Презентация "Векторы в пространстве" Понятия, действия с векторами, решение задач

• 1 слайд

  Векторы в пространстве
  вход
  

• 2 слайд

  Содержание
  I.Понятие вектора в пространстве
  II.Коллинеарные векторы
  III.Компланарные векторы
  IV.Действия с векторами
  V.Разложение вектора
  VI.Базисные задачи
  
  Проверь себя
  Об авторе
  Помощь в управлении презентацией
  
  Выход
  

• 3 слайд

  Понятие вектора в пространстве
  Вектор(направленный отрезок) –
  отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.
  
  
  
  Длина вектора – длина отрезка AB.
  
  А
  В
  M
  

• 4 слайд

  Коллинеарные векторы
  Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной
  прямой или параллельных прямых.
  
  Среди коллинеарных различают:
  Сонаправленные векторы
  Противоположно направленные векторы
  

• 5 слайд

  Сонаправленные векторы
  Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
  по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.
  Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.
  Равные векторы
  

• 6 слайд

  Равные векторы
  Равные векторы - сонаправленные векторы,
  длины которых равны.
  От любой точки можно отложить вектор,
  равный данному, и притом только один.
  

• 7 слайд

  Противоположно направленные векторы
  Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.
  Противоположные векторы
  

• 8 слайд

  Противоположные векторы
  Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.
  
  
  
  
  
  Вектором, противоположным нулевому,
  считается нулевой вектор.
  

• 9 слайд

  Признак коллинеарности
  Доказательство
  

• 10 слайд

  Доказательство признака коллинеарности
  

• 11 слайд

  Определение компланарных векторов
  Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
  Пример:
  B
  А
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  

• 12 слайд

  О компланарных векторах
  Любые два вектора всегда компланарны.
  
  
  
  
  Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
  
  α
  если
  

• 13 слайд

  Признак компланарности
  Доказательство
  
  Задачи
  

• 14 слайд

  Задачи на компланарность
  Компланарны ли векторы:
  а)
  б)
  
  СправкаРешение
  Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:
  а)
  б)
  
  СправкаРешение
  

• 15 слайд

  Решение
  

• 16 слайд

  Решение
  

• 17 слайд

  Решение
  

• 18 слайд

  Доказательство признака компланарности
  С
  O
  A1
  B1
  B
  A
  

• 19 слайд

  Свойство компланарных
  векторов
  

• 20 слайд

  Действия с векторами
  Сложение
  Вычитание
  Умножение вектора на число
  Скалярное произведение
  

• 21 слайд

  Сложение векторов
  
  Правило треугольника
  Правило параллелограмма
  Правило многоугольника
  Правило параллелепипеда
  Свойства сложения
  

• 22 слайд

  Правило треугольника
  А
  B
  C
  

• 23 слайд

  Правило треугольника
  А
  B
  C
  Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
  

• 24 слайд

  Правило параллелограмма
  А
  B
  C
  

• 25 слайд

  Свойства сложения
  

• 26 слайд

  Правило многоугольника
  Сумма векторов равна вектору, проведенному
  из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).
  B
  A
  C
  D
  E
  Пример
  

• 27 слайд

  Пример
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  

• 28 слайд

  Правило параллелепипеда
  B
  А
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.
  

• 29 слайд

  Свойства
  B
  А
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  

• 30 слайд

  Вычитание векторов
  Вычитание
  Сложение с противоположным
  

• 31 слайд

  Вычитание
  Разностью векторов и называется такой
  вектор, сумма которого с вектором равна
  вектору .
  
  

• 32 слайд

  Вычитание
  B
  A
  Правило трех точек
  C
  

• 33 слайд

  Правило трех точек
  Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.
  А
  B
  K
  

• 34 слайд

  Сложение с противоположным
  Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .
  А
  B
  O
  

• 35 слайд

  Умножение вектора на число
  

• 36 слайд

  Свойства
  Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
  
  Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
  
  

• 37 слайд

  Свойства
  

• 38 слайд

  Скалярное произведение
  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
  Справедливые утверждения
  Вычисление скалярного произведения в координатах
  Свойства скалярного произведения
  

• 39 слайд

  Справедливые утверждения
  скалярное произведение ненулевых векторов
  равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны
  
  скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату
  его длины
  

• 40 слайд

  Вычисление скалярного произведения в координатах
  Доказательство
  

• 41 слайд

  Доказательство формулы скалярного произведения
  O
  A
  B
  α
  O
  B
  A
  O
  B
  A
  

• 42 слайд

  Доказательство формулы скалярного произведения
  

• 43 слайд

  Свойства скалярного
  произведения
  
  
  10.
  20.
  30.
  40.
  (переместительный закон)
  (распределительный закон)
  (сочетательный закон)
  

• 44 слайд

  Разложение вектора
  По двум неколлинеарным векторам
  По трем некомпланарным векторам
  

• 45 слайд

  Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
  Теорема.
  Любой вектор можно разложить по двум
  данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
  
  Доказательство
  

• 46 слайд

  Доказательство теоремы
  O
  A
  A1
  B
  P
  
  Пусть коллинеарен .
  Тогда , где y – некоторое число. Следовательно,
  
  т.е. разложен по векторам и .
  

• 47 слайд

  не коллинеарен ни вектору , ни вектору .
  Отметим О – произвольную точку.
  
  
  Доказательство теоремы
  

• 48 слайд

  Доказательство теоремы
  Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
  Допустим:
  Тогда:
  
  -
  

• 49 слайд

  Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
  Если вектор p представлен в виде
  
  где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
  разложен по векторам , и .
  Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
  
  Теорема
  Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
  
  Доказательство
  
  

• 50 слайд

  Доказательство теоремы
  С
  O
  A
  B
  P1
  P2
  P
  

• 51 слайд

  Доказательство теоремы
  Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
  Допустим:
  Тогда:
  -
  

• 52 слайд

  Базисные задачи
  Вектор, проведенный в середину отрезка
  Вектор, проведенный в точку отрезка
  Вектор, соединяющий середины двух отрезков
  Вектор, проведенный в центроид треугольника
  Вектор, проведенный в точку пересечения
  диагоналей параллелограмма
  Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
  

• 53 слайд

  Вектор, проведенный в середину отрезка,
  С
  A
  B
  O
  Доказательство
  равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
  

• 54 слайд

  Доказательство
  С
  A
  B
  O
  

• 55 слайд

  Вектор, проведенный в точку отрезка
  С
  A
  B
  O
  m
  n
  Доказательство
  Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
  

• 56 слайд

  Доказательство
  С
  A
  B
  O
  m
  n
  

• 57 слайд

  Вектор, соединяющий середины двух отрезков,
  С
  A
  B
  D
  M
  N
  С
  A
  B
  D
  M
  N
  Доказательство
  равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
  

• 58 слайд

  Доказательство
  С
  A
  B
  D
  M
  N
  

• 59 слайд

  Вектор, проведенный в центроид треугольника,
  Центроид – точка пересечения медиан треугольника.
  С
  O
  A
  B
  M
  Доказательство
  равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.
  

• 60 слайд

  Доказательство
  С
  O
  A
  B
  M
  K
  

• 61 слайд

  Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
  A
  B
  C
  D
  O
  M
  Доказательство
  равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.
  

• 62 слайд

  Доказательство
  A
  B
  C
  D
  O
  M
  

• 63 слайд

  Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Доказательство
  равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.
  

• 64 слайд

  Доказательство
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  

• 65 слайд

  Помощь в управлении
  презентацией
  управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
  переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
  завершение презентации при нажатии кнопки выход
  переход к следующему слайду
  возврат к содержанию
  возврат к подтеме
  возврат с гиперссылок
  
  

• 66 слайд

  Проверь себя
  Устные вопросы
  Задача 1. Задача на доказательство
  Задача 2. Разложение векторов
  Задача 3. Сложение и вычитание векторов
  Задача 4. Скалярное произведение
  

• 67 слайд

  Устные вопросы
  Справедливо ли утверждение:
  а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?
  б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
  в) любые два равных вектора коллинеарны?
  г) любые два сонаправленных вектора равны?
  д)
  е) существуют векторы , и такие, что
  и не коллинеарны, и не коллинеарны, а
  и коллинеарны?
  Ответы
  

• 68 слайд

  Ответы
  а) ДА
  б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)
  в) ДА
  г) НЕТ (могут иметь разную длину)
  д) ДА
  е) ДА
  

• 69 слайд

  Задача 1. Задача на доказательство
  B
  А
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  M1
  M2
  Решение
  

• 70 слайд

  Решение
  B
  А
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  M1
  M2
  

• 71 слайд

  Задача 2. Разложение векторов
  Разложите вектор по , и :
  
  
  
  
  
  
  а)
  б)
  в)
  г)
  Решение
  A
  B
  C
  D
  N
  

• 72 слайд

  Решение
  а)
  б)
  в)
  г)
  

• 73 слайд

  Задача 3. Сложение и вычитание
  Упростите выражения:
  а)
  б)
  в)
  г)
  д)
  е)
  
  Решение
  

• 74 слайд

  Решение
  а)
  б)
  в)
  г)
  д)
  
  
  е)
  

• 75 слайд

  Задача 4. Скалярное произведение
  Вычислить скалярное произведение векторов:
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Решение
  

• 76 слайд

  Задача 4. Скалярное произведение
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  O1
  Вычислить скалярное произведение векторов:
  Решение
  

• 77 слайд

  Решение
  

• 78 слайд

  Решение
  

• 79 слайд

  Решение
  C
  A
  B
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  O1