Разработка урока по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУИ ВО «Московский государственный гуманитарно-экономический университет»

Калмыцкий филиал

Очирова Т.Л., преподаватель математики

Тема урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Цели занятия:

Образовательная:

- дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; показать связь между параллельностью и перпендикулярностью прямой и плоскости; формировать у студентов навыки применения полученных знаний при решении задач;

Развивающая:

-развивать умение систематизировать,  анализировать; сопоставлять, делать выводы, развивать пространственное мышление.

Воспитательная:

- побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитывать умение работать в парах, вырабатывать навык самоконтроля.

Оборудование: доска, линейка.

Ход урока:

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение изученного:

1)    Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

2)    Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым:

                                                      а) имеющим общую точку;

                                                      б) не имеющим общих точек?

3) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть её боковыми сторонами?

4) Прямая а пересекает параллельные плоскости и  в точках А и В. Прямая в, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр ABCD, если АВ=3 см, ВС=4см.

III.             Объяснение новой темы.

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен  90

                     c                                      ab (a и b-пересекающиеся прямые)

 

b

                                                                             

                                                               ac (a и c - скрещивающиеся прямые)

	a

 

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

                                    a

                                                                                      Дано: a ǀǀ b

                                   b                                                              ac

                                                                                      Док-ть: bc

			A

 

C

                                                                                          Док-во:

	C

 
                                                                        b ǀǀ a            MA ǀǀ a              MC ǀǀ c  

                                                                                                                   ac

                                                                                                                       

                                                                       b ǀǀ MA           AMC= 90°

 

                                                                                                                   bc

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

 

b

                                                                                                          ab           b  

                                                                                                                    a

 

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна  к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

 

                Дано : b, c, bc=A

                          ab, ac

            Док-ть: a

              Док-во:

          Дополнительные построения:

                     x  Ax

         pc=C    pb=B     p=X

             AA₁=AA₂

    a                                                                                                  ab

 

AA₁AC                                    AA₁=A₁A₂                                         AA₁ AB

                                                                                                  

AC- высота    A₁CA ₂AC- медиана     A₁CA ₂AB-медиана  A₁BA ₂   AB-высота    A₁BA₂

A₁ CA₂-р/б                                                              A₁ BA₂-р/б

 

A₁C=CA₂                                  AA₁- общая                        A₁B=BA₂

 

                                     A₁BC=   A₂BC(CCC)

BX-общая           1=2

                                            

                                         A₁BX =   A₂ BX(СУС) 

                                        A₁X=A₂ X

 

                                          A₁XA₂ – р/б

                                         

                                       AX- высота      A₁XA₂

                                            x                x

                                                         a

IV  Решение задач на закрепление.

      Задача   Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС

треугольника АВС. Определите вид        МВD, где D-

 произвольная точка прямой АС.

М

                            Дано:     АВС             Решение:

                                           МСВС         МВАВ              МВВС

                                        МВАВ                   АВВС=В

С

D

А

В

                                                         DАС

                                                                            DАС     

                                                     МВD -?

                                                                            ВD(АВС)  МВ(АВС)

 

                                                                                             МВВD

                                                                                       МВD=90°

 

                                                                                           МВD- п/уг.

Задача.  Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, МА=МС, МВ=МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

	М

 

                                                                            Дано:     АВСD- парал-м

                                                                                      АСВD=0

В

                                                                                      МА=МС, МВ=МD

С

L                                                                          Док-ть: ОМ(АВСD)

                                                                                   Док-во:

			О
	А				D

 

АМ=МС                                            АВСD- парал-м                        МВ=МD

 

АМС- р/б                АО=ОС                                   ВО=ОD               МВD- р/б

  ОМ-медиана    АМС                                          ОМ-медиана    МВD

 

  ОМ- высота      АМС                                          ОМ-высота      МВD

 

               ОМАС                 АСВD=О                            ОМВD

                                            ОМ(АВСD)

V.Подведение итогов урока.