Презентация учащегося по математике по теме "Некоторые способы доказательства теоремы Пифагора"

• 1 слайд

  
  
  
  
  
  Теорема Пифагора.
  Некоторые способы ее
  доказательства.
  Выполнил ученик 9 а класса
  МБОУ СОШ №156
  Абузяров Артем, 2015г.
  Учитель:Федорченко М.В.
  

• 2 слайд

  Пифагор
  Пифагор Самосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570-490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорийцев.
  Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
  Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242—306 гг.) «О Пифагоровой жизни»; Порфирия (234—305 гг.) «Жизнь Пифагора»; Диогена Паэртского (200—250 гг.) кн. 8, «Пифагор». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370—300 гг. до н. э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев.
  Таким образом, самые ранние известные источники писали о Пифагоре 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
  В честь Пифагора назван кратер на Луне.
  

• 3 слайд

  Теорема Пифагора
  Основным достижением Пифагора и его учеников пифагорийцев, в созданной им школе, считается «Теорема Пифагора»
  

• 4 слайд

  Разнообразие доказательства
  На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы.
  
  

• 5 слайд

  Формулировки
  Геометрическая формулировка:
  Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
  Алгебраическая формулировка:
  То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
  a2 + b2 = c2
  Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
  Обратная теорема Пифагора:
  
  
  Геометрическая формулировка:
  Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
  Алгебраическая формулировка:
  Геометрическая формулировка:
  Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
  То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
  a2 + b2 = c2
  Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
  Обратная теорема Пифагора:
  То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
  a2 + b2 = c2
  Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
  Обратная теорема Пифагора:
  

• 6 слайд

  Доказательство через подобные треугольники
  
  Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
  Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
  
  

• 7 слайд

  Доказательство через равнодополняемость
  
  Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
  Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
  Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
  
  
  

• 8 слайд

  Доказательство Леонардо Да Винчи
  Главные элементы доказательства — симметрия и движение.
  Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.
  

• 9 слайд

  История
  В древнекитайской книге Чу-Пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
  Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменхотепа
  а I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели верёвок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
  Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
  Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-Дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
  Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
  

Краткое описание документа:

Презентация подготовлена учащимся 9 класса, была использована при изучении одной из самых интересных тем геометрии "Теорема Пифагора". В презентации представлены исторические факты, рассмотрены некоторые способы доказательства данной теоремы. Интерес учащихся вызвал способ доказательства Леонардо Да Винчи.