Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Тема: Расстояние от точки до прямой в пространстве

Цель урока: сформулировать у учеников умение строить и находить расстояние от точки до прямой.

Тип урока: усовершенствование умения и навыков.

                                                       Ход урока

  1.  Организационный этап

  2.  Проверка домашнего задания.

Актуализация опорных знаний.

Решение задач домашнего задания комментируется учениками с места. Потом проводится самостоятельная работа в тестовой форме по типу геометрические конструкции в задачах на нахождение расстояния от точки до прямой, что лежит в данной площади.

    Самостоятельная работа

                                                    Вариант 1

1. Дан равносторонний треугольник ABC (рис.1), AB перпендикулярна (ABC), точки D и K- середина AC и  BC соответственно.  Определить  p(S;AC).

      А. SD                    Б. SC                 В. SC                 Г. SK

2, Дан прямоугольный треугольник ABC(угол C=90 градусов) (рис.2), SB перпендикулярно (АВС), точка D - середина АС. Определить р(S;AC).

     А. SB                       Б.  SA                       В. SC                        Г. SD

3. Дан квадрат ABCD (рис. 3), SC перпендикулярно (ABC). Определить р(S;AD).

     А. SB                             Б. SA                              В. SC                             Г. SD

                          S                                                              S                                                           S

A

                                                                                          B

 A                                 B                                                                             B                                 C

                                                                     D  .

            D  .         .K

                                                                                 C                             A                                 D

                        C

 

                 рис.1                                                   рис.2                                             рис.3

4. Дано прямоугольник ABCD (рис.4), BS перпендикулярна (АВС), точка К -середина DC. Определить р(S;DC).

    A. SD                   Б. SA                   В. SK                                      Г. SC

5. Дан ромб  ABCD (рис.5), точка К- середина DC, ON перпендикулярно DC, SO перпендикулярно (ABC), O — точка пересечения диагоналей. Определить р(S;DC)

   A. SK                Б. SN                        В. SD                                    Г. SC

6. Дан параллелограмм  ABCD (рис.6), SC перпендикулярно (ABC), BN перпендикулярно DC; точка М - середина DC. Определить р(S;DC).

  А. SC                      Б.SN                             В.SM                                             Г.SD

        S

	S

 

B

S

       B                              C

									C

 

K

A

D

.

                                 K                                                                              .

A

D

Рис.4

.

Рис.5

Рис.6

 

                                                           Вариант 2

1. Дан равносторонний треугольник ABC (рис.7), SO перпендикулярно (ABC), точки M и N — середины AC и BC соответственно. Определить p(S;AC).

А. SM                                     Б. SC                          В.  SA                                   Г. SB              `

2. Дан прямоугольный треугольник (АВС) (угол С=90 градусов) (рис. 8), SC перпендикулярно (АВС), CD перпендикулярно AB. Определить p(S;AB)

   А. SD                    Б. SC                           В. SA                     Г. SB

3. Дан квадрат ABDC (рис. 9), CD перпендикулярно (АВС). Определить p(S;AB).

   А. SB                           Б. SA                 В. SD                       Г. SC

									S
	S
							B

 

C

D

A

C

B

D

A

B

N

C

M

A

O

                   `

                   рис. 7                                          рис. 8                                                                  рис. 9

4. Дан прямоугольник ABCD (рис. 10), BS перпендикулярно (АВС), точка К-середина AD. Определить p(S;AD).

      А. SA            Б. SD                        В. SC                                  Г.SK

5. Дан ромб ABCD  (рис.11), SC перпендикулярно (ABC), О-точка пересечения диагоналей. Определить р(S;BD)

  А. SD                        Б. SB                     В. SO                    Г. SC

6. Дан параллелограмм ABCD (рис.12), SB перпендикулярно (ABC), ВК перпендикулярно AD; точка М - середина AD. Определить p(S;AD).

     А. SA                   Б. SK                  В. SM                          Г. SD

С

D

D

 

Рис. 12

   рис. 10                                    рис. 11

                         Решение

Вариант 1.  1.А.  2.В.  3.В.  4.Г.  5.Б.  6.Б.

Вариант 2.  1.А.  2.А.  3.А.  4.А.  5.В.  6.Б

3. Формирование темы, цели и задания урока. Мотивация учебной деятельности.

4. Усовершенствование умений

      Письменные упражнения.

1. В треугольнике АВС угол В=90 градусов, отрезок МС-перпендикуляр к площади данного треугольника. Определить расстояние от точки М к прямой АВ, если АС=17 см, АВ=15 см МС=6 см.

2. Точка D - середина стороны АВ треугольника АВС, MD перпендикулярно (АВС), МЕ - перпендикуляр, проведенный из точки М к стороне ВС, DE параллельно АС. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, определить его прямой угол.

3. В треугольнике АВС, угол В= 90 градусов, ВС=15 см, АС=25 см. Через середину катета АС проведен перпендикуляр к площади данного треугольника длиной 8 см. Определите расстояние от вершины этого перпендикуляра к стороне АС и ВС.

                                                   Решение

Проведем к стороне АС перпендикуляр OD, SO перпендикулярно (АВС), поэтому DO - проекция SD на площадь треугольника, SD перпендикулярно АС по теореме  про три перпендикуляра (рис. 13)

        Значит, SD - расстояние от точки S к стороне АС. ОВ   ВС, тогда SB перпендикулярно BC по теореме про три перпендикуляра и SB является расстоянием от точки S к стороне BC. Из треугольника АВС (угол В=90 градусов) имеем; АВ=25 в квадрате минус 15 в квадрате=20 и всё это в корне (см). Поскольку SO перпендикулярно (ABC), то SO перпендикулярно ОВ и SO перпендикулярно OD. Из треугольника SOD (угол О=90 градусов) имеем SD=SO в квадрате+OD в квадрате и всё это в корне. Треугольник АВС и ADO прямоугольны, угол А общий, поэтому  угол АВС подобно угол ADO; DO делить на BD= АО делить на АС; DO= DC умножить на АО и разделить на АС=15 умножить на 10 и разделить на 25 см. SD= 64+36=10 (см)

   Ответ: 10 cм; 2 в корне 41 см.

4.Стороны треугольника ровняются 17, 15 и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ, перпендикулярную к его площади. Определить расстояние от точки М к прямой, какая имеет меньшую сторону треугольника, если А=20 см.

																															17
																									B
	А
																							B
																																				15
																													8
																			15
						D
										25
															C

 

                                рис. 13                                                                                                     рис. 14

D

C

L

N

В

8

.

М

К

5. Точка М размещается на середине боковой стороне равнобедренной трапеции АВСD.  От данной точки до площади трапеции проведен перпендикуляр МК  длиной 8 см. Определить расстояние  от точки К к диагонали АС, если АВ=ВС=24 см, угол АВС=120 градусов..

                                 рис. 15

5. Подведения итогов урока.

Учитель еще раз обращает внимание учеников на основные моменты теории, которые используются при решении задач.

6.Домашнее задание.

                Решить задачи:

1.Отрезок МА-перпендикуляр к площади треугольника АВС. Отрезок MD - расстояние от точки М к стороне ВС, причем точка С лежит на отрезке BD. Доказать, что треугоьник АВС тупоугольный, назвать его тупой угол.

2. В прямоугольному треугольнике АВС больший катет равняется 6 см, угол А=30 градусам. С вершины острого угла В к площади треугольника проведен перпендикуляр ВК, который равняется 2 корня из 6 см. Определить расстояние от точки К к катету АС.

3. Сторона ромба равняется 6 см, а один из его углов составляет 120 градусов. С точки, которая делит одну из сторон ромба в соотношении 2:1, начиная от вершины тупого угла, проведен перпендикуляр длиной 4 см к площади ромба. Определить расстояние от другого конца перпендикуляра к большей диагонали ромба.