Рабочая тетрадь по теме "Уравнения и неравенства. Задачи с параметрами" (11 класс)

Рабочая тетрадь

По теме

«Решение уравнений и неравенств. Задачи с параметрами»

Пояснительная записка

Назначение данной тетради - помочь обучающему в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математике.

Задачи с параметрами традиционно представляют для обучающихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение  таких задач открывает перед ними большое число эвристических приемов общего характера, применяемых  в исследованиях на любом математическом материале.

К задачам с параметрами,  можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений и  неравенств в общем, виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Главной методической особенностью тетради является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В тетради задачи сформированы по основным темам алгебры :

- решение линейных уравнений;

- решение линейных неравенств;

- решение квадратных уравнений;

- решение квадратных неравенств;

- решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач.

        В завершении каждой темы даны тесты для итогового контроля уровня знаний.

Обучающиеся должны:

Знать	Уметь
Понятия:  -параметр в уравнениях и неравенствах; -линейное уравнение, неравенство; - квадратное уравнение , неравенство; “числовая окружность”, единичная окружность, длина дуги окружности. Координата точки на числовой окружности, четверти окружности.	- решать линейные уравнения и неравенства с параметрами; - решать квадратные уравнения и неравенства с параметром; - решать системы уравнений, неравенств с параметрами.

Тетрадь поможет обучающимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки и самопроверки уровня знаний и навыков решения задач с параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/2009 с.60-68

1.                  Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 2009 г. – 382 с.

2.                  Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/2009 с.9-12

3.                  Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 2010 – 48 с.

4.                  Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2011 с.60-62

I. Решение линейных уравнений с параметрами

Определение. Уравнение вида  kx=b , где  х – переменная , k и   b  -

некоторые числа, называется  линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм  решения уравнения k(a)x =b(a)

 

Условие для поиска значений параметра «а»	Характеристика множества корней
k(a) – не имеет смысла b(a) – не имеет смысла	Нет корней
1.	Один корень   х =
1.	х– любое из R

1. Решите уравнение    ax =1.

Решение: если    а = 0 , то нет решений

                 если    а ¹ 0 , то х =               

Ответ: если    а ¹ 0 , то х =               

            если    а = 0 , то нет решения        

2. Проанализируйте решение уравнения (а – 2) х = 3.

Решение:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________________

3. При каких значениях  а, уравнение  не имеет решений?

Решение :  х ¹ -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет

                     решение если а = -2

Ответ: при а = -2 нет решений

4. При каких значениях a, уравнение     имеет решение?    

 Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а ¹-2, х = 2 .

5. Решите уравнение:  

Обоснуйте решение ___________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Решите уравнение :  

Решение:  При х ¹ 2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х –2, откуда

        х = а + 5 . Найдем значение а, при котором  х =2,  2 =а + 5, а = -3.

Ответ:   при а ¹-3 , х = а + 5   

              при  а = -3    нет корней.     

7. Для каждого значения а решите уравнение: ах – 2х + а = 0 

Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а ¹2 , х =

            при  а=2    решений нет .                                               

8. Найдете значения а , при  каждом  из которых уравнение а(3х-а) =6х – 4 имеет положительный корень.

Решение: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:  при а Î (0;+¥)

9. При каких  значениях  параметра  а  среди   корней   уравнения                        

      2ах – 4х –а² + 4а - 4  = 0 есть корни больше  1.

Решение: 2ах – 4х – а² + 4а - 4  = 0

      2(а-2) х = а² –4а +4

                2(а-2) х = (а-2)²

                При а = 2, 0 х = 0  решением будет любое число, в том числе и большее  1.

                 При а ¹ 2  х = , по условию  х> 1, то  > 1, а>4 .

Ответ : при а Î{2}  È (4 ; + ¥  ) .

 10. При каких значениях а среди корней уравнения   х – ах + а² – 1=0  есть корни больше  1?

Решение:_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а Î (0 ; + ¥) .

 11. Решите уравнение  

Решение:   если  а =2, то  ____________________________________________

                   если  а = -3, то ____________________________________________

                   если  а= -2 ,то  ____________________________________________

                   если  а ¹2 , а ¹-2 , а ¹-3 , то  х = _____________________________

Ответ:  ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12. Решите   уравнение  (а²-1) х = а +1 .

Решение:  ____________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:   если а =1, то решений нет

              если  а = -1, то  х – любое число .

              если  а ¹ 1, а ¹ - 1, то х = 

13. Решите   уравнение  | х –2 |  + | х+а | = 0

Решение:  т. к. каждое  слагаемое не отрицательно, то решение этого

        уравнения  равносильно решению системы

            

Ответ:    если а ¹ - 2 нет решений

               если а = -2, то х =2 .    

14.   При каких значениях  а, уравнение |х+2| +|а(х-1)| = 0  имеет решение?

Обоснуйте решение:  __________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:  если  а = 0, то х = -2 .

15. Обоснуйте и  найдите значения  а, при которых уравнение

 (х- a +1)² – (х + a - 1) ² = 2х + 6  имеет отрицательный корень.

Решение:   ___________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ : при а >

Тест 1

1. Решите уравнение  mx + 2   = - 1  относительно  х .

А. x = - , при m ¹ 0  

Б. 1) при m = 0 корней нет;

    2) при m ¹ 0             x =                           

В. 1) при m = 0  корней нет

     2) при m ¹ 0               x = - .

 2.    Решите уравнение k(х – 4 ) +  2(х + 1) = 1 относительно  х .

А.1) при k = -2  корней нет;

    2) при k  ¹ -2            х =

Б.1) при k = - 2 корней нет

    2) при k =          x = 0

В.1) при   k  = 0 корней нет.

   2) при k ¹ 0  х =  

   3) при  k ¹ -2 , k ¹          х =

3. Решите уравнение    2а (а-2)х = а²-5а+6  относительно х .

А. 1) при а =2          х  Î R

2) при а =0 корней нет

3) при а ¹ 0 и а ¹ -2, х =

Б. 1) при а =2     х Î R

    2) при а =0 корней нет

    3) при а¹0 и а ¹ 2, х =

В. 1) при а=2   х Î R

2) при  а =0  корней нет    

3) при а =3  х =3

4)  при а ¹2, а ¹ 0, а¹ 3      х =  

4. При каких значениях     b   уравнение 1+2х –bх=4+х  имеет отрицательное решение?

А.При  b  < 1     Б.  При b > 1              В. При  b < -2 

II.Решение линейных неравенств с параметром

Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a)

Условия для значений параметра а .	Характеристика множества решений.
1.	Нет решений
2.	x>
3.	x>
4.	x - любое из R.

1 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.

Решение: (а-4) х>5-a.       

           если а>4,то х >

          если а<4, то х<

          если   то х – любое из R .

          если      , то нет решений .

2.Обоснуйте при каких значениях а неравенство (а²-а-6)х > не имеет решений?

Решение:_____________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________          

Ответ: при а  Î [  -2;2) È{3}

3.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.

Решение:    если а=0,то 0х +1>0,  0x>-1 при любом х.                                                      

              если а>0, то х>-

              если a<0, то х<-   

Ответ:    при а=0 , х любое

               при а>0, х>-

               при a<0, то х<-

4.                  Решите неравенство а-а²х <-2.

Решение: если а=0, то _______________________________________________

              ___________________________________________________________

               если а ¹ 0, то _______________________________________________

              ___________________________________________________________

Ответ: при а=0 , нет решений.

            при а¹0, х >

5.Решите неравенство 4ах –5х +3>2ах+3х+11

Решение: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а>4 , x>

            при а<4, x<

            при а=4, решений нет.  

6.Решите неравенство |х+3| >-а²

Решение: если а=0, то |х+3|>0, значит х>-3 или х<-3

      если а ¹0, то при любом х левая часть больше правой части.

Ответ: при а =0, х>-3 или х<-3.

            при а¹0,  х –любое.

7.Решите неравенство а(х-1)+4х-9>.

Решение: 1. если а>2 , то неравенство равносильно (а²+2а-15)х> а²+7а+10.

                при а=3 ,то ________________________________________________

                при а Î (2;3),то ____________________________________________

               ___________________________________________________________

               при а>3 ,то _________________________________________________

               ___________________________________________________________

2.      если а< 2, то неравенство равносильно (а²+2а-15)х < а²+7а+10.

    при а=-5 ,то_________________________________________________

    при а< -5, то ________________________________________________

    ___________________________________________________________

    при аÎ(-5;2), то _____________________________________________

    ___________________________________________________________

Тест 2

1.При каких значениях a неравенство ax – a² +9 >0 не имеет решений?

А. a=0                        Б.                 В.

2. При каких значениях b неравенство  выполнимо при любом значении x?

А. b=2,                       Б. b<2             В. b³2,

     b=-2.                                                             b-2.

3. При каких значениях а неравенство ax-2x+a>0 справедливо при любом x?

А. a>2            Б.                     В.

4. При каких значениях а неравенство 4ax –5x+3>2ax+3x+11 не имеет решения?

А. a>4            Б. a<4             В.a=4

Решения и ответы

I.                    Решение линейных уравнений.

№2      (a-2)x =3, если a=2, то нет решений, если a¹2, то x=.

№4      , , следовательно, при a¹-2 x=2.

№5       , если a=2, то нет решений

                                          если a¹2, то x = a.

№7      ax –2x +a = 0, (a-2)x =-a, , если a=2, то нет решений

                                                                               если a¹2, то .

№8      a(3x-a) = 6x-4

3ax –a² = 6x-4

(3a-6)x = a² –4

 при , то .

№10    x – ax + a ² –1 =0

            (1-a)x=1- a ²

            если a=1, то 0x=0, x – любое, в том числе и больше 1;

            если a¹1, то x=1+ a, по условию x>1, то a+1>1, т.е. a>0

            при есть корни больше 1.

№11    если a=2, то 0x=0, x – любое

            если a=-3, то x=0

            если a=-2, то 0x=0, x – любое

            если a¹2, a¹-2, a¹-3, то x= a+3

№12    (a² –1)x = a + 1

            (a-1)(a+1)x = a +1

            если a=-1, то 0x=0, x – любое

если a=1, то 0x=2  – нет решения

если a¹-1, a¹1, то x=.

№14    уравнение  

решение равносильно решению системы , значит,

при a=0, то x=-2

№15   

            2x –2bx - 2bx + 2x = 2x+6

            x-2bx=3

            , т.к. x<0, то ,

при , x<0

ТЕСТ №1

Номер задания	1	2	3	4
Код верного ответа	В	А	Б	Б

II.Решение линейных неравенств с параметрами.

№2      1), т.е. при   нет решений

            2) 

            при  неравенство не имеет решений

№4      если a=0, то нет решений

            если a¹0, то

№5      равносильно

            , если , нет решений

                             если , то

                               если , то

№8      1) если , то

                                       

            при  нет решений

            при  

            при  

            2) если , то

                                       

            при  

            при

ТЕСТ №2

Номер задания	1	2	3	4
Код верного ответа	Б	А	Б	В