2, СL3 треугольника ABC пересекаются в точке I, тогда Докажем равенство: Доказательство: AL1 ─ биссектриса ΔABC. Известно, что Из того, что СI ─ биссектриса Δ A L1 C, используя выражение для x , получим: откуда

6 слайд Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в
Описание слайда:

Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в одном отношении, то треугольник АВС равносторонний. Решение. По условию: Следовательно, Прибавляя к каждой дроби 1, получим отсюда следует, что . Значит, треугольник АВС ─ равносторонний.

7 слайд Как можно найти длину биссектрисы треугольника? Длину биссектрисы треугольник
Описание слайда:

Как можно найти длину биссектрисы треугольника? Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле биссектриса угла В, a, b, c стороны треугольника АВС, , – отрезки на которые биссектриса делит противоположную сторону. 2) Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле βс = 3) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле βс = где a и b – стороны треугольника, γ - угол между ними. ,где

8 слайд Доказательства формул нахождения биссектрисы. Дано: ∆ ABC, - биссектриса угла
Описание слайда:

Доказательства формул нахождения биссектрисы. Дано: ∆ ABC, - биссектриса угла В Доказать: Доказательство. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е . Соединим точки Е и С. Положим . По свойству пересекающихся хорд имеем: (а) Рассмотрим треугольники ABD и EBC. по условию. как углы опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, Из подобия треугольников имеем (б). Из условий (а) и (б) следует, что . Что и требовалось доказать. 1)

9 слайд 2) Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказа
Описание слайда:

2) Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказать: βс = Доказательство: Запишем формулу = ab – a1b1 в виде = ab – a1(c – a1) . Используя теорему о том, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим ac – aa1 = ba1; ac = a1(b + a); Отсюда находим Тогда βс = . Что и требовалось доказать.

10 слайд Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса Доказать: βс = 3) Доказательство: Пусть СС
Описание слайда:

Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса Доказать: βс = 3) Доказательство: Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b, γ. Тогда , или , откуда βс = . Что и требовалось доказать.

11 слайд О медиане. Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длин
Описание слайда:

О медиане. Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле ma = где a, b, c – стороны треугольника. Докажем справедливость этой формулы Дано: ∆ ABC AD – медиана. Доказать: AD = Доказательство: Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма) Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2 (2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2 4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2 AD = Составим уравнение Значит, данная формула справедлива. Что и требовалось доказать.

12 слайд Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключе
Описание слайда:

Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена. Пусть AB = c, AC = b, BC = a, CM = mC. Пусть F – точка пересечения прямой CM и прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Ясно, что MAF = MBC (по стороне и двум прилежащим углам). Получили, что MF=MC = mC и AF = BC = a. В ACF имеем: CF AC + AF (неравенство треугольника) a + b; Что и требовалось доказать. 2mC mC (a + b)/2

13 слайд Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны. Дока
Описание слайда:

Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны. Доказательство: AM=MC BM – медиана; ABC; AM BH; MC BH. Проведем ВН – высоту SABM= SMBC= Так как AM=MC, поэтому SABM = SMBC Что и требовалось доказать.

14 слайд О Задачи. Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ
Описание слайда:

О Задачи. Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ, они пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей АМОД и ∆АВС, если АВ=14, ВС=21. Дано: ∆ АВС ВД – биссектриса СМ – медиана АВ=14, ВС=12. Найти: Решение: Пусть =S. т.к СМ – медиана. т.к. ВД – биссектриса. значит Ответ: . . . Д C B A M

15 слайд Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиа
Описание слайда:

Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=3:2. Найдите площадь четырёхугольника EDCK. (Задача взята из КИМов под редакцией А.А. Семенов, И.В. Ященко; вариант 18 №26) Дано: ∆ АВС AD – биссектриса ВК – медиана BD:CD=3:2 Найти: Решение: т.к. ВК – медиана делит на два равновеликих треугольника. По свойству биссектрисы т.к. ВК – медиана, то имеют равный угол при вершине В, то Ответ: E K C D

16 слайд Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке
Описание слайда:

Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О. Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС=4, а ВО:ОН=5:3. (Задача взята из КИМов под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов; вариант 14 №26. 2014год) Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС=4, BО:ОН=5:3 Найти: R. Решение: Ответ: R=2,5. L

17 слайд Вывод. В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной
Описание слайда:

Вывод. В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной в школьной программе, из дополнительных источников узнала новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, рассмотрела интересные задачи с их применением. Всё это поможет мне при решении задач. Конечно, эти знания полезны и необходимы при сдаче экзамена.

18 слайд Литература И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособи
Описание слайда:

Литература И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93. Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113. Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40. Аксенов М. Геометрия Энциклопедия для детей: Математика / М. Аксенов. – Москва: Аванта +, 2004 год. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Педагогика, 1989 год.

Общая информация

Номер материала: ДA-039119

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.