Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Применение коэфицентов трёхчлена к решению задач с параметрами

Применение коэфицентов трёхчлена к решению задач с параметрами

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Агинский институт повышения квалификации работников социальной сферы

МОУ «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»












Применение коэффициентов квадратного трехчлена при решении задач с параметрами.













Автор: Цыбенова Б.В. учитель математики МОУ «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»














п. Могойтуй, 2010 год

Самый трудный материал, с которым приходится, встречаться абитуриентам или школьникам на экзаменах, - это задания с параметрами. Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. В школьном курсе математики этим задачам отводится незначительное место. Я хочу научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами. И выбрала метод применения коэффициентов. При решении уравнений и неравенств с параметрами развивается вариативное мышление, т.к. приходится разбирать способы решения для того, чтобы найти значения параметров, при которых общее решение уравнения или неравенства обладает некоторыми свойствами. Можно утверждать, что если я сознательно усвою приемы, то мои знания существенно улучшатся, а это положительно скажется в экзаменационной работе.
































Введение

ПАРАМЕТР ( от греческого - отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Например, в декартовых прямоугольных координатах уравнением hello_html_m5db05dbd.gif определяется множество всех окружностей радиуса 1 на плоскости x0y; полагая, например, что a=3, b=4, выделяют из этого множества вполне определенную окружность с центром (3,4), следовательно, a и b суть параметра окружности в рассматриваемом множестве.

Решить уравнение или неравенство с параметром – значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в зависимости от параметра).

В курсе школьной математики с параметрами мы встречаемся при введении некоторых понятий:

- функция прямая пропорциональность: hello_html_m47396883.gif (x, y – переменные; k – параметр, hello_html_m1317c93.gif);

- линейная функция: y=kx+b (x, y – переменные; k, b – параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a, b – параметры);

- уравнение первой степени: ax+b=0 ( x – переменная; a, b –переменные; hello_html_27ca5b09.gif);

- квадратное уравнение: hello_html_7d8bf9a.gif( x – переменная; a, b, c –параметры; hello_html_27ca5b09.gif).

К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничиваемся его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ. Основное, что нужно усвоить при знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Задания с параметрами, где встречается квадратный трехчлен, являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом hello_html_3a6a12a3.gif с параметром hello_html_m770c8044.gif и hello_html_m46559856.gif не выше второй степени.

Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:

1). Решить уравнения, неравенства с параметром.

2). Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения, неравенства обладает определенными свойствами.

Контрольные значения параметра определяются уравнением hello_html_10dad8a3.gif и уравнением D = 0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1). На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2). На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду hello_html_m536dbe56.gif.

3). Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых hello_html_10dad8a3.gif. Если уравнение hello_html_10dad8a3.gif имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения hello_html_10dad8a3.gif проводится решение уравнения hello_html_m56a5dcec.gif, выделяются типы hello_html_m74e6612e.gif и ø особых частных уравнений. Множеству hello_html_e392691.gif соответствует тип не особых частных уравнений.

4). Выделяются контрольные значения параметра, для которых hello_html_ma607c24.gif обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень hello_html_597ff127.gif

5). Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак D. Множеству hello_html_m679f8faa.gif соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значения параметра hello_html_5baf3281.gif частные уравнения имеют два действительных корня.




I. Определение квадратного трехчлена.

1. Квадратным трехчленом называется выражение: f(x)=ax²+bx+c, графиком соответствующей функции является парабола.

2. В зависимости от величины дискриминанта D (D=b²- 4ac) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:

  • При D > 0 существует две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена);

  • При D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

  • При D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет);

  • В последнем случае, если а > 0, график параболы целиком лежит выше оси Ох, а если а < 0 целиком ниже оси Ох.

3. Координаты вершины параболы определяются формулами: х0 = -b/2a; y0 = (4ac - b²)/-4a.

Самый простой и понятный в использовании способ решения задач заключается в том, чтобы вычислить корни заданного уравнения в зависимости от параметра и выяснить, когда выполнены условия задачи.

Задание 1: При каких значениях параметра a, оба корня уравнения x² - 5ax + 6a =0 будут больше 100?

Решение: Находим D=b² - 4ac= 25a² - 4 ·6a² = a², тогда х1 = 2а и х2 = 3а.

Оhello_html_2ac7fd01.gifстается найти те значения параметра а, при которых одновременно выполнены неравенства.

2а > 100

3а >100

При а >50, а Є (50; ∞ ) .

Задание 2: При каких значениях параметра а решением неравенства

-х² + (8 – а)х + 5(а – 3) ≥ 0 является отрезок длины 4?

Решение: Решением такого неравенства является отрезок, заключенный между корнями соответствующего квадратного уравнения (конечно, если таковы существуют).

Решаем уравнение х² - (8 – а)х - 5(а – 3) = 0

D = (8 – а)² + 20(а – 3) = (а + 2)²

Дискриминант является полным квадратом, поэтому х1 = 5 и х2 = 3 – а

Множество решений неравенства будет отрезком длины 4, если четырем будет равно расстояние на числовой прямой между этими корнями, поэтому искомые значения параметра задаются уравнением:

|(3 – а) - 5| = 4

|а + 2| = 4

Ответ: при а = -6 и а = 4.

Из этого следует, что если есть в задании квадратное уравнение с параметром, проверить, не является ли его дискриминант полным квадратом.

II. Теорема Виета. Если числа х1 и х2 пусть корни квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0,

то для них выполнены соотношения

х1 + х2 = -b/a и x1 · x2 = c/a.

Теорема Виета успешно используется для решения задач, связанных с определением знаков корней квадратного уравнения. Это мощный инструмент решения задач с параметрами. На этот случай существуют различные утверждения, подобные следующим.

Теорема 2.1. Для того чтобы корни квадратного уравнения имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения

D = b² - 4ac ≥ 0 и x1 ·x2 = c/a > 0

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

x1 + x2 = -b/a > 0

и оба корня будут отрицательны, если

x1 + x2 = -b/a < 0.

Теорема 2.2. Для того чтобы корни квадратного уравнения имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения условия

х1 · x2 = c/a < 0.

При использовании этой теоремы нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как c/a < 0, то и а · с < 0, поэтому дискриминант D=b²- 4ac будет строго положительным.

Знаки корней, их суммы и произведения

x1

x2

x1 + x2 = -b/a

x1 · x2 = c/a

+

+

+

+

0

+

+

0

-

+

?

-

0

0

0

0

-

0

-

0

-

-

-

+




Задание 3: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(а -1)х² - 6(а -1)х + (а² + 2) = 0

Имеет два различных положительных корня.

Решение. Сначала отбросим значение а = 1 – в этом случае уравнение вырождается и не имеет корней. Для других а легко можно записать выражение для корней этого квадратного уравнения

Х = (-3(а – 1) ± √(-а³ + 10а² - 23а + 14))/(а – 1),

Но делать что-нибудь с этими корнями уже почему-то не хочется…

Первая дополнительная теорема предлагает на этот случай набор условий

xhello_html_m3544cdd1.gif1 + x2 = -b/a > 0,

x1 · x2 = c/a > 0,

D > 0.

Рассмотрим первые два неравенства системы. Получим

x1 + x2 = (6(а – 1))/(а – 1) > 0 и x1 · x2 = (а² + 2)/(а – 1) > 0.

Нетрудно убедиться, что оба эти условия выполнены при всех а > 1.

Теперь рассмотрим условие положительности дискриминанта

D = 36(а – 1)² - 4(а – 1) · (а² + 2) = 4(а – 1) · ( -а² + 9а – 14) > 0.

С учетом условия а > 1, решим квадратное неравенство

-а² + 9а – 14 > 0

и получим промежуток а Є (2;7), причем условие а > 1 выполнено.

Ответ: При а Є (2;7).

III. Теоремы о расположении корней.

  1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

  2. Пусть f(x)=ax²+bx+c имеет действительные корни х1 и х2 , а х0 – какое-нибудь действительное число. Тогда:

Теорема 3.1.

Дhello_html_4284923.gifhello_html_4284923.gifля того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий:

При а > 0 при а < 0

D ≥ 0 D ≥ 0

-b/2a < х0 -b/2a < х0

f(x0) > 0 f(x0) < 0.


Теорема 3.2.

Чhello_html_m248e259d.gifhello_html_m248e259d.gifтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

при а > 0, при а < 0,

f(x0) < 0. f(x0) > 0.

D > 0 D > 0

Теорема 3.3.

Чhello_html_4284923.gifhello_html_4284923.gifтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий:

при а > 0 при а < 0

D ≥ 0 D ≥ 0

-b/2a > х0 -b/2a > х0

f(x0) > 0 f(x0) < 0.

3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение (ax0² + bx0 + c ).

4. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.

Следствие 1

Чhello_html_4284923.gifhello_html_4284923.gifтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А(М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:

при а > 0 при а < 0

D ≥ 0 D ≥ 0

f(М) > 0 f(М) < 0

f(А) > 0 f(А) < 0.

Следствие 2

Чhello_html_m248e259d.gifhello_html_m248e259d.gifтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно:

при а > 0 при а < 0

f(М) < 0 f(М) > 0

f(А) > 0 f(А) < 0,

при этом меньший корень вне отрезка | МА |.

Следствие 3

Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА ( М < А), необходимо и достаточно:

пhello_html_m248e259d.gifhello_html_m248e259d.gifри а > 0 при а < 0

f(М) > 0 f(М) < 0

f(А) < 0 f(А) > 0,

при этом больший корень вне отрезка | МА |.

Следствие 4

Чhello_html_m248e259d.gifhello_html_m248e259d.gifтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежала внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

при а > 0 при а < 0

f(М) < 0 f(М) > 0

f(А) < 0 f(А) < 0.

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.

Задание 4: При каких значениях а уравнение х² + (а – 1)х + а – 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящие по модулю 5?

Рhello_html_m248e259d.gifhello_html_m248e259d.gifешение. Требуемые значения параметра являются решениями системы

f(-5) = 30 – 9a ≥ 0, a ≤ 10/3,

f(0) = a – 5 < 0, ↔ a < 5,

f(5) = 11a +10 ≥ 0 a ≥ -10/11,

откуда а Є [ -10/11; 10/3].

Задание 5: При каких значениях а уравнение x4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет три разных решения?

Решение: После замены t = х2 получается уравнение

t2 + (1 – 2а) t + а2 – 1 = 0

Пhello_html_5b902363.gifервоначальное уравнение имеет три различных решения тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю, т.е. t0 = (2а – 1)/2 > 0,

f(0) = а2 – 1 =0,

откуда а = 1.

Задание 6. При каких значениях а уравнение x4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 не имеет решений?

Решение. После замены t = х2 получается уравнение t2 + (1 – 2а) t + а2 – 1 = 0.

Первоначальное уравнение не имеет решений в двух случаях: когда полученное квадратное уравнение само не имеет решений, а также когда его возможные корни отрицательны.

Первый случай реализуется неравенством D = - 4a + 5 < 0, откуда а > 5/4.

Второй случай реализуется как система неравенств

hello_html_2ac7fd01.gif0 = (2а – 1)/2 < 0,

f(0) = а2 – 1 > 0,

откуда а < - 1.

Объединяя два случая, получаем ответ: (- ∞; - 1) U (5/4; + ∞ ).

Задание 7. При каких действительных р уравнение

sin2x + p·sinxp2 + 1 = 0 (1)

имеет решение?

Решение.

  1. Это уравнение квадратное относительно sinx, и чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти значения р, при которых корни уравнения

у2 + ру + 1 – р = 0 (2)

действительны и хотя бы один корень удовлетворяет условию

- 1 у ≤ 1. (3)

2. Левая часть уравнения (2) является квадратным трехчленом, график которого направлен ветвями вверх.

3. Условию задачи удовлетворяют те же значения параметра р, при которых выполняется один из четырех случаев.

  • Только больший корень лежит в интервале – 1 < у2 < 1.

  • Только меньший корень трехчлена лежит в интервале – 1 < у1 < 1.

  • Оба корня трехчлена лежат в интервале – 1 < у < 1.

  • Один из корней трехчлена равен + 1 или – 1.

  1. Первый случай определяется системой неравенств (следствие 2):

hello_html_2ac7fd01.giff(1) = 1 + p + 1 – p2 > 0 (4)

f(-1) = 1 – p + 1 – P2 < 0.

Решение системы (4): 1 < р < 2.

Второй случай определяется системой неравенств (следствие 3):

hello_html_2ac7fd01.giff(1) = 1 + p + 1 – p2 < 0 (5)

f(-1) = 1 – p + 1 – P2 > 0.

Решение системы (5): -2 < р < -1.

Третий случай определяется системой неравенств (следствие 1):

hello_html_60c4693b.gifD ≥ 0

- 1 < - p/2 < 1 (6)

f(1) > 0

f(-1) > 0.

Решение системы (6) состоит из двух интервалов:

- 1 < р ≤ 2/√5; 2/√5 ≤ р < 1.

Четвертый случай. Число у = 1 является корнем трехчлена, если f(1) = 0, т.е. если р = 2 и р = - 1. Число у = - 1 будет корнем трехчлена, если р = 1 и р = -2.

5. Итак, все значения р, при которых уравнение (1) имеет решение, определяются неравенством 2/√5 ≤ | р | ≤ 2.

Задание 7. Установить, существуют ли действительные значения параметра а, при которых неравенство

4| cos x| + 2(2а + 1) · 2| cos x| + 4 а2 - 3 < 0 (1)

выполняется для всех действительных х.

Решение.

  1. Если х – любое действительное число, то | cos x | может принимать любое значение от 0 до 1, а выражение 2| cosx| - любое от 1 до 2.

  2. Запишем неравенство (1) в виде квадратичного:

р2 + 2(2а + 1) р + 4а2 – 3 < 0. (2)

3. Теперь задача свелась к следующему: найти все действительные значения а, при которых неравенство (2) выполняется для всех р на отрезке 1 ≤ р ≤ 2. Последнее означает, что для любого р, лежащего на отрезке [ 1; 2], функция

f(p) = р2 + 2(2а + 1) р + 4а2 – 3 (3)

должна быть отрицательной, т.е. график трехчлена (3) должен «огибать» отрезок.

4hello_html_2ac7fd01.gif. Необходимое и достаточное условия для этого даются следствием 4:

f(1) = 1 + 2(2а + 1) + 4а2 – 3 < 0 (4)

f(2) = 4 + 2(2а + 1) · 2 + 4 а2 – 3 < 0.

  1. Система квадратных неравенств (4) для а несовместна. Следовательно, значений а, при которых неравенство (1) выполняется для всех х, нет.

Задание 8. Найти все значения а, при которых система

hello_html_2ac7fd01.gif( х2 + 1) а + ( b2 + 1) у = 2 (1)

а + bху + х2 у = 1

имеет хотя бы одно решение для любого значения b, b, х, у – действительные числа).

Решение.

1. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение при b = 0.

2. Пусть b = 0, получим систему:

hello_html_2ac7fd01.gif( х2 + 1) а + 1 = 2 (2)

а + х2 у = 1. (3)

3. Уравнение (2) удовлетворяется либо при а = 0 и при любом х, либо х = 0.

если х = 0, то из уравнение (3) получаем: а = 1.

Следовательно, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

4hello_html_2ac7fd01.gif. При а = 0 из (1) получим систему:

( b2 + 1) у = 1 (4)

bху + х2 у = 1 (5)

а) Уравнение (4) имеет решение при любом b, только если у = 0. Однако это значение у = 0 не удовлетворяет уравнению (5).

б) Осталось рассмотреть случай а = 1, тогда система (1) примет вид:

hello_html_2ac7fd01.gifх2 + ( b2 + 1) у = 1 (6)

bху + х2 у = 0.

При любом b система (6) имеет решение: х = у = 0.

Ответ: 1.

Задание 9. При каких значениях с верно утверждение: «существует хотя бы одно значение х, при котором неравенство

2 log0,5 с2 – 3 + 2х log0,5 с2 – х2 < 0 (1)

выполняется»?

Решение.

1. Обозначим log0,5 с2 = у запишем неравенство (1) в ином виде:

х2 – 2ух +3 – 2у < 0. (2)

2. Левая часть (2) неравенства определяет параболу, направленную ветвями вверх. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы хотя бы при одном х эта функция была строго меньше нуля, заключается в положительности D.

D = y2 – 3 + 2y > 0, а это условие приводит к логарифмическому неравенству:

log20,5 c2 + 2 log0,5 c2 – 3 > 0 (3)

3. Решая неравенство (3), получаем:

1 < log0,5 c2 и log0,5 c2 < -3.

Ответ: | с | > 2 √2; 0 < | с | < √2/2.

Задание 10. Определить, при каких значениях а уравнение

cos2x + 6 sinx = 4a2 – 3 (1)

имеет решение. Найти эти решения.

решение.

1. Полагая sinx = у, получаем уравнение:

у2 – 6у + 4а2 – 3 = 0, (2)

имеющие корни:

у1 = 3 – 2√(3 – а2) (3)

у2 = 3 + 2√(3 – а2). (4)

2. Если 3 – а2 ≥ 0, то корни действительны, причем у2 ˃ 1 (из уравнения 4).

3. Уравнение (3) имеет решения, если

-1 ≤ 3 – 2√(3 – а2) ≤ 1. (5)

Сhello_html_m248e259d.gifоставим на основании (5) систему и решим ее:

3 – 2√(3 – а2) ≤ 1

3 – 2√(3 – а2) ≥ - 1

3 – а2 ≥ 0.

Ответ: | а | ≤ 2.

Задание 11. При каких значениях а уравнение ах = а2 равносильно неравенству | х – 3 | ≥ а?

Решение.

1) При а ≠ 0 уравнение ах = а2 имеет единственное решение, т.е. х = а, а неравенство | х – 3 | ≥ а – бесконечно много.

2) Если а = 0, то решением как неравенства, так и уравнения является все множество действительных чисел.

3) Таким образом, требованию задачи удовлетворяет только а = 0.

Ответ: а = 0.















Приложение

1. При каких значениях а уравнение

х2 – 2ах + а2 + 2а – 3 = 0

имеет корни разных знаков?

Ответ: а Є (- 3; 1).

2. При каких значениях а уравнение

х2 + 2(а – 1)х + а + 5 = 0

имеет хотя бы один положительный корень?

Ответ: а Є (- ∞; - 1).

3. При каких значениях а один из корней уравнения

х2 – 4ах + 1 = 0

положителен, а другой – не меньше а?

Ответ: а ≥ ½.

4. При каких значениях а уравнение

х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0

имеет два разных решения?

Ответ: а Є (- 1; 1) U {5/4}.

5. При каких значениях а уравнение

х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0

имеет одно решение?

Ответ: а = - 1.

6. При каких значениях а уравнение

sin2x + (1 – 2a)sin x + a2 – 1 = 0

не имеет решений?

Ответ: а Є(- ∞; - 1 - √2) U (5/4; + ∞).

7. Даны два уравнения

х2 – 5х + к = 0

х2 – 7х + 2к = 0, (к ≠ 0).

Определить то значение к, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Ответ: к = 6.

8. Найти все действительные решения уравнения

8(х4 + у4) – 4(х2 + у2) + 1 = 0.

Ответ: х1 = у1 = ½; х2 = у2 = - ½; х3 = ½, у3 = - ½; х4 = - ½, у4 = ½.


9. Найти все действительные значения к, при которых квадратный трехчлен

х2 + кх + к2 + 6к

будет отрицателен для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 1 < х < 2.

Ответ: - ½(7 + 3√5) ≤ к ≤ 2√3 – 4.

10. Определить к так, чтобы уравнение

(к – 2)х4 – 2(к + 3)х2 + к – 1 =0

имело 4 вещественных корня, отличных от нуля.

Ответ: к ˃ 2.

11. Решить неравенство

(а – 1)√х ≤ 0.

Ответ: если а ≤ 1, то х ≥ 0; если а ˃ 1, то х = 0.

12. При каких а неравенство

(х – а)(х – 2) ≤ 0

имеет единственное решение?

Ответ: а = 2.

13. При каких а решением неравенства

(х – а)2(х – 2)(х – 3) ≤ 0

будет отрезок?

Ответ: -3 ≤ а ≤ 2.

14. Найти все значения а, при которых неравенство

(х – 3а) (х – а – 3) < 0

выполняется при всех х, таких, что 1 ≤ х ≤ 3.

Ответ: 0 < а < 1/3.

15. При каких а неравенство

(х – а)(х – а – 2) ˃ 0

является следствием неравенства

х2 – 4х + 3 < 0?

Ответ: а ≤ -1 или а ≥ 3.








Литература

1. Большой энциклопедический словарь. Математика. - М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998

  1. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе №5, 2001.

3. Егерман Е. Задачи с параметрами. – Математика №2, 2003

Единый государственный экзамен.- Математика.- Методика полготовки. - М.: Просвещение, 2005 г.

  1. Крамор В. С. «Примеры с параметрами». Издательство «Аркти», Москва, 2000.

  2. Локоть В.В. «Задачи с параметрами». Издательство «Аркти», Москва, 2003.

  3. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика, справочник». «АСТ-ПРЕСС ШКОЛА», Москва, 2006.








Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 22.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров151
Номер материала ДВ-278212
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх