Проект "Уравнения и методы их решения"

• 1 слайд

  Уравнения и методы их решения
  Над проектом работали:
  Маслов Андрей
  Мулярчук Екатерина
  Фадеенко Виктор
  МКОУ СОш с Красное 2014
  

• 2 слайд

  Показательные уравнения
  Опред.: Уравнение вида aх=b , называется показательным
  

• 3 слайд

  Методы решения:
  Приведение к одному основанию
  Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем)
  Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка)
  Деление левой и правой частей уравнения на степень
  

• 4 слайд

  Приведение к одному основанию:
  
  2 3х · 3 х =576
  
  (2³) х · 3 х =576
  
  8 х ·3 х =576
  24 х =24²=>х=2
  

• 5 слайд

  Разложение левой части уравнения на множители:
  
  3 х+1 - 2 · 3 х-2 =25
  
  3 х-2(3³-2)=25
  
  3 х-2 · 25=25 |:25
  
  3 х-2 = 1
  
  3 х-2 = 30=>х-2=0
  х=2
  

• 6 слайд

  Замена переменной, приведение к квадратному:
  
  9х – 4 · 3х – 45=0
  
  32х– 4 ·3х -45=0
  
  3х =t=>t²-4t-45=0
  t1+t2 =4 t1 =9
  t1 +t2 =45 t2 =-5п.к.
  
  3х =9
  3х =3²=>х=2
  

• 7 слайд

  Деление левой и правой частей уравнения на степень:
  3х = 52х
  3х = 25 х |÷3х
  1= 25 х
  3
  25 º 25 х =>x=0
  3 3
  

• 8 слайд

  Примеры для самопроверки:
  
  1 0,5х-1 9; 7 · 5х– 5х+1 = 2 · 5-3;
  27
  
  2х² + 14 · 2х +1 – 29=0;
  
  7х +6 · 3х +6=73х·33х
  
  

• 9 слайд

  Типовые задания ЕГЭ:
  1.Решить уравнение:
  5х=125;
  2.Решить уравнение:
  
  1 0,1х-1_ 16;
  32 ¯
  3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
  
  3х²+х-12 = 1;
  

• 10 слайд

  
  4.Решить уравнение:
  3х+1 - 2 ·3х-2 =25;
  5.Решить уравнение:
  32х– 4 ·3х– 45=0;
  6.Решить уравнение:
  32х-1 – 22х-1 = 0;
  7.Решить уравнение:
  32х+5– 22х+7 + 32х+4 - 22х+4= 0;
  
  

• 11 слайд

  8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения:
  
  3 · 16х + 2 · 81х =5 · 36х;
  
  9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
  
  52х– 4 · 5х– 5 = 0;
  
  10.Решить уравнение:
  3Sin²x + 3Cos²x = 4
  

• 12 слайд

  В4.Найти модуль разности корней:
  
  4х-√х²-5 - 12 · 2х-1-√х²-5 + 8 = 0;
  В5.Решить уравнение:
  
  23х-1 · 53х-1 = 100;
  В6.Решить уравнение:
  
  √3 · 2х − 4х − 2 = 1−2х;
  В7.Решить уравнение:
  
  32х+3 · 33х+1 · 625х+2 = 600х+7;
  

• 13 слайд

  Тригонометрические уравнения
  

• 14 слайд

  I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1]
  
  
  а) Cosx=a, а
  (0; 1)
  X=
  аrccosa +2
  
  
  n , n
  б)Cosx=a, a
  (-1;0)
  X=
  (
  -arccosa) +2
  
  
  Cosx=0
  Cosx=-1
  ,
  
  X=
  +2
  n
  X=
  +2
  Cosx=1
  X=2
  

• 15 слайд

  Например.
  
  
  
  Cosx=
  ,
  
  X=
  + 2
  
  X=
  +2
  Cosx=-
  -
  ,
  (-1; 0)
  X=
  (
  -arccos
  )
  +2
  k, k
  X=
  -
  ) + 2
  k, k
  X=
  +2
  k, k
  Z
  

• 16 слайд

  II) Уравнения sinx=a, a 1; 1]
  
  Sinx=a, a
  (0; 1)
  X= (-1)narcsina +
  n, n
  Z
  Sinx=a, a
  (-1;0)
  X= (-1)n+1arcsina+
  n, n
  Z
  Sinx= 0
  X=
  n, n
  Z
  Sinx= 1
  
  X=
  +2
  K, k
  Z
  Sinx= -1
  
  X= -
  + 2
  n, n
  

• 17 слайд

  Например.
  
  
  Sinx=
  ,
  (0; 1)
  
  
  X= (-1)narcsin
  +
  n
  Z
  
  X= (-1)n
  +
  Z
  
  
  Sinx= -
  , -
  (-1; 0)
  
  X=(-1)n+1arcsin
  +
  Z
  
  X=(-1)n+1
  +
  n, n
  Z
  
  
  

• 18 слайд

  III) Уравнения tgx=a, a
  
  tgx=a, a
  0
  x=arctga +
  Z
  tgx= -a , a
  x= -arctga +
  n, n
  Z
  

• 19 слайд

  Например.
  
  tgx=
  ,
  [0;
  )
  x=arctg
  
  x=
  +
  Z
  tgx= -
  , -
  (-
  ; 0)
  
  x= -arctg
  +
  n, n
  Z
  x= -
  +
  Z
  

• 20 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
  
  1)Уравнения, сводящиеся к квадратным
  а) Sin2x + sinx – 2=0
  Sinx=t, t
  [-1;1]
  t2 +t-2=0
  t1=1, t2=-2-п.к так
  -1; 1]
  как -2∉
  
  
  sinx=1,
  x=
  + 2
  

• 21 слайд

  2.разложение левой части на множители
  
  Cosx=cos3x
  Cosx-cos3x=0
  -2sin2xsin(-x) =0
  Sin2x=0 или
  sinx=0
  x=
  
  
  2x=
  
  X=
  n
  ,
  

• 22 слайд

  3.однородное уравнение 1-ой степени asinx+bcosx=0
  Решается делением на cosx0
  
  0
  
  +
  = 0
  sinx+cosx=0 |:cosx
  atgx+b=0
  
  x=-arctg
  +
  tgx+1=0
  tgx=-1
  +
  x=-arctg1
  n, n
  Z
  
  x=-
  +
  

• 23 слайд

  4.однородное уравнение 2-ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
  
  asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
  |:cos2x
  0
  atg2x+btgx+c=0
  tgx=t, at2+bt+c=0
  Д=b2-4ac
  t1,2=
  tgx=
  x1=arctg(
  ) +
  n
  x2= arctg(
  ) +
  n
  3sin2x-7sinxcosx+2cos2x=0|:cos2x
  0
  3tg2x-7tgx+2=0
  tgx=t, 3t2-7t+2=0
  Д= b2-4ac=25, Д
  t1,2=
  tgx=2
  tgx=
  
  x=arctg2+
  x=arctg
  +
  k,
  k
  Z
  

• 24 слайд

  5. Уравнение вида asinx+bcosx=c
  
  asinx+bcosx=c
  Sinx +
  cosx=
  
  
  =cos
  =sin
  
  Cos
  + sin
  cosx=
  Sin (
  + x) =
  
  X= (-1)narcsin
  - +
  
  
  z
  
  n, n
  Sinx-cosx=1
  =
  sinx –
  cosx=
  Sin( -
  x
  )=
  
  X -
  =
  
  (-1)n
  +
  , n
  Z
  
  X= (-1)n
  +
  +
  

• 25 слайд

  Уравнения для самостоятельной работы!
  Базовый уровень
  
  Sinx=
  Cosx=-
  tgx=
  1+sin(
  )=0
  Sin2x=
  Sinx+cosx=0
  2cos(2x-
  )=
  Sin(x-
  )=0
  +1=0
  tgx-1=0
  

• 26 слайд

  Повышенный уровень
  
  2sin2x+3sinxcosx-2cos2x=0
  =0
  3sinx+4cosx=10
  Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0
  Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0
  Cosx+cos
  =
  Sin3x-sin9x=0
  tg(3x+600)=
  
  ctg(
  -1)sin(
  -1)ctgx=0
  4sin
  cos
  =
  -
  Sinx-cosx=4sinxcos2x
  

• 27 слайд

  Трудные задания
  
  Cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2
  (cos6x-1)ctg3x=sin3x
  Cos(x+
  )+sin2x=-2
  Cos2x+
  |cosx|sinx=0
  Cos2x+sin22x+cos23x=
  (cos2x + 3
  sinx-4)=0
  =0
  cosx+2sinx)=1
  -1=4sinx
  + ctgxtg
  =0
  

• 28 слайд

  Трудные задания
  cosx-cos3x+2
  =0
  удовлетворяющие условие:
  
  |x+
  |
  +2cosx=0
  =0,
  удовлетворяющие условию |x|
  
  
  –
  = -4
  +
  =8
  

• 29 слайд

  Уравнение с модулем
  
  Определение:
  
  
  a
  
  a
  

• 30 слайд

  Методы решений.
  
  По определению модуля:
  |x+1|=3
  
  =
  и
  
  =
  
  =
  =>x=-4
  

• 31 слайд

  метод интервалов:
  |x+1| + |x-1| + |x+10|=12
  1.найдём корни подмодульных выражений:
  X=-1 x=1 x=-10
  2.нанесём корни на числовую ось
  -10 -1 1
  

• 32 слайд

  метод интервалов:
  3.
  =
  =
  
  x=
  посторонний корень
  
  =
  =
  
  =
  

• 33 слайд

  метод интервалов:
  
  =
  
  =
  =
  x=
  – посторонний корень
  Ответ:x1=-2 x2=0
  

• 34 слайд

  Базовый уровень
  
  1.|x+3|=12
  2. x+5=|x|
  3. |x-15|=25x
  4.|2x|=100
  5.|x-40|=80
  6.|x|=5
  7. |x|=3x+10
  8. |3x-9|=1
  

• 35 слайд

  Повышенный уровень
  
  
  1.|
  -
  
  – 5
  =
  2.|x2-5x+6|=x+1
  3.|x-3|+2|x+1|=4
  4.|5-2x|+|x+3|=2-3x
  5.
  =|x|+2
  6. x|x|+7x+12=0
  7. x2-5x -
  8. x2-|3x-5|=5|x|
  9. |x+5|=|2x-3-x2|
  10. 3|2x2+4x+1|=|x2+5x+1|
  
  11.|2x-y-3|+|x+5y-7|=0
  

• 36 слайд

  Логарифмические уравнения
  

• 37 слайд

  При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.
  

• 38 слайд

  логарифмических
  Методы
  решения
  уравнений.
  

• 39 слайд

  1)Решение логарифмических уравнений
  на основании определения логарифма.
  (2x+1)=2
  2x+1=
  2x+1=9
  X=4
  
  (2×4+1)=
  Проверка
  9=2
  Ответ:х=4
  

• 40 слайд

  2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному.
  (
  +1)=2
  ОДЗ:
  =
  =
  
  
  X
  По определению логарифма
  (x+1
  =2
  +1
  +2x+1=
  +1
  -2x=0
  =0
  =2
  Ответ: х=2
  

• 41 слайд

  3) Метод потенцирования
  )
  ОДЗ
  =
  
  =
  
  =
  0
  Применяя метод потенцирования, получили
  Х=6-
  +х-6=0
  =2,
  =-3 –п.к
  Ответ:х=2
  

• 42 слайд

  4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу
  =2n
  f(x)
  Где а
  ,а
  1,n
  z.
  
  =2n|
  |,
  где a
  ,
  a
  .
  ОДЗ:
  -5 0
  +5x-6=0
  +
  =-5
  =-6
  

• 43 слайд

  5)Метод логарифмирования
  ОДЗ:
  =
  
  
  =
  x
  
  =
  =
  1+
  , 2
  1+
  
  2
  X=3
  ОДЗ
  

• 44 слайд

  Решить уравнение показательные по образцу.
  -6
  =4
  ОДЗ:
  =
  =
  Ответ: Х =1
  
  
  )=
  
  ОДЗ:
  р.м.п
  У=
  У=0=
  
  Д=4+24=28
  =
  х
  1-
  ;
  ;
  

• 45 слайд

  =6+2х-
  =
  Ответ:х=-1,х=2
  1)
  =0
  2)
  3)
  

• 46 слайд

  Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть.
  1)
  2)
  3)
  4)
  

• 47 слайд

  Решить уравнение по образцу
  2
  Х=0∉ОДЗ , х=
  Ответ: х=
  

• 48 слайд

  Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями.
  lg (x+2) +
  3+26)=0
  3) +log3(-x-1)=0
  2+x-5)+
  =log3
  -log4
  =-9
  

• 49 слайд

  Решить уравнения
  Xlog3x-3=
  0,1x1+lgx=1
  Xlog4x=23(log4x+3)=0
  log3x-log3(x+8)=-log3(x+3)
  log2(x+1)+log2(x+2)=1
  2log4(4-x)=4-log2(-2-x)
  log2(x+1)=1+2log2x
  lg(x+
  )-lg(x-
  )=
  lg(x+6)-
  lgx
  log2
  -1=log2
  5x2-8x+5
  =0
  Log2 (24-x-2x+7)=3-x
  2log2(1-
  )=3log2(2+
  )+12
  4log7(
  (
  )0,75)
  =
  X2log2x+3
  -6=0
  -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0
  Log2
  2
  Log2(log5x)=1
  2
  +7=0
  Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1)
  3log2x2-log22(-x)=5
  logx
  log25x=-1
  log3|x+8|+
  log3x4=2
  

• 50 слайд

  Решить уравнение
  Log3x+7(9+12x+4x2)+log2x+3(6x2+23x+21)=4
  log(100x3)lg
  =8
  log6(x+5)+
  log6x2=1
  =
  Log3(x+2)(5x)-log3
  Log4log2x+log2log4x=2
  -log77=
  4
  -log24=log77x
  lg
  +lg
  log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2
  2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0
  

• 51 слайд

  Метод монотонности функций.
  Теорема 1. Если одна из функций возрастает, а другая убывает
  на промежутке, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.
  
  Теорема 2. Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает
  постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение
  имеет не более одного корня.
  
  
  

• 52 слайд

  Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности.
  1.Иследовать на монотонность функции f(x) и g(x) в О.О.У
  2.Если выполняются условия теоремы f(x) и g(x) и удается подобрать
  удовлетворяющие уравнению f(x)=g(x), то
  -единственный корень
  этого уравнения
  , (
  )-функция возрастает т.к
  возрастает и
  
  возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то
  уравнения имеет один корень.
  9+16=25
  25=25
  

• 53 слайд

  ,
  возрастает функция и
  -возрастающая и
  (
  )-возрастающая функция ,в правой части постоянная
  функция.
  Х=1, 6- 4
  Х=2, 36-16
  Х=3 , 216-64=152
  

• 54 слайд

  Х=1 ,
  +
  Х=4,
  -
  -функция убывает, а
  -возрастает, теорему не применять
  Ф.М.У
  а=
  
  У=х-4,а=1 прямая направлена
  Применяем теорему: уравнений имеет один корень
  Х=3 ,
  
  -1=-1,
  Х=3
  

• 55 слайд

  Уравнение с завуалированным обратным числом.
  (
  )x +(
  )x=8
  (4+
  )=16-16=1=
  4+
  =t
  t (
  ) =1=
  4-
  =
  t+
  =8|
  t
  t2-8t+1=0
  д=b2-4ac=64-4=60
  t1,2=
  =
  =4
  (
  )x=(4+
  )
  (
  )x=(4-
  )
  =1
  = -1
  X=2 x= -2
  

• 56 слайд

  Например!
  (
  )x + (
  )x=6
  (
  )x + (
  )x=10
  

• 57 слайд

  Используемая литература
  С.М.Никольский- алгебра 10-11класс
  Ш.А.Алимов и др- алгебра 10-11класс
  Справочник по математике 5-11 класс
  Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»