Инфоурок / Математика / Конспекты / Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».

Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


МОДУЛЬ 1 Лекция (2 часа) «Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».

Цель лекции. Повторить понятия: уравнения;

корня уравнения;

уравнения следствия;

равносильных уравнений;

модуля действительного числа.

Рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля.

Сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.

План лекции

  • Уравнения следствия.

  • Равносильные уравнения.

  • Определение модуля действительного числа.

  • Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:

        • hello_html_m55843b85.gif.

Литература. Алгебра и начала математического анализа 11 класс, А.Г. Мордкович,

Математика ЕГЭ 2008, под ред Ф.Ф. Лысенко Издательство «Легион»

Подборка материала, Спицыной Т., Суворовой О.. Калугиной Е., из лицея-интерната при СГАУ им. Н.И.Вавилова



Определение. Выражения, состоящие из чисел, переменных, знаков арифметических и алгебраических операций, скобок, знака равенства, называются уравнениями.

hello_html_53f382cf.gifhello_html_m73835b90.gifhello_html_m11f8f42d.gifhello_html_6b027737.gif

hello_html_m5994c998.gifhello_html_3bae6a29.gifhello_html_m76de7e93.gif

Определение. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которой в уравнение оно обращается в истинное равенство.

Решить уравнение это, значит, найти все его корни или доказать, что таковых нет.

Определение. Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают или они не имеют решений.

Определение. Пусть даны 2 уравнения hello_html_726cad5b.gif и hello_html_m21126851.gif.

Если любой корень 1-го уравнения является корнем 2-го уравнения, то 2-ое уравнение называют уравнением-следствием 1-го.

Пример

1 уравнение hello_html_18646719.gif 2 уравнение hello_html_m2153b77c.gif

Корни 1 уравнения: hello_html_m189e3102.gif Корни 2 уравнения: hello_html_616bfdff.gif


Ответ: 2 уравнение является уравнением следствием 1 уравнения.

Задание №1. Среди предложенных уравнений выберите:

а) пару равносильных уравнений;

б) уравнение и уравнение-следствие.

hello_html_305a0de4.gifhello_html_32af0041.gifhello_html_477ace13.gifhello_html_1ec5fd91.gif

Ответ: а) уравнения hello_html_305a0de4.gifи hello_html_477ace13.gif равносильны, так как на множестве всех действительных чисел решения не имеют;

б) уравнение hello_html_32af0041.gifуравнение-следствие уравнения hello_html_1ec5fd91.gif, так как корень уравнения hello_html_32af0041.gifявляется корнем уравнения hello_html_1ec5fd91.gif.


Определение. Абсолютной величиной числа a(модулем действительного числа a) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчёта и обозначается hello_html_m4688eeff.gif.

hello_html_39337498.gif

Основные свойства модуля.

1. hello_html_m26e4f37.gif 2. hello_html_28accf7f.gif 3. hello_html_532e3565.gif 4. hello_html_m58e8abc1.gif 5. hello_html_2ffcb737.gif 6. hello_html_m23c0cc9a.gif

7. hello_html_9429821.gif 8. hello_html_m5fdf174e.gif 9. hello_html_m86b2477.gif

10. hello_html_43bf86a1.gif

Пример Объясните, как раскрыли модульhello_html_5ff00d2d.gif=hello_html_m20290ceb.gif; hello_html_13e77154.gifhello_html_39d1b2cc.gif; hello_html_m49f70d82.gifhello_html_352d9c88.gif

Определение. Уравнения, содержащие знак модуля, называются уравнениями, содержащими знак модуля.


Алгоритм решения уравнений hello_html_m2767f095.gif.


hello_html_768ad0d3.gif

hello_html_m753704f0.gif

Уравнение корней не имеет

hello_html_7355fa6e.gif

hello_html_6b728181.gif

hello_html_14a27662.gif

hello_html_m27b819cc.gif

hello_html_m753704f0.gif

hello_html_m240ef945.gif


Пример 1.hello_html_33b04696.gif

Пример 2. hello_html_1294573.gif

Решение

Решение

hello_html_33b04696.gif,

hello_html_m5134d85a.gif

hello_html_m7fd416b2.gif

hello_html_3ec11b06.gif

Ответ: hello_html_7c555883.gif

hello_html_1294573.gif,

hello_html_ma888dfc.gif

hello_html_7c64bfc0.gifhello_html_210bf07c.gif

Ответ:hello_html_m22da71b5.gif


Пример 3. hello_html_5df1311.gif

Пример 4. hello_html_m11cf8a7d.gif

Решение

Решение

hello_html_5df1311.gif, hello_html_a25a155.gif, при hello_html_640a27c.gif, уравнение корней не имеет.


Ответ: уравнение корней не имеет.

hello_html_m11cf8a7d.gif, hello_html_m59b160e5.gif, при hello_html_640a27c.gif, уравнение корней не имеет.


Ответ: уравнение корней не имеет.


Пример 5. (ЦТ 2006 г.) hello_html_m5abe1160.gif

Пример 6. hello_html_m3505c607.gif

Решение

Решение

hello_html_m5abe1160.gif,

hello_html_m3505c607.gif,

hello_html_m5269ed34.gifhello_html_85962e.gifhello_html_m452af889.gif

hello_html_6478f1bb.gifhello_html_61998377.gifhello_html_3e0105d6.gif

Ответ: hello_html_547c05f1.gif

Ответ: hello_html_1bacc022.gif


Пример 7. hello_html_776bc2b3.gif

Решение

hello_html_776bc2b3.gif. Пусть hello_html_1c500e0b.gif. Тогда hello_html_me8c9601.gif, hello_html_4ef35f29.gif.

hello_html_6f94b26c.gif, hello_html_m1ecb5cb4.gifhello_html_m3881d8f3.gifhello_html_m10940d5a.gif Вернёмся к переменной х hello_html_m25490be3.gifhello_html_m6c37fe0a.gif

Ответ: hello_html_586e11e0.gif

Пример 8. hello_html_m47db2b3b.gif

Решение

hello_html_m47db2b3b.gif, hello_html_a4fe2b1.gifhello_html_38f62467.gifОтвет: hello_html_2517e6fa.gif

Домашнее задание.

1). Материал лекции.

Урок - Лекция № 3-4

«Уравнения: уравнения, содержащие знак модуля».

Цель лекции: рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля;

сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.

План лекции

  • Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:

        • hello_html_6cbe0a45.gif

        • hello_html_m145684eb.gif

        • hello_html_m62b1cb2b.gif

1. Проверка домашнего задания:

Сформулируйте алгоритм решения уравнений типа hello_html_m2767f095.gif.


Решите уравнение по группам с последующим разбором


hello_html_m563a405e.gif

hello_html_1590c680.gif

hello_html_m4ecd9dbd.gif

hello_html_5c090ea.gif

Уравнение корней не имеетhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m378a46da.gif

Уравнение корней не имеетhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m4833e060.gif

hello_html_5b897a9b.gif

hello_html_52042648.gif

hello_html_6b2598e8.gif

hello_html_m6cc6a7be.gif

Уравнение корней не имеетhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_e0179cc.gif

Уравнение корней не имеетhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_5050907f.gif


hello_html_5cf228c5.gif

hello_html_1a9eeaff.gif, то уравнение корней не имеет

hello_html_1e91aea9.gif

hello_html_m6df7dd13.gif

hello_html_7355fa6e.gif, hello_html_m717562d1.gif

hello_html_7efae3a8.gif, hello_html_m717562d1.gif

hello_html_m3ed39431.gif

hello_html_m527008c2.gif, то уравнение корней не имеет

hello_html_m2b7c6a52.gif

hello_html_4b2d338.gif, то уравнение корней не имеет

hello_html_m38ddf04d.gif

hello_html_4b2d338.gif, то уравнение корней не имеет

hello_html_7355fa6e.gif, hello_html_m717562d1.gif

hello_html_7355fa6e.gif, hello_html_m717562d1.gif


2. Изучение нового материала.

Алгоритм решения уравнения hello_html_m35eb4ed1.gif

I способ. Уравнение hello_html_m35eb4ed1.gif равносильно совокупности уравнений hello_html_m62fb89c4.gif

II способ. Уравнение hello_html_m35eb4ed1.gif

hello_html_m597ee5a2.gif

hello_html_770b6b7d.gif

hello_html_m45d0bd67.gif

hello_html_m62fb89c4.gif

III способ. По определению модуля уравнение hello_html_m35eb4ed1.gif равносильно совокупности

hello_html_m179b7507.gifhello_html_5b432b98.gifhello_html_34065138.gif


Пример 1. hello_html_6509591e.gif


Решение

hello_html_6509591e.gif


hello_html_8b58e5b.gifhello_html_m3539a825.gifhello_html_3de7e124.gif

Ответ: 3;0,25.


Пример 2. hello_html_4b07db6f.gif

Решение

hello_html_4b07db6f.gifhello_html_a093cdd.gifhello_html_21623dcf.gifhello_html_m53bf8b5f.gifhello_html_27ed58aa.gifОтвет:hello_html_m3882e418.gif

Алгоритм решения уравнения hello_html_2cfa75dd.gif

I способ. По определению модуля действительного числа уравнение hello_html_m7f0efc49.gif равносильно совокупности hello_html_m2316f0a0.gif

II способ. Уравнение hello_html_m145684eb.gif равносильно смешанной системе hello_html_m789dad52.gif


Пример 1. hello_html_3fa361cf.gif

Решение:

hello_html_65bdf73b.gif

hello_html_m2d9a3e98.gifhello_html_m4873f1a1.gifhello_html_1863add0.gifhello_html_m4c5df0f5.gifhello_html_m17ec7bab.gifhello_html_m3ee3d3a7.gifОтвет: hello_html_3cbe3216.gif

Пример 2. hello_html_143ddfba.gif

Решение:

hello_html_12b8a453.gif

hello_html_m6bb5f61f.gifhello_html_4b923b36.gifhello_html_77aead35.gifhello_html_mb777872.gifОтвет: hello_html_ca0365f.gif

Пример 3. hello_html_432f7e9d.gif

Решение:

hello_html_f08ad8b.gif

hello_html_500e9fe7.gifhello_html_m70e59259.gifhello_html_m1d8d872e.gifhello_html_m6c37fe0a.gifОтвет: hello_html_586e11e0.gif


Пример 4. hello_html_m20bab863.gif(ЦТ 2004 г.)

Решение:

hello_html_2e3d5608.gif

hello_html_m7b14fb38.gifhello_html_2ba3f51b.gifhello_html_f7e1d43.gifhello_html_65bc37b7.gifОтвет: -8;-1;0.

Алгоритм решения уравнения hello_html_m62b1cb2b.gif

  1. Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по возрастанию на числовой оси и выбрать крайний левый из полученных интервалов между корнями.

  2. На полученных интервалах определить знак всех подмодульных выражений и раскрыть модули по определению.

  3. Составить и решить совокупность смешанных систем.


Пример 1. hello_html_203ceab1.gif

Решение:

hello_html_m4cc42bd2.gif

Нули модулей hello_html_m5380d38d.gifhello_html_377205f0.gif



hello_html_4acd3199.gif

hello_html_7a8d839a.gif

hello_html_m46ba8615.gif

hello_html_1f3da462.gif

+

+

hello_html_m7d6f9d31.gif

+


hello_html_m43c9a06b.gifhello_html_m46a6c35f.gifhello_html_244ede61.gifhello_html_57902886.gifОтвет: hello_html_517632e8.gif


Пример 2. hello_html_2fb83331.gif

Решение:

hello_html_m1540d203.gif

Нули модулей hello_html_35e40957.gifhello_html_mb8fe3ee.gif



hello_html_23c9b8da.gif

hello_html_m333ab769.gif

hello_html_m5f62445d.gif

hello_html_m5f844997.gif

+

+

hello_html_633fe418.gif

+


hello_html_m6935bb9e.gifhello_html_318c0683.gifhello_html_m14fcfd4b.gifhello_html_7a44524a.gifhello_html_2bce2bf9.gifОтвет: hello_html_706649cd.gif


Пример 3. hello_html_d8eb79f.gif

Решение:

hello_html_d8eb79f.gif

Нули модулей hello_html_3716f927.gifhello_html_m3201df7e.gif



hello_html_m1547f814.gif

hello_html_m15e37a91.gif

hello_html_m5a6f7a88.gif

hello_html_m22e970e.gif

+

+

hello_html_4fc4a6d6.gif

+


hello_html_1b078a59.gifhello_html_1c210438.gifhello_html_m6d3c46da.gifhello_html_m77230659.gifОтвет: hello_html_m77230659.gif


Домашнее задание.

1hello_html_6595d789.gif


hello_html_mcd96b53.gif


Общая информация

Номер материала: ДВ-269331

Похожие материалы