Применение коэфицентов трёхчлена к решению задач с параметрами

Агинский институт повышения квалификации работников социальной сферы

МОУ «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»

Применение коэффициентов квадратного трехчлена при решении задач с параметрами.

                                                          Автор: Цыбенова Б.В. учитель математики МОУ          «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»

п. Могойтуй, 2010 год

Самый трудный материал, с которым приходится, встречаться абитуриентам или школьникам на экзаменах, - это задания с параметрами. Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. В школьном курсе математики этим задачам отводится незначительное место. Я хочу научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами. И выбрала метод применения коэффициентов. При решении уравнений и неравенств с параметрами развивается вариативное мышление, т.к. приходится разбирать способы решения для того, чтобы найти значения  параметров, при которых общее решение уравнения или неравенства обладает некоторыми свойствами. Можно утверждать, что если я сознательно усвою приемы, то мои знания существенно улучшатся, а это положительно скажется в экзаменационной работе.

Введение

 ПАРАМЕТР ( от греческого - отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Например, в декартовых прямоугольных координатах уравнением  определяется множество всех окружностей радиуса 1 на плоскости x0y; полагая, например, что a=3, b=4, выделяют из этого множества вполне определенную окружность с центром (3,4), следовательно, a и b суть параметра окружности в рассматриваемом множестве.

Решить уравнение или неравенство с параметром –  значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в зависимости от параметра).

В курсе школьной математики с параметрами мы встречаемся при введении некоторых понятий:

- функция прямая пропорциональность:  (x, y – переменные; k – параметр, );

- линейная функция: y=kx+b (x, y – переменные; k, b – параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a, b – параметры);

- уравнение первой степени: ax+b=0 ( x – переменная; a, b –переменные;  );

- квадратное уравнение: ( x – переменная; a, b, c –параметры; ).

К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничиваемся его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ. Основное, что нужно усвоить при знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Задания с параметрами, где встречается квадратный трехчлен, являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом     с параметром   и   не выше второй степени.

      Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:

1). Решить уравнения, неравенства с параметром.

2). Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения, неравенства обладает определенными свойствами.

      Контрольные значения параметра определяются уравнением      и уравнением  D = 0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант  D  имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1). На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2). На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду  .

3). Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых .  Если уравнение  имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения  проводится решение уравнения  ,  выделяются типы  и ø особых частных уравнений. Множеству    соответствует тип не особых частных уравнений.

4). Выделяются контрольные значения параметра, для которых    обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень 

5). Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак  D. Множеству     соответствует тип не особых частных  уравнений,  не имеющих решений, для значения параметра    частные уравнения имеют два действительных корня.

I. Определение квадратного трехчлена.

       1. Квадратным трехчленом называется выражение: f(x)=ax²+bx+c, графиком соответствующей функции является парабола.

       2. В зависимости от величины дискриминанта D (D=b²- 4ac)  возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:

·         При D > 0 существует две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена);

·         При D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

·         При D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет);

·         В последнем случае, если а > 0, график параболы целиком лежит выше оси Ох, а если а < 0 – целиком ниже оси Ох.

        3. Координаты вершины параболы определяются формулами: х₀ = -b/2a;                      y₀ = (4ac - b²)/-4a.

   Самый простой и понятный в использовании способ решения задач заключается в том, чтобы вычислить корни заданного уравнения в зависимости от параметра и выяснить, когда выполнены условия задачи.

 Задание 1: При каких значениях параметра a, оба корня уравнения x² - 5ax + 6a =0 будут                                                                                            больше 100?

Решение: Находим D=b² - 4ac= 25a² - 4 ·6a² = a², тогда х₁ = 2а и х₂ = 3а.

Остается найти те значения параметра а, при которых одновременно выполнены неравенства.

2а > 100

3а >100

При а >50,  а Є (50;  ∞ ) .

 Задание 2: При каких значениях параметра а решением неравенства

-х² + (8 – а)х + 5(а – 3) ≥ 0 является отрезок длины 4?

Решение: Решением такого неравенства является отрезок, заключенный между корнями соответствующего квадратного уравнения (конечно, если таковы существуют).

Решаем уравнение х² - (8 – а)х - 5(а – 3) = 0

                                 D = (8 – а)² + 20(а – 3) = (а + 2)²

Дискриминант является полным квадратом, поэтому х₁ = 5 и х₂ = 3 – а

Множество решений неравенства будет отрезком длины 4, если четырем будет равно расстояние на числовой прямой между этими корнями, поэтому искомые значения параметра задаются уравнением:

|(3 – а) - 5| = 4

|а + 2| = 4

Ответ: при а = -6 и а = 4.

Из этого следует, что если есть в задании квадратное уравнение с параметром, проверить, не является ли его дискриминант полным квадратом.

II. Теорема Виета. Если числа х₁  и х₂  пусть корни квадратного уравнения

                                                  ax² + bx + c = 0,

то для них выполнены соотношения

                                             х₁ + х₂ = -b/a    и    x₁ · x₂ = c/a.

Теорема Виета успешно используется для решения задач, связанных с определением знаков корней квадратного уравнения. Это мощный инструмент решения задач с параметрами. На этот случай существуют различные утверждения, подобные следующим.

Теорема 2.1. Для того чтобы корни квадратного уравнения имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения

                 D = b² - 4ac ≥ 0    и   x₁ ·x₂  = c/a > 0

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

                  x₁  + x₂  = -b/a > 0

и оба корня будут отрицательны, если

                  x₁  + x₂  = -b/a < 0.

Теорема 2.2. Для того чтобы корни квадратного уравнения имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения условия

                х₁ · x₂  = c/a < 0.

При использовании этой теоремы нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как  c/a < 0, то и а · с < 0, поэтому дискриминант D=b²- 4ac будет строго положительным.

Знаки корней, их суммы и произведения

x1	x2	x1  + x2  = -b/a	x1 · x2 = c/a
+	+	+	+
0	+	+	0
-	+	?	-
0	0	0	0
-	0	-	0
-	-	-	+

Задание 3: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(а -1)х² - 6(а -1)х + (а² + 2) = 0

Имеет два различных положительных корня.

Решение. Сначала отбросим значение а = 1 – в этом случае уравнение вырождается и не имеет корней. Для других а легко можно записать выражение для корней этого квадратного уравнения

Х = (-3(а – 1) ± √(-а³ + 10а² - 23а + 14))/(а – 1),

Но делать что-нибудь с этими корнями уже почему-то не хочется…

Первая дополнительная теорема предлагает на этот случай набор условий

x₁  + x₂  = -b/a  > 0,

x₁ · x₂  = c/a  > 0,

 D > 0.

Рассмотрим первые два неравенства системы. Получим

x₁  + x₂  = (6(а – 1))/(а – 1) > 0  и   x₁ · x₂  = (а² + 2)/(а – 1) > 0.

Нетрудно убедиться, что оба эти условия выполнены при всех а > 1.

Теперь рассмотрим условие положительности дискриминанта

D = 36(а – 1)² - 4(а – 1) · (а² + 2) = 4(а – 1) · ( -а² + 9а – 14)  > 0.

С учетом условия а > 1, решим квадратное неравенство

-а² + 9а – 14  > 0

и получим промежуток   а Є (2;7), причем условие а > 1 выполнено.    

Ответ: При а Є (2;7).

III. Теоремы о расположении корней.

1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.
2. Пусть f(x)=ax²+bx+c имеет действительные корни х₁  и х₂ , а х₀ – какое-нибудь действительное число. Тогда:

 Теорема 3.1.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х₀ (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х₀), необходимо и достаточно выполнение условий:

При а > 0                                                при а < 0

D ≥ 0                                                        D ≥ 0                                                             

-b/2a < х₀                                                 -b/2a < х₀     

f(x₀) > 0                                                   f(x₀) < 0.

 Теорема 3.2.

Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

при а > 0,                                при а < 0,

 f(x₀) < 0.                                 f(x₀) > 0.                                                  

 D > 0                                       D > 0

Теорема 3.3.

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий:

при а > 0                                 при а < 0

D ≥ 0                                        D ≥ 0   

-b/2a  > х0                                -b/2a  > х0  

 f(x₀) > 0                                   f(x₀) < 0.                                

3. Во всех вышеперечисленных соотношениях   f(x₀)  представляет собой выражение      (ax₀² + bx₀ + c ).

4. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.

Следствие 1

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А(М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:

при а > 0                                при а < 0     

D ≥ 0                                       D ≥ 0                                

f(М) > 0                                  f(М) < 0                                

f(А) > 0                                  f(А) < 0.     

Следствие 2

Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно:

 при а > 0                                при а < 0              

  f(М) < 0                                 f(М) > 0                                 

   f(А) > 0                                 f(А) < 0,             

при этом меньший корень вне отрезка | МА |.

Следствие 3

Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА ( М < А), необходимо и достаточно:

при а > 0                         при а < 0              

 f(М) > 0                          f(М) < 0                            

 f(А) < 0                          f(А) > 0,      

при этом больший корень вне отрезка | МА |.

Следствие 4

Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежала внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

при а > 0                         при а < 0                   

f(М) < 0                           f(М) > 0                            

f(А) < 0                           f(А) < 0.   

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение. 

Задание 4: При каких  значениях а уравнение  х² + (а – 1)х + а – 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящие по модулю 5?

Решение. Требуемые значения параметра являются решениями системы

f(-5) = 30 – 9a ≥ 0,                  a ≤ 10/3,

f(0) = a – 5 < 0,          ↔          a  < 5,             

f(5) = 11a +10 ≥ 0                    a  ≥ -10/11,

откуда а Є [ -10/11; 10/3].

Задание 5: При  каких значениях а уравнение x⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 1 = 0 имеет три разных решения?   

Решение: После замены t = х² получается уравнение

                                        t² + (1 – 2а) t + а² – 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет три различных решения тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю, т.е.        t₀ = (2а – 1)/2 > 0,

              f(0) = а² – 1 =0,  

откуда а = 1.

Задание 6. При каких значениях а уравнение x⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 1 = 0 не имеет решений?

Решение. После замены t = х² получается уравнение  t² + (1 – 2а) t + а² – 1 = 0.

Первоначальное уравнение не имеет решений в двух случаях: когда полученное квадратное уравнение само не имеет решений, а также когда его возможные корни отрицательны.

   Первый случай реализуется неравенством D = - 4a + 5 < 0, откуда а > 5/4.

Второй случай реализуется как система неравенств

              t´₀ = (2а – 1)/2 <  0,

              f(0) = а² – 1 > 0,

откуда а < - 1.

Объединяя два случая, получаем ответ: (- ∞; - 1) U (5/4; + ∞ ).

Задание 7. При каких действительных р уравнение     

                       sin²x + p·sinx – p² + 1 = 0    (1)

имеет решение?

Решение.

1. Это уравнение квадратное относительно sinx, и чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти значения р, при которых корни уравнения

                                      у² + ру + 1 – р = 0      (2) 

действительны и хотя бы один корень удовлетворяет условию

                                      - 1 ≤ у ≤ 1.                   (3)

2. Левая часть уравнения (2) является квадратным трехчленом, график которого направлен ветвями вверх.

3. Условию задачи удовлетворяют те же значения параметра р, при которых выполняется один из четырех случаев.

·         Только больший корень лежит в интервале  – 1 < у₂ < 1.

·         Только меньший корень трехчлена лежит в интервале  – 1 < у₁ < 1.

·         Оба корня трехчлена лежат в интервале – 1 < у < 1.

·         Один из корней трехчлена равен + 1 или – 1.

4. Первый случай определяется системой неравенств (следствие 2):

                        f(1) = 1 + p + 1 – p²  > 0               (4)

                        f(-1) = 1 – p + 1 – P² < 0.

       Решение системы (4): 1 < р < 2.

Второй случай определяется системой неравенств (следствие 3):

                        f(1) = 1 + p + 1 – p²  <  0               (5)

                        f(-1) = 1 – p + 1 – P² > 0.

 Решение системы (5): -2 < р < -1.

Третий случай определяется системой неравенств (следствие 1):

                   D ≥ 0                             

                   - 1 < - p/2 < 1                    (6)

                   f(1) > 0

                   f(-1) > 0.

Решение системы (6) состоит из двух интервалов:

          - 1 < р ≤  2/√5;          2/√5 ≤ р < 1.

Четвертый случай. Число у = 1 является корнем трехчлена, если  f(1) = 0, т.е. если р = 2 и р = - 1. Число у = - 1 будет корнем трехчлена, если р = 1 и р = -2.

5. Итак, все значения р, при которых уравнение (1) имеет решение, определяются неравенством   2/√5 ≤ | р | ≤ 2.

Задание 7. Установить, существуют ли действительные значения параметра а, при которых неравенство

4^{| cos x|}  + 2(2а + 1) · 2^{| cos x|}  + 4 а² - 3 < 0           (1)

выполняется для всех действительных х.

Решение.

1. Если х – любое действительное число, то | cos x | может принимать любое значение от 0 до 1, а выражение 2^{| cos x|}   - любое от 1 до 2.
2. Запишем неравенство (1) в виде квадратичного:

                              р² + 2(2а + 1) р + 4а² – 3 < 0.        (2)

      3.  Теперь задача свелась к следующему: найти все действительные значения а, при которых неравенство (2) выполняется для всех р на отрезке 1 ≤  р ≤ 2. Последнее означает, что для любого р, лежащего на отрезке [ 1; 2], функция

                          f(p) = р² + 2(2а + 1) р + 4а² – 3           (3)

должна быть отрицательной, т.е. график трехчлена (3) должен «огибать» отрезок.

4. Необходимое и достаточное условия для этого даются следствием 4:

 f(1) = 1 + 2(2а + 1) + 4а² – 3 < 0                            (4)

 f(2) = 4 + 2(2а + 1) · 2 + 4 а² – 3 < 0.

5. Система квадратных неравенств (4) для а несовместна. Следовательно, значений а, при которых неравенство (1) выполняется для всех х, нет.

Задание 8. Найти все значения а, при которых система

                        ( х² + 1) ^а  + ( b² + 1) ^у = 2           (1)

                         а + bху + х² у = 1

имеет хотя бы одно решение для любого значения b (а, b, х, у – действительные числа).

Решение.

1. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение при b = 0.

2. Пусть b = 0, получим систему:

                              ( х² + 1) ^а  + 1 = 2                (2)

                               а + х² у = 1.                         (3)

3. Уравнение (2) удовлетворяется либо при а = 0 и при любом х, либо х = 0.

если х = 0, то из уравнение (3) получаем: а = 1.

Следовательно, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

4. При а = 0 из (1) получим систему:

             ( b² + 1) ^у = 1               (4)

             bху + х² у = 1              (5)

а) Уравнение (4) имеет решение при любом b, только если у = 0. Однако это значение  у = 0 не удовлетворяет уравнению (5).

б) Осталось рассмотреть случай а = 1, тогда система (1) примет вид:

                      х² + ( b² + 1) ^у = 1          (6)

                      bху + х² у = 0.

При любом b система (6) имеет решение: х = у = 0.

Ответ: 1.

Задание 9. При каких значениях с верно утверждение: «существует хотя бы одно значение          х, при котором неравенство

 2 log_0,5 с² – 3 + 2х log_0,5 с² – х² < 0                   (1)

выполняется»?

Решение.

1. Обозначим log_0,5 с² = у запишем неравенство (1) в ином виде:

                 х² – 2ух +3 – 2у < 0.                      (2)

2. Левая часть (2) неравенства определяет параболу, направленную ветвями вверх. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы хотя бы при одном х эта функция была строго меньше нуля, заключается в положительности D.

D = y² – 3 + 2y > 0, а это условие приводит к логарифмическому неравенству:

       log²_0,5 c² + 2 log_0,5 c² – 3 > 0                   (3)

       3. Решая неравенство (3), получаем:

                       1 < log_0,5 c² и log_0,5 c² < -3.

       Ответ: | с | > 2 √2; 0 < | с | < √2/2.

Задание 10. Определить, при каких значениях а уравнение

                                                cos²x + 6 sinx = 4a² – 3        (1)

имеет решение. Найти эти решения.

решение.

1. Полагая sinx = у, получаем уравнение:

                                          у² – 6у + 4а² – 3 = 0,              (2)

имеющие корни:

                            у₁ = 3 – 2√(3 – а²)         (3)

                            у₂ = 3 + 2√(3 – а²).         (4)

2. Если 3 – а² ≥ 0, то корни действительны, причем у₂ ˃ 1 (из уравнения 4).

3. Уравнение (3) имеет решения, если

                                     -1 ≤ 3 – 2√(3 – а²) ≤ 1.    (5)

Составим на основании (5) систему и решим ее:

                            3 – 2√(3 – а²) ≤ 1

                            3 – 2√(3 – а²)  ≥ - 1

                            3 – а² ≥ 0.

Ответ: | а | ≤ 2.

Задание 11. При каких значениях а уравнение ах = а² равносильно неравенству                    | х – 3 | ≥ а?

Решение.

1) При а ≠ 0 уравнение ах = а² имеет единственное решение, т.е. х = а, а неравенство           | х – 3 | ≥ а – бесконечно много.

2) Если а = 0, то решением как неравенства, так и уравнения является все множество действительных чисел.

3) Таким образом, требованию задачи удовлетворяет только а = 0.

Ответ: а = 0.

                 Приложение

1. При каких значениях а уравнение

               х² – 2ах + а² + 2а – 3 = 0

имеет корни разных знаков?

Ответ: а Є (- 3; 1).

2. При каких значениях а уравнение

               х² + 2(а – 1)х + а + 5 = 0

имеет хотя бы один положительный корень?

Ответ: а Є (- ∞; - 1).

3. При каких значениях а один из корней уравнения

                 х² – 4ах + 1 = 0

положителен, а другой – не меньше а?

Ответ: а ≥ ½.

4. При каких значениях а уравнение

                 х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 1 = 0

имеет два разных решения?

Ответ: а Є (- 1; 1) U {5/4}.

5. При каких значениях а уравнение

                 х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 1 = 0

имеет одно решение?

Ответ: а = - 1.

6. При каких значениях а уравнение

                  sin²x + (1 – 2a)sin x + a² – 1 = 0

не имеет решений?

Ответ: а Є(- ∞; - 1 - √2) U (5/4; + ∞).

7. Даны два уравнения

                  х² – 5х + к = 0

                  х² – 7х + 2к = 0, (к ≠ 0).

Определить то значение к, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Ответ: к = 6.

8. Найти все действительные решения уравнения

                   8(х⁴ + у⁴) – 4(х² + у²) + 1 = 0.

Ответ: х₁ = у₁ = ½; х₂ = у₂ = - ½; х₃ = ½, у₃ = - ½; х₄ = - ½, у₄ = ½.

9. Найти все действительные значения к, при которых квадратный трехчлен

                    х² + кх + к² + 6к

будет отрицателен для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 1 < х < 2.

Ответ: - ½(7 + 3√5) ≤ к ≤ 2√3 – 4.

10. Определить к так, чтобы уравнение

                  (к – 2)х⁴ – 2(к + 3)х² + к – 1 =0

имело 4 вещественных корня, отличных от нуля.

Ответ: к ˃ 2.

11. Решить неравенство

                         (а – 1)√х ≤ 0.

Ответ: если а ≤ 1, то х ≥ 0; если а ˃ 1, то х = 0.

12. При каких а неравенство

                         (х – а)(х – 2) ≤ 0

имеет единственное решение?

Ответ: а = 2.

13. При каких а решением неравенства

                          (х – а)²(х – 2)(х – 3) ≤ 0

будет отрезок?

Ответ: -3 ≤ а ≤ 2.

14. Найти все значения а, при которых неравенство

                          (х – 3а) (х – а – 3) < 0

выполняется при всех х, таких, что 1 ≤ х ≤ 3.

Ответ: 0 < а < 1/3.

15. При каких а неравенство

                          (х – а)(х – а – 2) ˃ 0

является следствием неравенства

                           х² – 4х + 3 < 0?

Ответ: а ≤ -1 или а ≥ 3.

Литература

1.     Большой энциклопедический словарь. Математика. - М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998

2.                  Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе №5, 2001.

3. Егерман Е. Задачи с параметрами. – Математика №2, 2003

Единый государственный экзамен.- Математика.- Методика полготовки. - М.: Просвещение, 2005 г.

3.                  Крамор В. С. «Примеры с параметрами». Издательство «Аркти», Москва, 2000.

4.                  Локоть В.В. «Задачи с параметрами». Издательство «Аркти», Москва, 2003.

5.                  Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика, справочник». «АСТ-ПРЕСС ШКОЛА», Москва, 2006.