Рабочая тетрадь по дисциплине "Математика" по теме: Производная

  Тема: Производная

Составитель:

Котелевская Е.А. преподаватель ГБПОУ РО «БКМТ»

Белая Калитва, 2016

Пояснительная записка.

Рабочая тетрадь по алгебре для обучающихся 1 курса составлена в соответствии с действующими рабочими программами и учебниками по алгебре и может быть использована для самостоятельной работы обучающимися, а также для выполнения домашних работ.  Тетрадь содержит задачи репродуктивного, поискового характера, а так же имеется ряд задач повышенной сложности, решение которых требует определенных умений и навыков, которые могут служить базой для дальнейшего изучения курса алгебры.

Содержание

1.     Определение производной

2.     Основные правила дифференцирования

3.     Упражнения на закрепление изученных понятий

4.     Производные тригонометрических функций

5.     Проверочная работа

6.     Геометрический смысл производной

7.     Физический смысл производной

8.     Производная сложной функции

9.     Письменная работа

 

Основные правила дифференцирования

                  1.  a′=0

                2.  x′=1                              

                3. (ax)′=a

            4. (xⁿ)′=nxⁿˉ¹

      5. (u+v)′=u′+v′

      6. (uv)′=u′v+uv′

      7. (u/v)′=(u′v-v′u)/v²

                              1.    a′=0.  Производная от  числа равна нулю.

                         7′=0;    (1⁄3)′=0;   (-2,5)′=0;    (√11)′=0

4′ =_____;           (-15)′ =______;               (7,81)′ = ______;  

(√2)′=_______              (5/7)′ =______.

                             2.  x′=1.   Производная от любой переменной равна                       

                                              единице.      

у′ =________________;          в′=_____________

         3.  (ax)′=a.    Постоянный множитель можно выносить         

                                                  за знак производной.

(13х)′=13;   (¶х)′= ¶;   (-¼х) ′ = -¼;   (√2х)′ = √2

(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ =  __________

(√8х) ′ =  _________

                        4. (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹     

                       (х⁶)′=6х⁵;        (3х⁴)′ = 3·4х³ = 12х³;

                       (-¼х⁴)′ =-¼·4 х³=- х³

(Х²¹)' =   _______________

(10х⁴)' = _______________

(-⅓х³)' = _______________

(Х^1/2)' =  _______________

                               5. (u+v)′=u′+v′

   (3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

   (5х²+8х-10)'=(5х²)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

   (х⁴-х⁹)'= (х⁴)' – (х⁹)'= 4х³ – 9х⁸

(3х² – 6х)' = _______________________________________________________

(х³+ 4х¹⁰⁰-1)' = _____________________________________________________

(3х⁴-7х³+2х²+¶)'=___________________________________________________

                      6. (u·v)′=u′·v+u·v′

1. (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

2. ((х²-х)(5х-8))'= (х²-х)'·(5х-8) + (х²-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х²-х)5= 10х²-21х+8+5х²-5х= 15х²-26х+8

((х+5)(х+7))'=___________________________________________________________

_______________________________________________________________________

((х²-2)(х⁷+4))'=__________________________________________________________

_______________________________________________________________________

                7. (u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

(х²/(х+3))'= ((х²)'·(х+3) - х²·(х+3)')/(х+3)²=

=(2х(х+3)-х²)/(х+3)²=(2х²+6х-х²) /(х+3)²=(х²+6х) /(х+3)²

((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

 ((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

_______________________________________________________________________

   Проверь себя  

«3»	«4»	«5»
(4х2 – Зх)'=____________ _____________________ (2х3-3х2+5х+15)'=_______ ______________________ ______________________ (2х(х2+6))'=____________ ______________________ ______________________ ((3х+5)/(8х4))'=_________ ______________________ ______________________ ______________________	(12х3 -бх2)'=____________ ______________________ (5х4+3х3-4х2+х8)'=_______ _______________________ _______________________ ((7х+3)(8х4))'=__________ ______________________ ______________________ ((3х3-8)/(2х+4))'= ______________________ ______________________ ______________________ _______________________	(¼х4√3х2+х)'=___________ ______________________ (⅞x8+⅓x3-⅟2x2+x8)'= ______________________ ______________________ _______________________ ((3х2-5х+1)(2х+9))'= ______________________ ______________________ ______________________ ((7х2-3х+4)/(5х+3))'= ______________________ ______________________ _______________________ _______________________

                   Производные тригонометрических           

                                            функций

—  (sinx)′=cosx

—  (cosx)′=-sinx

—  (tgx)′=1/cos²x

—  (ctgx)′=-1/sin²x

(2sinx)′=2cosx;                         (x+2cosx)′=1-2sinx;

(1/2tgx)′=1/2cos²x;               (сosx-tgx)′=-sinx-1/cos²x

(2tgx-sinx)′=2/cos²x-cosx

(tgx+11) '= _____________________________________________________________

(cosx- sinx) '=___________________________________________________________

(5sinx+2х) '=  ___________________________________________________________

(Ctgx+2х³) '= ___________________________________________________________

(2sinx+ cosx-3)'= ________________________________________________________

(tgx +3 cosx)'= __________________________________________________________

(-sinx+х³) '= ____________________________________________________________

(2cosx-5х⁴+2х+1) '= ______________________________________________________

                   Установи соответствие  

 

-√3 sinx-5х4+0,3 1⁄3 cos 2x -3 sinx+15 -1⁄sin 2x +6х 1⁄ 2sinx 2x +6 -4 sinx+2х 1⁄cos 2x 3cosx 2⁄ cos 2x +6 7 cosx 1 ⁄ cos 2x+2 cosx 15+ cosx

(2sinx+3)' (4 cosx+х2)' (tgx+7)' (ctgx+3х2+8)' (7 sinx-1/7)' (tgx+ 2sinx)' ((tgx)/3)' (√3 cosx-х5+0,3х)' (3 cosx+15х)' (sinx/ cosx)'

                                                                            

 

1.Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х₀):

Решение:  f(х) =х²,    х₀=-4

К= f '(х₀);      f '(х)=2х;           f '(х₀)= f '(-4)=2·(-4)=-8,          т.е. к=-8

1.     f(х)=1⁄х, в х₀=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

2.     f(х)= sinx, в х₀ = ¶⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

3.     f(х)= 3х³ – 2х +1, в х₀₌1__________________________________________

________________________________________________________________

2. Найдем  тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х² с осью Ох, в точке х₀=1.

Решение:  tgα=у'(х₀);     у'(х)=( 1⁄2 х²)'=х;      у'(х₀)= у'(1)=1,     т.е. tgα=1;    α=¶⁄4

           1. у= х² при х₀=√3⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

              2. f(х)=1⁄3 х³, х₀=1 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х²-2в точке с абсциссой х₀₌3.

Решение: Находим уравнение касательной  у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀)

у(х₀)=у(3)= 1⁄3 ·3²-2=1;   у'(х)= (1⁄3 х²-2)'=2⁄3 х;   у'(х₀)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5;       т.е. у=2х-5 – уравнение касательной

1.     f(х)=3х²-5х+4, в х₀=1____________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2.     у=1⁄2 х²+1, в х₀=2_______________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

                                               

Если точка движется вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t)=х'(t) V=S' (t), а ускорение а (t)= V' (t)=х'' (t)= S'' (t)

 

                                                                                                 

 Тело движется по закону  S (t)=3t²-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.

Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5;   V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=( 6 t-5)'=6

                                               Ответ: V=1, а=6

1.    Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t²+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2.     Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t³+2t²-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

 

                                                                                                       

Найдем производную сложной функции:

1.((2х+3)¹°°)′=2·100(2х+3)⁹⁹=200(2х+3)⁹⁹

2.(√3х²+1)′=(1/2·(3х²+1))·(3х²+1)′=6х/(2·√3х²+1)=3х/√3х²+1

1.     у =(4х-9)⁷ _________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2.     у = (х⁄3 +2)¹²_______________________________________________________

_______________________________________________________________________

3.     у = (7-24х)¹⁰ _______________________________________________________

_______________________________________________________________________

4.     у = cosx(5х-9)_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5.     у= sinx(7-2х) ______________________________________________

_______________________________________________________________________

                                                                         

                                                                                   

1.Производная функции у=f(х) в точке х₀ называется предел _________________

     __________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

    2.Функцию, имеющую производную в точке х₀ называют____________________

    _________________ в этой точке.

    3.Найти производные функций:

3.1  у=х³+√2____________________________________________________________

3.2  у=3х⁴-7х³-х+¶_______________________________________________________

3.3  у=7х³-5х___________________________________________________________

3.4  у=х-х³+7___________________________________________________________

3.5  у=(5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

3.6  у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.7  у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.8  у=(3х²-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.9  у=3cosх____________________________________________________________

3.10  у=sin2х___________________________________________________________

3.11  у=1/2 sinх-х⁵_______________________________________________________

3.12  у=5tgх____________________________________________________________

3.13  у= tg3х____________________________________________________________

3.14  у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

3.15  у=2х⁵-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________

     4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀:

4.1  у=7х³-21х²+18, при х₀=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.2  у=х³-2х²+3х-6, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.3  у=sinx+cosx, при х₀=¶⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4.4  у=х²⁄2+х, при х₀=1____________________________________________________

_________________________________________

     5.Пусть S, пройденный телом за время t, выражается формулой. Определить скорость тела V. Вычислить значение скорости при определенном значении t.

5.1  S(t)=2х³-5х²+11х-3, при t=2___________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.2  S(t)=5,5t²-8t+11, при t=2_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5.3  S(t)=t²+2, при t=10___________________________________________________

_______________________________________________________________________

     6. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х₀:

6.1 у=х⁶-4х, при х₀=1_____________________________________________________

_______________________________________________________________________

6.2  f(х)= -х⁵-2х²+2, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

6.3  f(х)=10-cosх, при х₀=3¶⁄2_______________________________________________

6.4  f(х)=2tgх, при х₀=¶⁄4___________________________________________________

_______________________________________________________________________

     7.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀:

7.1  у=-1⁄3 х²+4, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.2 у=1⁄6 х²+х-3, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.3  у=х³-6х²+5, при х₀=1_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.4  у=х-х²+3, при х₀=2___________________________________________________

_______________________________________________________________________

Критерий оценки: «3» - выполнить 16заданий

                                 «4» - выполнить 24 задания

                                 «5» - выполнить более 24 заданий