Решение задач по геометрии ( ГИА, конус)

№21. Расстояние от центра основания конуса до образующей равно  см. Угол при вершине осевого сечения равен . Найдите площадь осевого сечения конуса. (Вариант – 4)

                                                                                    

 Пусть дан конус с осью SO.  ∆SAB  – осевое сечение.   OM⊥SA.  OM = 3 см.  ASB = 120˚.

∆SAB – равнобедренный с основанием  AB (SA = SB как образующие).             SO – высота, является биссектрисой ASB. Значит, ASO = ASB = 60˚.

Рассмотрим  ∆SOM. У него SMO = 90˚, SO = 60˚, OM = 3 см.   SO =

SO =  =  :  =  = 2 (см).

Рассмотрим  ∆SOA. У него SOA = 90˚ (SO  -  перпендикуляр к плоскости основания,  OA лежит в плоскости основания, значит SO ⊥ OA), ASO = 60˚, SO = 2 (см).         

 OA = SO · tg ASO.

OA = 2 · tg 60˚= 2 ·  = 6 (см).      AB =2 · OA = 2 · 6 = 12 (см).

S_сеч =  · AB · SO ;                         S_сеч =  · 12 ·  2 = 12 (см²).

Ответ:      S_сеч = 12  см².

Ключевые моменты:

1.   ASO = 60˚.

2.   SMO = 90˚.

3.   SOA = 90˚.

№21. Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно  см. Угол между образующей и плоскостью основания равен . Найдите площадь осевого сечения конуса. (Bариант – 3)

Пусть дан конус с осью SO.  ∆SAB – осевое сечение.  M – середина SA.            OM = 6 см.

SO – перпендикуляр к плоскости основания, SA – наклонная, OA –проекция наклонной, значит, SAO – угол между образующей SA и плоскостью основания.  SAO = 60˚.

Рассмотрим ∆SOA. У него SOA = 90˚ (SO – перпендикуляр к плоскости основания,  OA лежит в плоскости основания, значит SO ⊥ OA). M – середина гипотенузы                        = 2 ·  = 2 · 6 = 12 (см).

∆SBA – равнобедренный с острым углом 60˚. Значит, он равносторонний.

S_сеч =  

S_сеч =   

S_сеч  = 36 (см²).

Ответ:      S_сеч = 36  см².

Ключевые моменты:

1.   SAO = 60˚ (угол между образующей SA и плоскостью основания)

2.   SOA = 90˚

3.    

4.     ∆ SBA – равносторонний