Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

Тема: Решение тригонометрических уравнений.(2урока)


Пояснительная записка:

Цели:

  • Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

  • Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

  • Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности и мобильности, общей культуры, воспитывать дружеское отношение между учащимися. Эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задания на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: используются репродуктивный метод, с выходом на частично-поисковый (эвристический), решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка и проверка уровня знаний.

Формы организации труда: индивидуальная, коллективная, фронтальная.

Оборудование: графо – проектор, плакат «типы уравнений», плакат «формулы», карточки с самостоятельными работами, тетради для самостоятельной работы.


План урока:

  1. Оргмомент-2мин

  2. Устные упражнения-7мин

  3. Самостоятельная робота по вариантам (самопроверка)-8мин

  4. Проверка домашнего задания-14мин

  5. Классификация тригонометрических уравнений -5мин

  6. Решение тригонометрических уравнений-20мин

  7. Самостоятельная работа-20мин

  8. Домашнее задание-2мин

  9. Итог урока-2мин.


Актуальность выбранной темы: данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, тригонометрические уравнения присутствуют на ЕГЭ как в разделах А,В, так и в разделе С.

Все этапы урока распределены от простого к сложному, логически взаимосвязаны и завершены, определены цели каждого этапа.

На уроке используется наглядность, ТСО, присутствует коллективная, индивидуальная и самостоятельная работа.



Метод решения хорош, если

с самого начала мы можем предвидеть –

и в последствии подтвердить это,- что,

следуя этому методу, мы достигли цели.

Лейбниц.

Ход урока.

1. Оргмомент.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Давайте будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, все будем делать с довольствием и с большим желанием.


Сегодня урок «Решения тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.


Перед вами задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.


2. Устная работа.

Цель: Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

1.Прикаком значении, а имеет решение уравнение sin х=а . cos х=а, tg х=а?

2. По каким формулам решаются эти уравнения?

3. Частные случаи, назовите решение этих уравнений

sin х=0, cos х=1, sin х=-1, sin х=1, cos х=-1, cos х=0.

4. В каком промежутке находится arctg а, arcsin a, arcos a, arcctg a?

5. Чему равен arccos(-a), arcsin(-a), arcctg(-a)?


3. Самостоятельная работа с самопроверкой (ответы записаны на доске с обратной стороны).

Цель: проверить умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

cos х – 2=0

2cos=-hello_html_2d077f92.gif

2sin х + 1=0

sin3х =0

3tg4х - hello_html_2d077f92.gif=0

  1. sin х+2=0

  2. 2sin х - hello_html_2d077f92.gif=0

  3. cos 3х=1

  4. 2 cos 2х + hello_html_20329080.gif=0

  5. tg 3х – 1=0







4. Проверка домашнего задания.

Цель: Ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать умения и навыки решения уравнений различными методами на примере одного уравнения.

Уравнение sin х + cos х = 1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Шесть ребят показывают решения этого уравнения через графо – проектор (каждому учащемуся розданы листочки с решением этого уравнения разными способами).

Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.

Способ 1. Сведение к однородному уравнению.

- Выразим sin х, cos х и 1 через функции половинного аргумента:


2sinhello_html_m3cf02f4d.gifcoshello_html_m3cf02f4d.gif + cos2 hello_html_m3cf02f4d.gif - sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif = sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif + cos 2 hello_html_m3cf02f4d.gif

2sin hello_html_m3cf02f4d.gifcos hello_html_m3cf02f4d.gif– 2sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif =0 / : 2cos2 hello_html_m3cf02f4d.gif

tg hello_html_m3cf02f4d.gif - tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif = 0

tg hello_html_m3cf02f4d.gif(1 - tghello_html_m3cf02f4d.gif) = 0

Если tg hello_html_m3cf02f4d.gif = 0, то hello_html_m3cf02f4d.gif = hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Если hello_html_m3cf02f4d.gif = 1, то hello_html_m3cf02f4d.gif= hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz; х=hello_html_3f0dc136.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz ,х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 2. Преобразование суммы в произведение.

- Выразим cos х через sin(hello_html_3f0dc136.gif - х). Получим sin х + sin (hello_html_3f0dc136.gif - х) =1


2 sin hello_html_m448484bf.gif.coshello_html_1c237400.gif=1, 2sin hello_html_5a1dc688.gif.cos(х - hello_html_5a1dc688.gif) =1,


hello_html_20329080.gifcos (х - hello_html_5a1dc688.gif) =1, cos(х - hello_html_5a1dc688.gif) =hello_html_ma8bd39f.gif, hello_html_m53d4ecad.gif



х - hello_html_5a1dc688.gif = arccoshello_html_ma8bd39f.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х - hello_html_5a1dc688.gif = - arccoshello_html_ma8bd39f.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz,

х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.


Способ 3. Введение вспомогательного угла.

- Разделим обе части уравнения hello_html_3b015b83.gif=hello_html_20329080.gif

sin х + cos х =1/ hello_html_20329080.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6508885b.gifsin х + cos хhello_html_6508885b.gif = hello_html_6508885b.gif

cos hello_html_5a1dc688.gifsin х + sin hello_html_5a1dc688.gifcos х= hello_html_ma8bd39f.gif , sin(х + hello_html_5a1dc688.gif) =hello_html_ma8bd39f.gif,

х + hello_html_5a1dc688.gif =( -1)п arssinhello_html_ma8bd39f.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz,

х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Ответ: х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Способ 4. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Sin х = hello_html_m754dee44.gif , cos х =hello_html_m1fd72a9f.gif, coshello_html_m3cf02f4d.gif hello_html_m88d8014.gif0, т.е. хhello_html_m88d8014.gifhello_html_4fd45fec.gif+ 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz



hello_html_m754dee44.gif+hello_html_m1fd72a9f.gif =1, 2tghello_html_m3cf02f4d.gif+ 1 - tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif=1 + tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif, , 2tghello_html_m3cf02f4d.gif - 2tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif-0,


tghello_html_m3cf02f4d.gif(1 - tghello_html_m3cf02f4d.gif) =0, tghello_html_m3cf02f4d.gif=0 или tghello_html_m3cf02f4d.gif= 1.

Если tghello_html_m3cf02f4d.gif=0, то х= 2hello_html_4fd45fec.gifп, п hello_html_m7cb53dec.gifz.

Если tghello_html_m3cf02f4d.gif= 1, то х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz ,х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 5. Замена cos х выражениемhello_html_4b706c86.gifhello_html_7e3604fb.gif:

hello_html_m78d1f094.gifhello_html_7e3604fb.gif= 1 – sin х

1 – sin2 х = (1 - sin х)2

(1 - sin х)( 1 + sin х) – (1 - sin х)2 = 0

(1 - sin х)( )( 1 + sin х– 1 + sin х) =0

2(1 - sin х) sin х =0

sin х =1 или sin х=0

Если sin х =1, то х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

Если sin х=0 , то х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 6. Применение формулы sin х + cos х = hello_html_20329080.gifsin (х+hello_html_5a1dc688.gif)

Исходное уравнение примет вид: hello_html_20329080.gifsin (х+hello_html_5a1dc688.gif) =1 /:hello_html_20329080.gif

sin (х+hello_html_5a1dc688.gif) = hello_html_6508885b.gif,

х + hello_html_5a1dc688.gif= (-1)пarcsinhello_html_6508885b.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Ответ: х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

- Можно добавить 7 способ. Это графическое решение уравнения.

Как решить графически уравнение?

(В одной системе координат построить графики функций:

а) hello_html_m10e0729a.gif или hello_html_m292ba443.gif ).

Выполните это задание дома.


5.Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по темам и методам решения тригонометрических уравнений.

Плакат «типы уравнений»

  1. Простейшие уравнения и уравнения сводящиеся к ним.

  2. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.

  3. Способ разложения на множители.

  4. Однородные уравнения

(a sin х + b cos х =0 a sin2 х + b cos х sin х + c sin2 х =0)

5. Решение уравнений введением вспомогательного аргумента

(a sin х + b cos х =с hello_html_m739d14ab.gifhello_html_637e5da3.gifsin х + hello_html_1e737f36.gifcos х = hello_html_780a075a.gif)

6. Способ понижения степени.

7. Решение уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.

8. Решение уравнений с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

9.Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка.




6.Решение тригонометрических уравнений.

Цель: решение уравнений с указанием четкого алгоритма решения уравнений данного типа.

1)1 – 3sin х cos х - 5cos2х =0

алгоритм:

  1. приведение к однородному уравнению.

  2. деление левой и правой части на cos2х при условии cos хhello_html_m88d8014.gif0

  3. решение квадратного уравнения.

  4. подстановка и решение простейших тригонометрических уравнений.

Ответ: х = arctg4 + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х= - hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

2) sin + sinх =hello_html_20329080.gifsin

алгоритм:

1.формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

2.разложение на множители

3. решение простейших уравнений.

Ответ: х = hello_html_43147b5.gif, кhello_html_m7cb53dec.gifz, х = hello_html_m78d1f094.gifhello_html_784a4cef.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

3) sin2 (hello_html_3f0dc136.gif - hello_html_m3cf02f4d.gif) + cos2 (hello_html_5a1dc688.gif +hello_html_m3cf02f4d.gif) = hello_html_2b2ed72.gif

алгоритм:

  1. способ понижения степени

  2. выразить квадрат синуса и косинуса половинного угла через косинус угла.

  3. решение простейшего уравнения.

Ответ: х = (-1)пhello_html_56c04310.gif+ hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

4)sincos = sincos

алгоритм:

1.выражение стоящие в правой части перенести на лево

2.примененить формулу синус разности

3.решение простейшего уравнения.

Ответ: х = hello_html_1fef8464.gif, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

5) 1 – cos х = 2sin hello_html_m3cf02f4d.gif

алгоритм:

  1. сведение к квадратному уравнению

  2. применить формулу cos х = 1 - 2sin2hello_html_m3cf02f4d.gif

  3. разложение на множители

  4. решение простейших уравнений.

Ответ: х =2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz , х = hello_html_4fd45fec.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.


7. Самостоятельная работа.

Цель: провести текущий контроль за усвоением решения тригонометрических уравнений, определив тип уравнения и выбрав метод решения.


Самостоятельная работа на 10 вариантов по карточкам из газеты «Математика» №9 – 2004 стр. 12.( см. приложение).


8. Домашнее задание.

Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений. Подготовиться к зачету.

Домашнее задание на 12 вариантов по карточкам из газеты «Математика»

1 -2002г. Стр.16. (см. приложение) и решить графически уравнение

sin х + cos х = 1

9. Итог урока.

  • Чем мы занимались сегодня на уроке?

  • Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

  • Оценка работы класса.


10. И напоследок притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвел их к огромному дверному замку. Кто откроет, тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошел и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку».


Дополнение: зачет проводится так же по карточкам из газеты «Математика»

18-2004г. Стр.16.


Рекомендации по использованию урока:


    1. данный урок проводится перед зачетом и контрольной работой, как урок обобщения в 10классе по данной теме;


    1. так же этот урок можно провести в 11 классе в разделе повторения;


3) так же можно отдельно провести урок по теме «Несколько способов решения уравнения sin х + cos х = 1», где повторяются многие методы решения тригонометрических уравнений.









Министерство образования Российской Федерации.











Конспект урока по теме: hello_html_232dc93a.gif










Автор: В.Е.Агафонова

учитель математики

МОУ СОШ №6.
















г. Усть-Кут

2006г.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров87
Номер материала ДБ-273974
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх