Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Исследовательская работа по теме:
«Замечательные свойства биссектрисы и медианы.»
Работу выполнила:
Рейхерт Надежда
ученица 9А класса.
Руководитель:
Кузьмина Галина Вячеславовна,
учитель математики.
2 слайд
Актуальность темы, цель и задачи.
Актуальность: Треугольник, его свойства и теоремы, связанные с ним, проходят красной линией по всей геометрии, являются основой основ планиметрии и стереометрии. Поэтому я посчитала важным изучить теорию о треугольнике. Так же мне это пригодится при сдаче ГИА, а в дальнейшем и ЕГЭ.
Перед собой я поставила цель: Узнать новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, его элементов и укрепить свои прежние знания.
Задачи:
Узнать историю треугольника.
Повторить основные теоретические положения.
Дополнить свои знания новой информацией.
3 слайд
Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — тригонометрия. Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность
Основные понятия.
Обозначения
Признаки равенства треугольников
Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:
a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
a, b, c (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
по катету и гипотенузе;
по двум катетам;
по катету и острому углу;
по гипотенузе и острому углу.
4 слайд
Отрезки и точки
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
5 слайд
Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника.
ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A L1, ВL2, СL3 треугольника ABC пересекаются в точке I, тогда
Докажем равенство:
Доказательство:
AL1 ─ биссектриса ΔABC. Известно, что
Из того, что СI ─ биссектриса
Δ A L1 C, используя выражение для x , получим:
откуда
6 слайд
Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в одном отношении, то треугольник АВС равносторонний.
Решение.
По условию:
Следовательно,
Прибавляя к каждой дроби 1, получим
отсюда следует, что
. Значит, треугольник АВС ─ равносторонний.
7 слайд
Как можно найти длину биссектрисы треугольника?
Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле
биссектриса угла В,
a, b, c стороны треугольника АВС, , – отрезки на которые биссектриса
делит
противоположную сторону.
2) Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле
βс =
3) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле
βс =
где a и b – стороны треугольника,
γ - угол между ними.
,где
8 слайд
Доказательства формул нахождения биссектрисы.
Дано: ∆ ABC, - биссектриса угла В
Доказать:
Доказательство. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е . Соединим точки Е и С. Положим
.
По свойству пересекающихся хорд имеем:
(а)
Рассмотрим треугольники ABD и EBC.
по условию.
как углы опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,
Из подобия треугольников имеем
(б).
Из условий (а) и (б) следует, что
. Что и требовалось доказать.
1)
9 слайд
2)
Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказать: βс =
Доказательство:
Запишем формулу
= ab – a1b1 в виде
= ab – a1(c – a1) . Используя теорему о том, что биссектриса делит
сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим
ac – aa1 = ba1;
ac = a1(b + a);
Отсюда находим
Тогда
βс =
. Что и требовалось доказать.
10 слайд
Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса
Доказать: βс =
3)
Доказательство:
Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b,
γ. Тогда
, или
, откуда βс =
. Что и требовалось доказать.
11 слайд
О медиане.
Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле
ma =
где a, b, c – стороны треугольника.
Докажем справедливость этой формулы
Дано: ∆ ABC
AD – медиана.
Доказать: AD =
Доказательство:
Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма)
Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2
(2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
AD =
Составим уравнение
Значит, данная формула справедлива. Что и требовалось доказать.
12 слайд
Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена.
Пусть AB = c, AC = b, BC = a, CM = mC.
Пусть F – точка пересечения прямой CM и прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Ясно, что
MAF =
MBC (по стороне
и двум прилежащим углам). Получили, что MF=MC = mC и AF = BC = a.
В ACF имеем:
CF
AC + AF (неравенство треугольника)
a + b;
Что и требовалось доказать.
2mC
mC
(a + b)/2
13 слайд
Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны.
Доказательство:
AM=MC
BM – медиана;
ABC;
AM
BH;
MC
BH.
Проведем ВН – высоту
SABM=
SMBC=
Так как AM=MC, поэтому
SABM = SMBC
Что и требовалось доказать.
14 слайд
О
Задачи.
Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ, они пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей АМОД и ∆АВС, если АВ=14, ВС=21.
Дано: ∆ АВС
ВД – биссектриса
СМ – медиана
АВ=14, ВС=12.
Найти:
Решение:
Д
C
B
A
M
Пусть
=S.
т.к СМ – медиана.
т.к. ВД – биссектриса.
значит
Ответ:
.
.
.
15 слайд
Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=3:2. Найдите площадь четырёхугольника EDCK. (Задача взята из КИМов под редакцией А.А. Семенов, И.В. Ященко; вариант 18 №26)
E
K
C
D
B
A
Дано: ∆ АВС
AD – биссектриса
ВК – медиана
BD:CD=3:2
Найти:
Решение:
т.к. ВК – медиана делит
на два равновеликих треугольника.
По свойству биссектрисы
т.к. ВК – медиана, то
имеют равный угол при вершине В, то
Ответ:
16 слайд
Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О. Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС=4, а ВО:ОН=5:3. (Задача взята из КИМов под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов; вариант 14 №26. 2014год)
Дано: ∆ АВС
AL – биссектриса
ВН – высота
ВС=4, BО:ОН=5:3
Найти: R.
L
Н
С
В
А
О
Решение:
Ответ: R=2,5.
17 слайд
Вывод.
В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной в школьной программе, из дополнительных источников узнала новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, рассмотрела интересные задачи с их применением. Всё это поможет мне при решении задач. Конечно, эти знания полезны и необходимы при сдаче экзамена.
18 слайд
Литература
И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93.
Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113.
Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40.
Аксенов М. Геометрия Энциклопедия для детей: Математика / М. Аксенов. – Москва: Аванта +, 2004 год.
Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Педагогика, 1989 год.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 671 873 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кузьмина Галина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.