Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками.

Бурковская Нина Дмитриевна

Преподаватель математики,

Уральский технологический колледж «Сервис»

Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками.

 Цель урок: Образовательная: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка .Развивающая: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.                                                Воспитательная: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Тип урока: Изучение новой темы, формирование зун.

Методы ведения: лекция

Оборудование урока Интерактивная доска, программа Geogebra, чертежные принадлежности.

ХОД УРОКА:

I.                  Организационный момент – 1 – 2 мин.

1.     Приветствие учащихся.

2.     Отметить отсутствующих.

II.      Опрос по домашнему заданию

1.Какая система координат называется декартовой прямоугольной?

2. Что указывают координаты точки?

3. Верно ли утверждение, что координаты точки задают её положение на координатной плоскости однозначно?

4 Чему равно расстояние от точки с заданными координатами до осей координат?

III.   Объяснение нового материала. Краткий конспект.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

      Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

М (х,у,z), где х – абсцисса,    у – ордината, z  - аппликата.

Расстояниемеждуточками

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂)

 Тогда расстояние между точками A₁ и A₂ вычисляется так:

Пример 1:

На оси ОХ найти точку, равноудалённую от точек А(2;-4;5) и В(-3;2;7).

Решение:

Пусть т. М – искомая точка. Так как т. М лежит на оси Ох, то она имеет координаты (х,0,0). По условию задачи .

;.

Приравняем эти равенства и возведём в квадрат:

(х-2)²+41=(х+3)²+53. Решая это уравнение,  получим:

10х=-17, х=-1,7. Значит координаты т.М будут (-1,7;0;0)

Ответ: М (-1,7;0;0)

Координаты точки С(х,у,z), делящий отрезок между точками М₁(х₁; y_1; z₁) и М₂(х₂; y_2; z₂) в заданном отношении λ определяется по формулам:

В частности, при λ=1 получаются формулы середины отрезка:

Координаты середины отрезка в пространстве

 Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A₁A₂ будет точка Сс координатами x, y, z, где

Пример 2:

Точка С (2;3;6) является серединой  отрезка АВ. Определить координаты точки А, если В(7;5;8).

Решение:

х₁=4-7=-3; у₁=6-5=1; z₁=12-8=4

Ответ:А(-3;1;4)

IV. Закрепление нового материала:

Примечание: задачи разбирают  в программе Geogebra, затем решаются на доске и делается сравнительный анализ.

1)Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и B(5, -6, 2) на: а) плоскость Oxy;

 б) плоскость Oyz;

 в) ось Ox;

 г) ось Oz.

(Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0); г) (0, 0, 4), (0, 0, 2). )

2 ) На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости: а) Oxy;

 б) Oxz;

в) Oyz?

(Ответ: а) 3; б)  2; в) 1)

3 )Найдите координаты середины отрезка: а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).

 (Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).)

Задание на дом §21, 22

Литература:  

Ж. Кайдасов, В. Гусев, А Кагазбаева Геометрия 10, 11 классы. Дидактический материал по геометрии для 10, 11 классов.