Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».

МОДУЛЬ 1 Лекция (2 часа) «Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».

Цель лекции. Повторить понятия: уравнения;

 корня уравнения;

 уравнения следствия;

 равносильных уравнений;

 модуля действительного числа.

                          Рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля.

                          Сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.

План лекции

ü  Уравнения следствия.

ü  Равносильные уравнения.

ü  Определение модуля действительного числа.

ü  Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:

·         .

Литература. Алгебра и начала математического анализа 11 класс, А.Г. Мордкович,

Математика ЕГЭ 2008, под ред Ф.Ф. Лысенко Издательство «Легион»

Подборка материала, Спицыной Т., Суворовой О..  Калугиной Е., из лицея-интерната при СГАУ им. Н.И.Вавилова

Определение. Выражения, состоящие из чисел, переменных, знаков арифметических и алгебраических операций, скобок, знака равенства, называются уравнениями.

                                                       

                             

 Определение. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которой в уравнение оно обращается в истинное равенство.

Решить уравнение это, значит, найти все его корни или доказать, что таковых нет.

Определение. Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают или они не имеют решений.

Определение. Пусть даны 2 уравнения   и  .

Если любой корень 1-го уравнения является корнем 2-го уравнения, то 2-ое уравнение называют уравнением-следствием 1-го.

Пример

1 уравнение                                                        2 уравнение

Корни 1 уравнения:                                      Корни 2 уравнения:

Ответ: 2 уравнение является уравнением следствием 1 уравнения.

Задание №1. Среди предложенных уравнений выберите:

а) пару равносильных уравнений;

б) уравнение и уравнение-следствие.

         

Ответ: а) уравнения  и  равносильны, так как на множестве всех действительных чисел решения не имеют;

 б) уравнение  уравнение-следствие уравнения , так как корень уравнения  является корнем уравнения .

Определение. Абсолютной величиной числа a(модулем действительного числа a) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчёта и обозначается .

Основные свойства модуля.

1.       2.      3.     4.   5.    6.  

7.   8.    9.

10.

Пример Объясните, как раскрыли модуль=;        ;           

Определение. Уравнения, содержащие знак модуля, называются уравнениями, содержащими знак модуля.

Алгоритм решения уравнений .

		Уравнение корней не имеет

Пример 1.	Пример 2.
Решение	Решение
, Ответ:	,   Ответ:

Пример 3.	Пример 4.
Решение	Решение
, , при , уравнение корней не имеет. Ответ: уравнение корней не имеет.	, , при , уравнение корней не имеет. Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 5. (ЦТ 2006 г.)	Пример 6.
Решение	Решение
,	,
Ответ:	Ответ:

Пример 7.   

Решение

. Пусть . Тогда , .

,              Вернёмся к переменной х

Ответ:

Пример 8.        

Решение

,      Ответ:

Домашнее задание.

1). Материал лекции.

Урок - Лекция  № 3-4

«Уравнения: уравнения, содержащие знак модуля».

Цель лекции: рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих  знак модуля;

сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.

План лекции

ü  Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:

·        

·        

·        

1. Проверка домашнего задания:

  Сформулируйте алгоритм решения уравнений типа .

Решите уравнение по группам с последующим разбором

Уравнение корней не имеет		Уравнение корней не имеет
Уравнение корней не имеет		Уравнение корней не имеет

	, то уравнение корней не имеет
	,		,
			, то уравнение корней не имеет
	, то уравнение корней не имеет		, то уравнение корней не имеет
	,		,

2. Изучение нового материала.

Алгоритм решения уравнения

I способ.  Уравнение  равносильно совокупности уравнений                

II способ. Уравнение

                                    

                                    

                                     

                                      

III способ.  По определению модуля уравнение  равносильно совокупности

              

Пример 1.   

Решение

         

Ответ: 3;0,25.     

Пример 2. 

Решение

           Ответ:

Алгоритм решения уравнения

I способ. По определению модуля действительного числа  уравнение  равносильно совокупности

II способ. Уравнение  равносильно смешанной системе

Пример 1.  

Решение:

                   Ответ:

Пример 2.  

Решение:

           Ответ:

Пример 3.  

Решение:

         Ответ:

Пример  4.  (ЦТ 2004 г.)

Решение:

            Ответ: -8;-1;0.

Алгоритм решения уравнения

1.      Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по возрастанию на числовой оси и выбрать крайний левый из полученных интервалов между корнями.

2.      На полученных интервалах определить знак всех подмодульных выражений и раскрыть модули по определению.

3.      Составить и решить совокупность смешанных систем.

Пример 1.

Решение:

Нули модулей                     

	─	+	+
	─	─	+

                Ответ: 

Пример 2.  

Решение:

Нули модулей              

	─	+	+
	─	─	+

               Ответ: 

Пример 3.  

Решение:

Нули модулей                 

	─	+	+
	─	─	+

                        Ответ:

Домашнее задание.

1