1.Введение
В развитии математики софизмы сыграли большую
роль Они повлияли на строгость математических рассуждений и помогли более
глубокому осмыслению математических понятий и методов. В этой связи знаменитый
ученый И. П. Павлов заметил, что «правильная понятая ошибка прокладывает путь к
открытиям». Математическим софизмом принято называть удивительные утверждения,
в доказательствах которых кроются незаметные, подчас и довольно тонкие ошибки.
В математических софизмах применяются «запрещенные» действия ( например ,
деление на 0 ) или не учитывается невозможность применения теоремы, формулы
или правила в рассматриваемом случаи. Иногда в софизмах используются неверно
построенные чертежи или другие ошибки.
Софизм ( от греч, σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)
- ложное умозаключение, которое тем не менее
при поверхностном рассмотрении кажется правильны. Софизм основан на
преднамеренном, сознательном нарушении логики.
Цель работы: дать
определение «софизм»,узнать как они появились, определить сферу его применения.,
научиться распознавать софизмы
Задачи: 1.Рассмотреть
исторические сведения о «софизмах». Узнать, какие бывают софизмы.
2..Привести примеры софизмов.
3.Ознакомиться с психологическими
особенностями человека применяющего софизмы, который с помощью любых приемов
отстаивает свои убеждения, не считаясь верны они или нет.
Объект исследования : софизмы.
Методы исследования: наблюдения, анализ софизмов, составление собственных софизмов.
Гипотеза: изучение и разбор софизмов
помогает развивать логическое мышление, развивает внимание, интуицию,
наблюдательность, прививает навыки правильного мышления, умение переносить
полученные знания на нестандартные жизненные ситуации и реализовывать их в
процессе обучения.
«Правильная понятая ошибка прокладывает путь
к открытиям». И. П. Павлов.
2.История
софизмов.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых
обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению,
вызванному недостаточностью логического или семантического анализа.
Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана
с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической. За счёт метафоричности речи,
омонимии или полисемии слов, амфиболий и прочих, нарушающих однозначность мысли
и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной
мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные,
несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода),
использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий,
например деления на нуль в математических софизмах (последнюю ошибку можно
считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных
формулах») происходит нарушение правил логики.
Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что
ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь
маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной:
«Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен,
поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то
заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после
того, как Аристотель создал логику.
А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни»
не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её
1/n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n +
1)< 1/n».
Исторически с понятием «софизм» неизменно
связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора,
что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём
хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в
споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой
«софизма Эватла».)
По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа
софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён
Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах
Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях»,
а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в
геометрических доказательств.
3.
Примеры софизмов.
В математике:
“Чётное
и нечётное ”
1) 5
есть 2+3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять —
число и чётное и нечётное.
2) “ Два умножить на два будет пять”
2•2 = 4
4 : 4 = 5 : 5,
вынесем за скобки слева 4, справа 5
4 ( 1: 1) = 5( 1 : 1 ) разделим левую и правую часть на ( 1: 1 ), получим
4 = 5, откуда
следует 2•2 = 5.
3)“ Пять равно шести ”
Возьмем тождество
35 + 10 – 45 = 42+ 12 -54.
В каждой части этого тождества вынесем за
скобки общий множитель:
5 • (7 + 2 - 9 ) = 6 • ( 7 + 2 – 9)
Теперь, разделив обе части полученного
равенства на их общий множитель
( 7+ 2- 9), получим , что 5 = 6. Где
ошибка?
4) Примером более тонкого математического
софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое
число a равно меньшему числу в.
Начнем с равенства
а = в + с.
Умножив обе части на а – в, получим:
а2 – ав = ав + ас - в 2
– вс. Перенесем ас в левую
часть:
И разложим на
множители:
а ( а-в-с) = в ( а-в-с). Разделив обе части на а-в-с,
найдем
а = в , что
и требовалось доказать.
Теория вероятностей изобилует правдоподобными, но логически не безупречными рассуждениями.
Предположим, что вы встретились со своим другом Джоном и что каждый из вас
носит тот галстук, который ваша жена подарила ему на день рождения. Вы
начинаете спорить о том, чей галстук дороже, и в конце концов решаете пойти в
магазин, где были куплены галстуки и узнать, сколько стоит каждый из них. Тот,
кто выиграет ( чей галстук окажется дороже), по условию пари должен отдать
свой галстук проигравшему , чтобы смягчить горечь поражения. Вы рассуждаете
так: - « Шансы выиграть и проиграть у меня одинаковые. Выиграв, я обеднею на
сумму, равную стоимости моего галстука. Проиграв, я получу более дорогой
галстук. Следовательно, заключив пари, я окажусь в более выгодном положении,
чем мой приятель.» Разумеется, ничто не мешает Джону рассуждать точно также.
Могут ли обе стороны, заключившие пари, иметь преимущество друг перед другом?
В теории множеств
В письме от 16 июня 1902 года Готтлобу Фреге, уже завершавшему свой
трехтомный труд, частью изданный, "Обоснования арифметики", венчавший
усилия логицистов, Бертран Артур Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что
обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством
называется множество, не содержащее себя в качестве элемента), указывая на
противоречивость исходных позиций Фреге, тем самым чуть-чуть его обломав.
Парадокс имеет n-ое количество вариаций. Например, "каталог всех
нормальных каталогов".
Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе
перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые
входят в число перечисляемых ими каталогов.
Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов
и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его
упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет
нормальным. Но такой каталог должен упомянут, а тогда это уже ненормальный
каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть,
ни не упомянуть свой каталог.
Теперь расскажем о вариациях этого парадокса. Начнем с более простого и
известного.
Парадокс парикмахера (приписывается также
Бертрану Расселу)
В некой деревни (некотором взводе и т.д.), в которой живет
один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право
брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли
парикмахер брить самого себя?
В литературе.
В приведенном ниже стихотворении, взятом из одного английского
журнала, выходившего в свет в XIX веке, рассказывается о
хитром хозяине гостиницы, сумевшем размесить в девяти номерах десять гостей
так, что каждому из них досталось по отдельной комнате
Их было десять чудаков
, - Пусти, хозяин , ночевать,
Тех спутников
усталых, Не будешь ты в убытке.
Что в дверь решили
постучать Нам только ночку переспать
Таверны « Славный
малый». Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
-Восьми гостям я предложу
Да вот беда
некстати:, Постели честь по чести
Лишь девять комнат у
него А двум придется ночь проспать
И девять лишь
кроватей В одной кровати вместе
Лишь он сказал , и сразу
крик Как охладить страстей тех пыл
От гнева красны лица:
Умерить те волненья?
Никто из всех десятерых Но
старый плут хозяин был
Не хочет потесниться.
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока
Спал третий в «Б», четвертый в «В»
Чтоб не судили
строго, В «Г» спал всю ночь наш пятый
Просил пройти он в номер
«А» В «Д», «Е», «Ж», «З», нашли ночлег
И подождать немного. С
шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в
«А», Хоть много лет с тех пор прошло
Где ждали его двое
, Неясно никому,
Он ключ от «И» вручить был
рад Как смог хозяин разместить
Десятому
герою Гостей по одному.
Иль
арифметика стара,
Иль
чудо перед нами,
Понять, что , как и почему,
Вы
постарайтесь сами.
Другие примеры софизмов, сформулированных
еще в древней Греции:
-« Сидящий встал, кто встал, тот стоит;
следовательно сидящий стоит»
-« Сократ – человек; человек- не тоже
самое что Сократ; значит Сократ – это нечто иное, чем Сократ»
- «Для того чтобы видеть, вовсе не
обязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже
видим; кроме правого и левого других глаз
у нас нет; поэтому ясно , что глаза
являются необходимыми для зрения.»
Обратите внимание, во всех примерах выводы
являются ложными, причем где то их ложность очевидна, а где то совсем нет.
-«Что от нас дальше Луна или Африка?
Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно,
а Африку нет !»
-«Один человек пожилого возраста
доказывает, что сила его несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась: В
юности и молодости я не мог поднять штангу весом в 200 кг и сейчас не могу,,
стало быть сила моя осталась прежней.»
- «Зачем человеку уши? Чтобы видеть.
Странно – это глаза для того чтобы видеть , а уши- для того , чтобы слышать. На
самом деле это не так. Уши ведь держат шляпу , и если их не было, то шапка
сползла бы на глаза и было бы ничего не видно. Следовательно, уши нужны для
того, чтобы видеть.
Основные
ошибки, «прячущиеся» в софизмах:
-деление на 0 ;
-неправильные выводы из равенства дробей;
-неправильное извлечение квадратного корня из
квадрата выражения;
-нарушения правил действия с именованными
величинами;
-путаница с понятиями «равенства» и «
эквивалентность» в отношении множеств;
-проведение преобразований над математическими
объектами, не имеющими смысла;
-неравносильный переход от одного неравенства
к другому.
4.
Заключение
В своей работе я рассмотрела не все примеры «софизмов».
Встречаются «софизмы» в теории чисел, есть бесконечное множество интересных
задач о сравнительных достоинствах « интересных чисел». Есть логические
софизмы, терминологические, психологические. Это очень обширная , интересная и
познавательная тема. Софизмы - это
смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но
и лучше понимать математику в целом.
. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не
только в решении задач, но и в обычной жизни.
В современном мире есть много людей, так или иначе
употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и
такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ,
чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и
правильности рассуждений. . Изучая данную тему .я расширила свой кругозор, это заставила меня
внимательнее читать, распознавать софизмы, находить ложные утверждения. При решении
таких задач развивается не только логическое мышление, но и интуиция.
Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки
предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно
добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.
5.
Используемая литература
1«Софизмы.
Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» Т.Н. Михеева
2 « История философской мысли». А,А Афанасьева.
3. Толковый словарь.
4.Материал из Википедии — свободной энциклопедии
5. «Софистика» Чернышев Б.
Коммунальное государственное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 4»
г. Жезказгана
Исследовательская работа
«Софизмы»
Выполнил: ученица 7 «Г» класса –
Здоровик
В
Руководитель: Булгакова В. А.-
учитель математики.
г.
Жезказган 2014 г.
Оглавление.
1. Введение.
2. Исторические
сведения о софизмах
3. Примеры
софизмов
4. Заключение
5. Используемая
литература.
Можно бесконечно говорить
о софизмах в целом и о математических софизмах в частном. Из года в год
появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих
быстро забудут. Ведь софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они
помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В
современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в
обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые
целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей
в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности
рассуждений.
Поначалу может показаться,
что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть
бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов.
И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек
слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже
не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть
решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы,
приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и
всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности,
равна диаметру» пришлось долго искать ошибку в применении теоремы. К концу
работы над рефератом ошибки стали находиться быстрее. Хорошо развитое
логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной
жизни.
Вообще, решение софизмов –
интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно,
так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение
сканвордов или судоку.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.