Проект "Вездесущее число π" автор Эрдниева Раяна

Республика Калмыкия

Юстинский район

МБОУ «Цаганаманская гимназия»

____________________________________________________________

Научно-практическая конференция «От исследования – к научному поиску»

Секция «Естественно-научная»

Вездесущее число

π

Работу выполнила: Эрдниева Раяна Нармаевна,

                                 ученица 9 класса

                                  МБОУ «Цаганаманская гимназия»

Руководитель: Улюмджиева Н.Б.,

                          учитель математики

                          и информатики

                          МБОУ «Цаганаманская гимназия»

п. Цаган Аман, 2013

Краткая аннотация

Цель работы: Определить области применения числа π и научиться вычислять число π опытным путём.

Задачи:

ü  Изучить историю открытия числа π

ü  Выяснить  место и роль числа π в  различных областях

ü  Изучить различные способы вычисления числа π

ü  Научиться вычислять число π опытным путём

ü  Найти занимательные факты и  правила   для запоминания числа π.

       Гипотеза: Не все способы получения значения числа π приводят к точному результату.

      Объект исследования: Число π и способы его вычисления.

     Методы исследования: Эмпирический (сравнение, счет, измерение, собеседование); Экспериментально-теоретический (эксперимент, анализ, синтез, исторический, обобщение)

Из курса школьной математики мы знаем, что число Пи (π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.

Определяя π различными способами, я получила результаты, не совпадающие с 3,14. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к Пи, а кроме того эксперимент надо выполнять очень аккуратно, уменьшая тем самым погрешность измерения.

В связи с этим становится более понятным, почему древний мир не знал правильного отношения длины окруж­ности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для π значение 3 1/7 — найти без изме­рения, одними лишь рассуждениями.

Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и  используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров. Даже английский математик Август де Морган сказал о числе «Пи»: «Загадочное число 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………….				4
1.	История числа π ……………………………………………………………………			5
	1.1.		Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта ……………………	5
1.2.			Приближения числа “ “   в Индии и Китае ………………………………	5
1.3.			Математические достижения в Древней Греции …………………………	6
1.4.			Число “ “ в Европе (15 – 16 вв.) ………………………………………….	7
1.5.			Обозначение числа …………………………………………………………	7
1.6.			Число «π»в современности ………………………………………………….	7
2.		Области применения числа π  ……………………………………………………..		8
3.		Способы вычисления числа π ……………………………………………………..		10
Заключение ………………………………………………………………………………..				13
Список литературы ……………………………………………………………………….				14

Введение

Объектом моей исследовательской работы  является удивительное число, которое нашло свое применение не только в  математике, но и в других сферах нашей жизни. Число Пи - самая известная константа в математическом мире.

Я узнала о числе π  на уроке математики, когда училась в 6 классе. Мы на этом уроке   определяли отношение длины окружности к её диаметру, измеряя длину  и диаметр  разных окружностей, получили число, примерно равное 3. Так нас познакомили с вездесущим  числом  π

. Меня заинтересовала история появления этого числа. В различных источниках я нашла высказывания ученых о числе π. Например, Чарльз Кентор исследовавший цепочки ДНК и нашедший в нем число Пи, сказал: «Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число ПИ — повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число ПИ? Ответа пока нет.»

Мне захотелось узнать больше об этом удивительном числе, узнать, как вычисляли его в древности и как вычисляют в настоящее время, какие методы были придуманы и насколько они точны.

Цель работы: Определить области применения числа π и научиться вычислять число π опытным путём.

Задачи:

ü  Изучить историю открытия числа π

ü  Выяснить  место и роль числа π в  различных областях

ü  Изучить различные способы вычисления числа π

ü  Научиться вычислять число π опытным путём

ü  Найти занимательные факты и  правила   для запоминания числа π.

       Гипотеза: Не все способы получения значения числа π приводят к точному результату.

      Объект исследования: Число π и способы его вычисления.

     Методы исследования: Эмпирический (сравнение, счет, измерение, собеседование); Экспериментально-теоретический (эксперимент, анализ, синтез, исторический, обобщение)

1.      История числа π

История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые ученые разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке  и эра цифровых компьютеров.

1.1.Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: “ И сделал литое из меди море, - от края его и до края его десять локтей, - совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом”.  Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа  , которое получается из формулы площади круга диаметра d:

                      S  =  ( d – 1/9d  ) ² = ( 1 – 1/9 ) ² d² .

Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение  = 4(8/9)² = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины “ с отверстием 4 ½ “. Исследователи толкуют её по – разному, поскольку    в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа   берётся то же самое приближённое значение 4 ( 8/9 )². Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение  = 3.    В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

1.2.Приближения числа “ “   в Индии и Китае

            В священной книге джайнизма ( одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э. ) имеется указание, из которого следует, что число  “пи “   принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта.

            Китайские учёные в 3 веке использовали для     значение 3  7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение 355/113  ( =3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

1.3.Математические достижения в Древней Греции

            С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга – к построению равновеликого квадрата.

            Архимед в 3 веке до н.э. , занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что “ периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых “. В своей небольшой работе “ Измерение круга “ он обосновал три положения: 1) всякий круг равновелик прямоугольному  треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу; 2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре как 11 к 14; 3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7  и больше 3  10/71.      (Вероятно, в первоисточнике третье предложение стояло на месте второго, но при переписке или переводе была допущена погрешность. Нужно заметить, что арабы располагали более точным текстом этой работы, чем мы.) Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя до вычисления периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96-ю сторонами.

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7, а это означает, что   =3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа

                                             3,1408 <       < 3,1428 .

Диаграммы вычисления числа пи Архимедом:

           Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа     для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120 (  =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.

1.4.Число “ “ в Европе (15 – 16 вв.).

                В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил “пи” с 16 десятичными знаками.

               К концу 16 века в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел. (Определение. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Термин “ рациональное число “ произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает “ отношение “ (частное). Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби.

Определение. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка “ир”  означает отрицание).) Хотя многие были убеждены, что число    - иррациональное, доказать это никто не мог.

 В то же время некоторые математики продолжали заниматься вычислением числа    . Спустя полтора столетия  после ал-Каши в Европе Ф.Виет нашёл число “пи” только с 9 правильными десятичными знаками. Но при этом он первым сделал открытие, имеющее большое значение, так как позволило вычислять  с какой угодно точностью.

1.5. Обозначение числа

             Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом    английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова “периферия”. Общеупотребительным введённое У.Джонсоном обозначение стало после работ Л.Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г. Леонард Эйлер опубликовал работу, в которой было вычислено 153 цифры числа «ПИ»

1.6.Число «π»в современности

            К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

В наше время с помощью компьютера число π   вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени.

2.      Области применения числа π

В ходе бесед с учителями математики, физики я узнала, что число π встретится мне не раз на уроках геометрии и алгебры, физики. А именно:

ü  Алгебра:  π - иррациональное и трансцендентное число.

ü  Тригонометрия: радианное измерение углов.

ü  Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

ü  Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

ü  Физика: «Колебания и волны», «Магнитная индукция», «Оптика», «Электромагнитные колебания».

ü  Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3,14.

Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, вездесущего  числа π.

В подтверждение хочется привести слова румынского историка математики, автора книги «История числа π» Флорика Кымпана: «Число p присутствует в чертежах и вычислениях, при подготовке и проведении полетов в космос, оно представляет необходимое количество своих десятичных знаков всякий раз , когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин, физикам и астрономам … . Куда бы мы ни обратили свой взор, видим проворное и трудолюбивое число p : оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине».

Читая различные источники, я наткнулась на необычное применение числа ПИ – запоминание числа. Интерес  для запоминания представляет именно хаотическое сплетение цифр после запятой, не поддающееся никаким видимым закономерностям, т.е. попросту говоря, не имея системы в записи, число не поддается запоминанию обычным человеком. Сейчас существует даже своеобразное соревнование среди мнемонистов: кто запомнит большее количество знаков после запятой. Эти рекорды записываются в Книгу рекордов Гиннеса.

Для чего же запоминают такое количество цифр? Для тренировки. Во-первых, при этом оттачиваются зрительные образы, которыми обозначаются двузначные числа (их всего сто) или трехзначные числа (этих образных кодов 1000). Во-вторых, отрабатывается основная операция запоминания — соединение зрительных образов в воображении. Чтобы запомнить несколько тысяч цифр, нужно образовать соответствующее количество связей между образами. В-третьих, человек закрепляет в своей памяти большое количество вспомогательных образов, которые в разных системах называются по-разному — локи, опорные образы, стимулирующие образы, вешалки и т.д. И в-четвертых, вырабатываются различные способы фиксации последовательности образов.

            Как же, собственно, запоминать сами числа? Очень просто, как обычно. Разбейте цифровой ряд на двузначные числа, преобразовывайте двузначные числа в образные коды и последовательно связывайте с подготовленными опорными образами. Например, 14-15-92-65-35-89-79-32-38-46-26-43-38-32-79… нужно представить в виде: жучок-губы-радио-лупа-куб-фара-сыр-кит-хвоя-чашка-душ-очки-... Первую цифру — 3 — можно не запоминать, как-нибудь вспомните...

Тем не менее, даже если вы не хотите изнурять себя такими непосильными тренировками, иногда значение числа Пи требуется вспомнить для работы. Как же быть? Для таких случаев существуют техники запоминания попроще. Например, придумано множество мнемонических способов для запоминания нескольких первые цифр значения числа Пи в стихотворной форме:

Чтоб запомнить цифры эти,

Нужно правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

В следующем стихе упоминается большее число знаков.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

Есть более сложные и интересные мнемонические тексты-стишки, число букв в словах которых является значением цифр для запоминания числа Пи.

Учи и знай в числе известном

За цифрой цифру без ошибки.

3.      Способы вычисления числа π

1)      Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тон­кую нить. Измерив длину l одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е.  π =. Результаты сведены в таблице.

№	Длина	Диаметр (2R)	Число π	Δ
1)	28 см	9 см	3,11	0,03
2)	22 см	7,5 см	2,93	0,21
3)	25 см	8 см	3, 125	0,015
4)	38 см	12 см	3,17	-0,03
5)	96 см	32 см	3	0,14
6)	26 см	8 см	3,25	-0,11

2)      Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квад­рата круг. Взвесим и его.

m= rV;  V= SH;  ρ- плотность бумаги.

1) для круга: m_КР= rS_КРH = rpr²H;

2) для квадрата: M_КВ= rS_КВH= =r 4r²H;  ( S=a²=(2r)²=4r²).

                                                               

№	m, г	M, г	π	Δ
1	5,86	8,5	2,76	0,38
2	12,7	15,6	3,26	-0,12
3	7,8	10	3,12	0,02
4	9,24	11,73	3,15	0,01

3)      Суммирование площадей прямоугольников вписанных в полукруг.

Пусть А (а;0), В (b;0). Опишем на АВ полуокруж­ность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками , , …,  и восставим из них перпен­дикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждо­го такого перпендикуляра — это значение функции  f(x)=. Из рис. 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле:

(( f()+f()+…+f())

Тогда π ≈2S.

Значения π будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ

х	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8
f(x)	0,6	0,8	0,92	0,98	1	0,98	0,92	0,8	0,6

(( f()+f()+…+f()), получу=,

Зная, что π ≈2S, получу π ≈3,04

4)      Проверка соотношений человеческого тела

Художники эпохи Возрождения заметили следующие соотношения в размере человеческого тела. Оказывается отношения размаха рук (h) к росту человека (H) всегда равно одному и тому же числу, связанному с числом Фидия (Ф) и числом π . Надо знать, что π = 2· Ф· h/ H     Ф1,62

Этот факт подтвердили и мои измерения

№	Рост (H)	Размах (h)	Число π	Δ
1	1,71 см	1,69 см	3.16	-0,02
2	1,65 см	1,67 см	3.27	-0,13
3	1,69 см	1,67 см	3.20	-0,06
4	1,78 см	1,80 см	3.30	-0,16
5	1,58 см	1,51 см	3.10	0,04
6	1,62 см	1,64 см	3,28	-0,14

Вывод: Все значения π, полученные в ходе экспериментов, отличаются на десятые и сотые. Результаты приближенно равны числу 3.  Ни один из способов вычисления π не привел к точному результату. Я думаю все дело в погрешности измерения нужных величин.

Заключение

В своей работе я подробнее познакомилась с числом – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнала некоторые аспекты его богатейшей истории.

Из курса школьной математики мы знаем, что число Пи (π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.

Определяя π различными способами, я получила результаты, не совпадающие с 3,14. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к Пи, а кроме того эксперимент надо выполнять очень аккуратно, уменьшая тем самым погрешность измерения.

В связи с этим становится более понятным, почему древний мир не знал правильного отношения длины окруж­ности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для π значение 3 1/7 — найти без изме­рения, одними лишь рассуждениями.

Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и  используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров. Даже английский математик Август де Морган сказал о числе «Пи»: «Загадочное число 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Список литературы

1.      Жуков А.В. Вездесущее число Пи. – Едиториал УРСС, 2004.

2.      Жуков А. В. О числе π. – Едиториал УРСС, 2004.

3.      Кымпан Ф. История числа пи М.: Наука, 1971.

4.      Число Пи – магический геометрический символ. // Математика – 1993 - № 27 – 28.

5.      Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /  [Н. Я. Виленкин и др]. – М.: Мнемозина, 2012.

Интернет – ресурсы

http://www.decoder.ru/list/all_1/topic_60_1/

http://www.arbuz.uz/t_e_pi.html

http://www.manwb.ru/articles/science/natural_science/MisteryPi_EkaOrehova

http://www.from-ua.com/technology/9ce57910e1133.html

http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/chislopi.html

http://pages.marsu.ru/chla/pi.htm