Рабочая тетрадь по теме "Прогрессии"

Пояснительная записка.

Задания работы, составленные автором согласно теории по теме «Арифметическая прогрессия» в пределах учебного материала для учащихся 9 класса, предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь выпускникам при подготовке к ЕНТ. При решении заданий этой работы необходимо уметь применять на практике формулу n-го члена арифметической прогрессии и формулу суммы первых n- первых членов арифметической прогрессии.

В самостоятельной работе представлены два варианта и ответы к ним.

ПРОГРЕССИИ

АРИФМЕКТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

• Арифметическая прогрессия является:

возрастающей последовательностью,

если d > 0 и убывающей, если d < 0.

• Возрастающая последовательность:

1; 3; 5; 7; 9; 11; …

a₁ = 1; d = 2

• Убывающая последовательность:

20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; -4; …

a₁ = 20; d = -3

• Разностью арифметической прогрессии называют число «d»

• a_n – a_n-1 = d

• (a_n): 2;4;6;8;… – арифметическая прогрессия

• a₁ = 2; a₂ = 4; => a₂ – a_2-1 = a₂ – a₁ = d = 2

1 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

8

3

33

14

5

100

4

3

33

5

-7

23

84

-4

25

2.Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₅ =7, а с₇ =13

А

Б

В

Г

2

3

-2

другой ответ

3.Сумма первого и пятого членов возрастающей прогрессии равна 14, а произведение второго ее члена на четвертый равно 45. Сколько членов прогрессии надо взять, чтобы в сумме получить 21?

2 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

5

-7

25

7

-8

50

96

-4

24

8

3

15

4

2

52

2. Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₆ =2, а с₉ =5.

А

Б

В

Г

3

1

2

-1

3.Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго члена на третий равно 21. Найдите эту прогрессию, если известно, что второй ее член – натуральное число

З А Д А Н И Е №1.

№2.

a₁ = -3

d = 2

S_n = 21

Найти n

РЕШЕНИЕ

21 = (-3 + (n-1)) × n

21 = -3n + n² + n

n² - 4n – 21 = 0

n = 2 ±

n₁ = 7 n₂ = -3

n = -3 – не подходит, т.к. n не может быть отрицательным

Ответ: 7.

З А Д А Н И Е №2.

Дано:

a₅ = 6

a₆ = 13

Найти: a₂₀

РЕШЕНИЕ

a_n = a₁ + d(n-1)

d = a_n – a_n-1 = a₆ – a₅ = 13 – 6 = 7

a₆ = a₁ + d(6-1)

13 = a₁ + 7 × 5

a₁ = -22

a₂₀ = a₁ + d(20-1)

a₂₀ = -22 + 7 × 19

a₂₀ = 104

Ответ: 104

ЗАДАНИЕ № 3

В арифметической прогрессии ( а_п ) выполняются условия:

РЕШЕНИЕ

ОТВЕТ

Вычислите сумму:

50² – 49² + 48² – 47² + 46² – 45² +…… + 4² – 3² +2² – 1²;

РЕШЕНИЕ

1) Воспользуйтесь формулой разности квадратов:

(50-49)(50+49) + (48-47)(48+47) + (46-45)(46+45) +…

…+ (4-3)(4+3) + (2-1)(2+1);

2) Выполните действия в скобках:

99 + 95 + 91 + 87 +… + 7 + 3; эти числа образуют убывающую арифметическую прогрессию a₁=99, a_n=3, n=25.

ОТВЕТ; 1275

Самостоятелтная работа

1. Какая из последовательностей является прогрессией, укажите какой, найдите разность и знаменатель.

1) 2, 5, 8, 11, 14, 17, …
2) 3, 9, 27, 81, 243, …
3) 1, 6, 11, 20, 25, …
4) – 4, – 8, – 16, – 32,

2. Выполнить задание:

а) Найти пятый член  арифметической прогрессии: а₁ = 20, d = 3
б) Найти шестой член геометрической прогрессии: b₁ = 6, q = 2
в) Можно ли указать последовательность, являющуюся одновременно геометрической и арифметической прогрессией?

3. Из данных последовательностей выберите ту, среди членов которой есть число (– 12).

1) а_n = 12_{n – 1}                                     3) а_n = – 12_{n + 1}
2) а_n = 12_n                                            4) а_n = – 12_n

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго получается из предыдущего члена умножением его на одно и тоже число «q» называют геометрической прогрессией.

• Обозначения геометрической прогрессии:

• b₁; b₂; b₃; b₄; …; b_n

• (b_n) : b₁; …

• b₁; b₂; b₃; b₄; …; b_{n –геометрическая прогрессия}

ФОРМУЛА N-ОГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Пусть b_n – геометрическая прогрессия

b_n : b₁; b₂; b₃; …

b₁ = b₁

b₂ = b₁ × q

b₃ = b₂ × q = (b₁ × q) × q = b₁ × q²

b₄ = b₃ × q = (b₁ × q²) × q = b₁ × q³

b₅ = b₄ × q = (b₁ × q³) × q = b₁ × q⁴

b_n = b_n-1 × q (рекуррентная формула)

b_n = b₁ × q^n-1

1 вариант

1. Заполните таблицу

b ₁

q

n

b _n

218

3

3

0,14

10

5

- 4

-3

4

0,56

-7

5

184

-4

5

2. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁₀ = l0, а b₁₂ = 40?

А

Б

В

Г

2

±2

4

15

2 вариант

1. Заполните таблицу

b ₁

q

n

b _n

318

-3

3

0,625

10

5

-24

-3

4

0,24

-7

5

845

-4

5

2.Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n),

если b₅ = 6, а b₈ = 48?

А

Б

В

Г

±2

8

2

4

ПРИМЕР № 1.

Дано:

b₇ = 8

b₆ = 2

Найти: q.

q = b₇/ b₆

q =8/2

q = 4

Ответ: 4.

ПРИМЕР № 2

Дано:

b₁ = 7

b₂ = 14

q = 2

Найти: S_n.

РЕШЕНИЕ

S₆ = 441

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти разность возрастающей арифметической прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 7, а их произведение 10.

Ответ: 1

2. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти большее из этих чисел.

Ответ: 24

3. Три положительных числа, составляющих арифметическую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответственно 1; 4; и 19, то получатся три числа, составляющих геометрическую прогрессию. Найти произведение данных чисел.

Ответ: 80

4. Найти наименьшее из четырех положительных чисел, если первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три - геометрическую; сумма первых трех чисел равна 12, а последних трёх 19.

Ответ: 2

5. Три целых числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них третий член уменьшить на 64, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Если затем второй член этой арифметической прогрессии уменьшить на 8, то получится геометрическая прогрессия. Определить эти числа, в ответе указать наибольшее.

1 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

8

3

33

14

5

100

4

3

33

5

-7

23

84

-4

25

2.Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₅ =7, а с₇ =13

А

Б

В

Г

2

3

-2

другой ответ

3.Сумма первого и пятого членов возрастающей прогрессии равна 14, а произведение второго ее члена на четвертый равно 45. Сколько членов прогрессии надо взять, чтобы в сумме получить 21?

2 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

5

-7

25

7

-8

50

96

-4

24

8

3

15

4

2

52

2. Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₆ =2, а с₉ =5.

А

Б

В

Г

3

1

2

-1

3.Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго члена на третий равно 21. Найдите эту прогрессию, если известно, что второй ее член – натуральное число.

Ответы к самостоятельной работе «Арифметическая прогрессия»

1 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

8

3

33

104

1848

14

5

100

509

26150

4

3

33

100

1716

5

-7

23

-149

-1656

84

-4

25

-12

900

2.Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₅ =7, а с₇ =13

А

Б

В

Г

2

3

-2

другой ответ

3.Ответ :10.

2 вариант

1. Заполните таблицу

a ₁

d

n

a _n

S _n

5

-7

25

-163

-1975

7

-8

50

-385

-9450

96

-4

24

4

1200

8

3

15

50

435

4

2

52

106

2860

2. Найдите разность арифметической прогрессии (с_n), если с₆ =2, а с₉ =5.

А

Б

В

Г

3

1

2

-1

3.Ответ:а₁=3, d =4