Работа в математической программе ГеоГебра, алгебраические и геометрические построения

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города

 Набережные Челны

«Средняя общеобразовательная школа №40 с углубленным изучением отдельных предметов»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ: МАТЕМАТИКА

Тема: Компьютерная программа по математике «GeoGebra»

Выполнили: Хазиев Риман, Галиев Тимур

МАОУ «СОШ №40c углубленным изучением  отдельных предметов»

8Дкласс

г.Набережные Челны

Научный руководитель:

Садыкова.Ф.М., учитель математики

Набережные Челны

2016год

Оглавление

1. Введение

2. Теоретический раздел

2.1. О программе ГеоГебра

2.2. Интерфейс программы ГеоГебра

3. Экспериментальная часть

3.1.а) Построение графика функции

3.1.б) Использование ползунков при построении графиков функций

3.1.в) Графики функций, содержащих знаки модуля

3.1.г) Графики сложных функций

3.2.а) Геометрические построения, точка, прямая, луч, параллельные прямые, серединный перпендикуляр к прямой, касательная прямая к окружности, многоугольники, биссектриса угла, описанная окружность около многоугольника

3.2.б) Построение угла заданной величины

3.2.в) Построения в полотне 3D: Призма

Пирамида, Сечения призмы и пирамиды плоскостью, конус и его сечение плоскостью

4. Заключение

5. Список литературы

1.Введение

Компьютерные технологии завоевывают все больше доверия и симпатии школьников и учителей математики. С целью определить самую простую и удобную математическую программу мы перепробовали многие приложения Advanced Grapher, FNGraph Живая геометрия, Живая алгебра, Дрофа и др. В ходе дальнейших поисков мы случайно наткнулись на математическую программу «GeoGebra», оказалось, что эта программа заменяет все перечисленные программы, является самой популярной в мире математической программой. Мы сами удивились простоте и доступности этой программы, в этой программе, как в других программах, не надо мучиться при наборе формул функций, при построении геометрических фигур и.т.д.

Мы начали оставаться после уроков и начали исследовать возможности этой программы, вначале создавали разные рисунки, цветы, раскрашивали т.е. просто играли. Ну а дальше начали строить графики, геометрические фигуры придумывать способы применения этой программы на уроках математики

Эта программа создана в 2012 году и очень бурно развивается.  Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java, а значит работает на большом числе операционных систем. Переведена на 39 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Переведена на русский язык в 2013 году.

Пожалуй, у программы нет одного определенного предназначения. Мы так поняли, что - это пакет инструментов «на все случаи жизни».

При работе с этой программой в результате компьютерного моделирования многие математические понятия и теоремы становятся для учащихся «видимыми» и «осязаемыми».

3

2. Теоретический раздел

2.1. О программе Гео Гебра

GeoGebra  позволяет  визуализировать математику, проводить эксперименты и исследования при решении математических задач не только геометрического характера. Geogebra  позволяет создавать на экране компьютера чертежи, которые можно использовать на разных стадиях изучения учебного материала, от живых плакатов до исследовательских чертежей. Особенно поучителен сам процесс создания соответствующего рисунка.

С помощью обучающей программы по математике, можно будет выполнить множество полезных вещей: анализировать функции, строить графики, решать задачи, работать с функциями и т.д.

Главной целью нашей работы является исследование возможностей программы GeoGebra в школьном курсе математики.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков. Программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа GeoGebra обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т.д.

В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.У программы богатые возможности работы с функциями за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями)   

 Создание треугольника в GeoGebra

1.     Давайте попробуем начертить треугольник в программе GeoGebra. Для этого нужно будет перейти в «геометрический» режим для того, чтобы включить отображение сетки, и отключить отображение оси координат.

2.     Кликнем правой кнопкой мыши по оси координат, в контекстном меню выберем пункт «Сетка»

Кликнем правой кнопкой мыши по оси координат, в контекстном меню выберем пункт «Сетка», а затем там кликнем по пункту «Оси» для отключения оси координат. На панели инструментов нажмем на кнопку «Многоугольник».

После этого нарисуем треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, можно ввести точные координаты. Для этого нам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

2.2. Интерфейс

Интерфейс программы довольно прост и напоминает графический редактор.

1. Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

2. Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3. Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4. Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5. Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra.Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от

строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6. Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

5

3. Экспериментальный раздел

3.1. а) Построение графика функции

Попробуем построить график функции. Для построения параболы в строке «Ввод» нужно ввести выражение «x^2»: (x shift 6 2)

Символ «^» в программе GeoGebra  обозначает возведение в степень.

Далее нажмем на кнопку «Enter». После этого в рабочей части будет построен график. Рисунок можно будет  масштабировать. Для перемещения рабочей области нужно будет нажать клавишу «Shift», одновременно удерживая нажатой левую кнопку мыши.

Также можно перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

б) Использование ползунков при построении графиков функций

Также в Геогебре существуют ползунки, с помощью которых можно визуально показать, как влияет на функцию и на ее график изменение параметра b в функции y=ax+b.
Осуществляется это следующим образом:
1.В строку ввода вводим значения a и b(a=2, b=-2)
2.Затем в строку ввода записываем функцию y=ax+b.
3.Затем в панели объектов нажимаем на синие кружки перед числами а и b.

4.Появляются ползунки, а и в, значения которых можно менять
5.Таким же способом можно работать с функциями y=ax^2+bx+c и т д

Анимация: сделаем на примере функции у= ax^2+bx+c или же ax+b
1. Для начала создадим функцию ax^2+bx+c или же ax+b
2. Щелкнем правой кнопкой мыши по ползунку и выберем «Анимировать».
3. Для того чтобы изменить настройки анимации зайдем в свойства ползунка а потом в вкладку «Ползунок».
4.Здесь можно изменить Шаг, Скорость, Мин. и Макс. значения, Повтор.

в) Графики функций, содержащих знаки модуля

1.   Построим график функции :В строке «Ввод» введем выражение «2x^2+abs(x)-3»: и нажмем клавишу «Enter»: (abs обозначает модуль выражения)

7

2. Таким же образом построим:

график функции :    abs(2x^2+abs(x)-3)

8

в) Графики сложных функций

1).График функции

2) График функции

9

3). график функции

4) график функции

6. график функции

3.2. Геометрические построения

А)Точка:
1. Выберем инструмент «Поставить точку».
2. Щелкнем левой кнопкой мыши там, где хотим поставить точку.

Отрезок:
1.В инструменте «Прямая» нажмм на белый треугольник.
2. Из списка выберем «Отрезок».
3. Поставим 2 точки -вершины отрезка.

Луч:
1. В инструменте «Прямая» щелкнем по белый треугольнику.
2. Из списка выберем «Луч».
3. На полотне выберем две точки 2 точки: первая - начало луча, вторая - точка, через которую будет проведён луч.
Прямая:
1.Выберем инструмент «Прямая».

2.Укажем 2 точки, через которые пройдёт прямая.
Перпендикуляр:
1.Выберем инструмент «Перпендикуляр».
2.Выберем прямую, луч или отрезок, к которому хотим провести перпендикуляр.
3.Выберем точку, через которую он пройдёт (точка может лежать на этой прямой/луче/отрезке).
Параллельная прямая к данной прямой:
1.В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2.Из всплывающего списка выберем «Параллельная прямая».
3.Выберем прямую, луч или отрезок, к которому будет проведена параллельная прямая.
4.Выберем точку, через которую она пройдёт.
Серединный перпендикуляр к отрезку:
1.В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2.Из всплывшего списка выберем «Серединный перпендикуляр».
3.Выберем отрезок или 2 точки, обозначающие отрезок, через который будет проведён серединный перпендикуляр.
Касательная прямая к окружности:
1.В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2.В всплывшем списке выберем «Касательная».
3.Выберем окружность, к которой будет проведена касательная.
4.Выберем точку через которую будет проведена касательная. Проводятся 2 касательные. Если необходима только 1 касательная, то можно скрыть одну из них, щелкнув правой кнопкой мыши по касательной и убрав галочку перед «Показывать объект»

Многоугольник:
1.Выберем инструмент «Многоугольник».
2.Выберем несколько точек, обозначающих вершины, заканчивая первой точкой.
Правильный многоугольник:
1.В инструменте «Многоугольник» щелкнем по белому треугольнику.
2.Из всплывшего списка выберем «Правильный многоугольник»
3.Выберем или поставим 2 точки.
4. Из всплывшего окна выберем, сколько вершин будет у правильного многоугольника.

Точки пересечения диагоналей многоугольника:
1.Для проведения диагоналей воспользуемся инструментом «Отрезок».
2.После проведения двух (или более) нужных нам диагоналей в инструменте «Точка» нажмем на белый треугольник.
3.Из всплывшего списка выберем «Пересечение».
4.Выберем 2 пересекающиеся диагонали.
Биссектриса угла:
1.В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2.Из всплывшего списке выберем «Биссектриса».
3.Укажем 3 точки или 2 прямые, образующие угол.
Точки по координатам:
1.Нажмем на строку ввода.
2.Напишем название точки и её координаты(например A=(1,1) )

Описанная окружность около правильного многоугольника:
1. Проведем в правильном многоугольнике 2 серединных перпендикуляра.
2. Выберем инструмент «Окружность» по центру и точке.
3. Нажмем на точку пересечения серединных перпендикуляров
4. Нажмем на любую вершину данного многоугольника.

б) Попробуем построить угол заданной величины от заданной прямой:

1. Построим прямую а. Выберем инструмент «Прямая». С помощью этого инструмента отметим на плоскости две точки.

2. Построим угол. Для этого выберем инструмент «Угол заданной величины» и отметим две точки, через которые проходит прямая. Появится окно, в которое нужно вписать величину угла (в нашем случае это 60º)

.

Затем нужно нажать клавишу «Enter»

Получим третью точку. Проведем через вершину угла и новую точку прямую с помощь. инструмента «Прямая»

в) Построения в полотне 3D
Для перехода в 3D полотно нужно выбрать сверху «Вид» и в всплывающем списке нажать на «3D полотно».
Призма:
1. В инструменте «Пирамида» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывшего списка выберем «Призма».
3. Выберем многоугольник (или вершины), который будет в основании призмы.
4. Выберем точку, которая будет соответствовать первой точке на основании.
5. Если необходимо приподнять или опустить верхнюю грань призмы, то, щелкнув левой кнопкой мыши по синей точке на этой грани, можно перейти в режим  перемещения точки верх и вниз.
6.Для построения правильной призмы необходимо заранее подготовить на 2D полотне правильный многоугольник.

Пирамида:
1. Выберем инструмент «Пирамида».
2. Выберем многоугольник (или вершины), который будет в основании пирамиды.
3. Выберем точку, которая будет вершиной пирамиды.
4. Для построения не наклонной пирамиды:
1) В основании должен быть прямоугольник или правильный многоугольник
2)Через точку пересечения диагоналей проведите перпендикулярную прямую к данной плоскости.
3)На проведённой прямой отметьте точку.
4)Используйте данную точку в качестве вершины пирамиды
Сечения призмы и пирамиды плоскостью:
1. Для построения сечения любого многогранника плоскостью- необходима плоскость (Через 3точки не лежащие на одной прямой, через 2 пересекающие прямые, через 2 параллельные прямые, через прямую и не лежащую на ней точку).
2. Для проведения данной плоскости воспользуемся различными функциями в инструменте «Плоскость через 3 точки» итд. Чтобы понять, как провести плоскость с помощью той или иной функции выберем ее и наведем на ее обозначение.
3. После добавления плоскости выберем инструмент «Кривая пересечения».
4. Выберем плоскость, которая образует сечение, затем в «Панели объектов» нажмем на призму или же пирамиду.
5. Для того, чтобы лучше увидеть сечение щелкнем правой кнопкой мыши по плоскости, которую мы провели, и выберем режим 2D на эту плоскость.
6. В 2D режиме мы увидим сечение. Щелкнув правой кнопкой мыши по сечению выберем «Свойства-Цвет» (сверху) затем выберем яркий цвет (красный, зелёный) и ползунок заливки передвинем на 100%.
7. Теперь скроем плоскость.

Конус и его сечения:
1. В инструменте «Пирамида» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывающего списка выберем «Конус».
3. Выберем две точки: первая - центр основания, вторая - вершина
4. Впишем радиус конуса в всплывшем окне (радиусом может быть отрезок, например, отрезок AB где, А - центр основания).
5. Для удобства вторую точку (вершину) поставим на перпендикулярной прямой к плоскости через центр основания.
6. Для построения сечения нужно провести плоскость, образующую сечение.
7. Проведем сечение с помощью инструмента «Кривая сечения». Дальнейшая работа с сечением уже рассмотрена выше.

г) Построения чертежей к задачам учебников 8 и 11 классов

№140 (по учебнику Геометрия 8 класс,

Площади двух треугольников с общим основанием равны S1 и S2, где S1≠S2.Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах их боковых сторон.

№266. (По учебнику Геометрия 11 класс, Л.С.Атанасян) Основание пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

1.Для начала постоим на Полотне прямоугольник:
1)Проведём прямую по 2 точкам. 
2)Проведём перпендикулярные прямые через обе точки.
3)Проведём параллельную прямую к первой через любую точку на любом из перпендикуляров.
4)Проведём многоугольник через эти 4 точки.
5)Проведем диагонали, отметем точку пересечения.
2.Затем перейдём в 3D полотно.
3.Используя инструмент Перпендикулярная линия:
1)Отметем плоскость.
2)Отметем точку пересечения диагоналей.
4.На проведённой линии поставим точку.
5.Построим пирамиду, используя последнюю точку в качестве вершины.
6.Проведем параллельную прямую к боковой стороне прямую, проходящую через точку пересечения диагоналей.
7. Поставим точку пересечения данной прямой с боковой стороной, через которую она прошла.
8.Построим сечение:
1)Плоскость по 3 точкам: концы диагонали, не прилегающей к боковой стороне, к которой была проведена Параллельная прямая.
2)Кривая сечения.
3)Перекраска сечения в яркий цвет.

№87 (По учебнику Геометрия 11 класс, Л.С.Атанасян)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K соответственно на ребрах:

а) BB1, AA1, AD; б) СС1б AD, BB1.

4. Заключение

Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.  

Использование программы GeoGebra на уроках позволяет: - оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока;  - осуществлять дифференцированный подход в обучении; - проводить индивидуальную работу, используя персональные компьютеры; - снизить эмоциональное напряжение на уроке, внося в него элемент игры, - расширять кругозор учащихся; - способствует развитию познавательной активности учащихся. 

   Прогнозируемые эффекты от применения данной технологии: - возможно повышение интереса к изучаемому предмету у слабо успевающих учащихся; - повышение уровня самооценки; - развитие навыка самоконтроля; - побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.

Мы думаем, что после этой конференции, каждый учитель математики и наши учащиеся нашей школы попробуют включить в свой арсенал приложение            " GeoGebra ".

Литература

1.  https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

2.  http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

3.  http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html

4. Геометрия 8кл

5. Геометрия 10-11 кл (Л.С. Атанасян, Москва 2013г. Просвещение)

6. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

7. http://www.uchportal.ru/kompyuternaya-programma-po-matematike-deliteli-naturalnogo-chisla

8. hhttp://soft.mydiv.net/win/download-GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf