Проект по математике "Этот удивительный мир многогранников"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ №9

Этот удивительный мир многогранников

Автор:

Сидорина Елена Алексеевна,

ученица 10 класса

МОАУ гимназия №9

Руководитель исследовательской

работы:

Сидорина Оксана Вячеславовна

учитель информатики

МОАУ гимназия №9

г. Свободный

2015

Содержание

1. Введение ……………………………………………………………………….3

2. Основная часть………………………………………………………………...5

   1. Общая информация о многогранниках………………………………….5

   2. Выпуклые многогранники………………………………………………….5

      1. Платоновы тела……………………………………………………...5

      2. Архимедовы тела……………………………………………………6

   3. Многогранники вокруг нас………………………………………………8

      1. Многогранники в природе………………………………………….8

      2. Многогранники в искусстве………………………………………..9

      3. Многогранники в архитектуре……………………………………11

3. Заключение…………………………………………………………………...11

4. Список использованной литературы……………………………………….12

5. Приложения…………………………………………………………………..13

Введение

Основополагающий вопрос: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел?

Гипотеза: правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека.

Цель исследования: познакомиться с яркими примерами применения многогранников в окружающем мире.

Задачи исследования:

1.Изучение особенностей строения правильных многогранников;
2.Исследование аналогов выпуклых многогранников и выявление их роли в окружающем мире.

3. Анализ полученных исследований;

Объект исследования: многогранники.

Предмет исследования: многогранники вокруг нас.

«Правильных многогранников вызывающе мало, — написал когда-то английский писатель, математик и логик Лью́ис Кэ́рролл— но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим и объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей: Евклида, Пифагора, Платона, Гипсила, Архимеда и др.

Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма правильных многогранников.

Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Ни одни геометрические тела не обладают такой гармонией и красотой, как правильные многогранники, они привлекают меня совершенством своих форм и полной симметричностью.

Считается, что в основе строения правильных многогранников заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключи мироздания».

Актуальность моего исследования состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Чем же обусловлен столь бессмертный интерес?

Общая информация о многогранниках

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Многоугольники из которых составлен многогранник называются его гранями. Стороны граней – ребрами. Концы ребер – вершинами многогранника.

Многогранник является выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360^о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

Платоновы тела

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Рассмотрим их более подробно.

1. Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - самый простой представитель Платоновых тел, т.е. правильных выпуклых многогранников. Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. (Приложение 1, рис.1)

2.Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. (Приложение 1, рис.2)

3. Гексаэдр (куб) (от греческого hex — шесть и hedra — грань) - является самым общеизвестным и широко используемым многогранником. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых тел. (Приложение 1, рис.3)

4. Икосаэдр(от греческого ico – двадцать и hedra – грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников. Каждая из двенадцати вершин икосаэдра является вершиной пяти равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°.(Приложение 1, рис.4)

5. Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.(Приложение 1, рис.5)

Архимедовы тела

Известно также множество тел получивших название Архимедовы тела. Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, т.е. выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых правильные многоугольники одного типа). Открытие тринадцати полуправильных многогранников приписывается Архимеду (287-212 г. до н.э.), который впервые перечислил их свойства в не дошедшей до нас работе. Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.

Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае - удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для Платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр. (Приложение 2, рис.1)

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что

грани этих многогранников, представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два типа носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр. (Приложение 2,рис.2)

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром». (Приложение 2,рис.3)

Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усечённым кубооктаэдром» и «усечённым икосододекаэдром» соответственно. Но проще если мы будем их называть ромбоусечённым кубооктаэдром и ромбоусечённым икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применён для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. (Приложение 2,рис.4)

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). (Приложение 2, рис.5)

Итак, все выше рассмотренные тела и называются выпуклыми однородными многогранниками.

Со времен Декарта (французский философ, математик, физик и физиолог) многие великие математики также уделяли внимание нашей теме.

Эйлер (математик, механик, физик и астроном) открыл и доказал знаменитую формулу

В-Р+Г=2

связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника (Приложение 3). Гамильтон (ирландский математик) придумал икосоэдралъную игру. Фон Штаудт дал новое доказательство формулы Эйлера. Шлефли распространил этот результат на случай п измерений.

Где же можно встретиться с правильными многогранниками?

Многогранники в природе

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. (Приложение 4, рис.1)

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, что из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Вирусы (от лат. Virus — яд), возбудители инфекционных болезней растений, животных и человека имеют форму практически усеченного икосаэдра, его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. (Приложение 4, рис.2)

Соты пчелиные — наиболее совершенные постройки насекомых. Соты пчелиные состоят из шестигранных призматических ячеек, которые заполняют пространство без просветов. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.

В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n-угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. (Приложение 4, рис.3)

Многие природные кристаллы имеют форму многогранников, например: куб - монокристалл поваренной соли (NаСl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов (КАl(SО₄)₂ * 12 Н₂О), додекаэдр - кристалл пирита (сернистого колчедана FеS). (Приложение 4, рис.4)

Многогранники в искусстве.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли и проявляют художники. Их всех поражало совершенство и гармония многогранников.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г) изобразил Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  Вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра. (Приложение 5, рис.1)

Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер (1471 — 1528) на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр. В 1525 году он написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы. (Приложение 5, рис.2)

Правильные многогранники имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

В холсте Михаила Матюшина Кристалл, написанном холодными голубыми красками с использованием сложного линейного построения, уже само название было камертоном и образного, и пластического смысла. Набегавшее друг на друга ритмы граненных геометрических форм, их пересечение, взаимопроникновение создавали игру прозрачных отражений, подобную иллюзионистическим эффектам, возникающим при взгляде на органические структуры льда, каменной соли, кварца. (Приложение 5, рис.3)

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. (Приложение 5, рис.4)

Лесицкий Эль: аксонометрическое черчение, переводившее плоскостные проекции в объемные стереометрические формы в пространственных ракурсах, заставило нарастить толщину и глубину у квадратов, прямоугольников, трапеций и т.д., сделав из них кубы и кубики, призмы, бруски, пирамиды. (Приложение 5, рис.5)

Многогранники в архитектуре

Не обошли многогранники стороной и архитектуру. Благодаря многих фигурам, которые относятся к классу многогранников, было спроектировано множество зданий, соборов, арок и других архитектурных сооружений.

История человеческой цивилизации - это история экспериментов человека с материалами и конструкциями. Подбирая разнообразные их сочетания, он стремился с минимальными затратами добиться максимального эффекта. И ни один человек в мире не приблизился к этой цели в большей степени, чем Ричард Бакминстер Фуллер - философ, математик, инженер, историк, поэт и, помимо всего прочего, изобретатель геодезических куполов.

Геодезический купол - это не просто совокупность треугольников, соединенных особым образом. Геометрическая симметрия порождает сочетание прочности и компактности и создает эффект беспрецедентной новизны. (Приложение 6)

Применение элементов многогранников можно увидеть и в нашем городе: здание налоговой инспекции, торговый центр «Пассаж», Свято-Никольский храм, и др. (Приложение 7)

Заключение

Таким образом можно сделать вывод, что правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека.

Свое выступление мне хочется закончить словами Платона: «Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».

Список литературы и интернет-ресурсов

1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.

2. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

4. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

5. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.

6. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

7. «Polyhedron Origami For Beginners», Miyuki Kawamura, Tokyo, Japan, Published by Nihon CO., LTD, 2001.

8. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

9. http://ru.wikipedia.org

10. http://www.vseznaika.ru

11. http://youtube.com

12. http://origamisan.com

13. http://liberte.com

Октаэдр

Тетраэдр

Приложение 1 (Платоновы тела)

Рис.4

Икосаэдр

Рис.3

Гексаэдр

Рис.2

Рис.1

Додекаэдр

Рис.5

Приложение 2 (Архимедовы тела)

Первая группа

Усеченный

куб

Усеченный

тетраэдр

Усеченный

октаэдр

Усеченный

икосаэдр

Усеченный

додекаэдр

Рис.1

Вторая группа

Икосододекаэдр

Кубоктаэдр

Рис.5

Рис.2

Третья группа

Ромбоикосододекаэдр

Ромбокубоктаэдр

Рис.3

Четвертая группа

Ромбоусеченный икосододекаэдр

Ромбоусеченный

кубоктаэдр

Рис.4

Курносый додекаэдр

Рис.5

Курносый куб

Пятая группа

Приложение 3

Кол-во

ребер

Кол-во

вершин

Кол-во

граней

Вид

грани

Тетраэдр

6

4

4

Куб

12

8

6

Октаэдр

12

6

8

Додекаэдр

30

20

12

Икосаэдр

30

12

20

Приложение 4

Рис.3

Пчелиные соты

Рис.2

Вирус

Рис.1

Феодария

(Многогранники в природе)

Рис.4

Кристалл

алмаза

Монокристалл

соли

Кристалл

пирита

Алюминиевые

квасцы

Приложение 5

(Многогранники в искусстве)

Картина «Тайная вечеря»

Рис.1

Картина «Кристалл»

Гравюра «Меланхолия»

Рис.3

Рис.2

Работы Эля Лисицкого

Рис.5

Гравюра «Четыре тела»

Гравюра «Звезды»

Рис.4

Приложение 7

Торговый центр «Пассаж»

Свято-Никольский храм

Здание налоговой инспекции

Приложение 6

(Многогранники в архитектуре)

Частный дом

Монреальская биосфера