Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: Решение тригонометрических уравнений.(2урока)


Пояснительная записка:

Цели:

  • Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

  • Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

  • Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности и мобильности, общей культуры, воспитывать дружеское отношение между учащимися. Эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задания на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: используются репродуктивный метод, с выходом на частично-поисковый (эвристический), решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка и проверка уровня знаний.

Формы организации труда: индивидуальная, коллективная, фронтальная.

Оборудование: графо – проектор, плакат «типы уравнений», плакат «формулы», карточки с самостоятельными работами, тетради для самостоятельной работы.


План урока:

  1. Оргмомент-2мин

  2. Устные упражнения-7мин

  3. Самостоятельная робота по вариантам (самопроверка)-8мин

  4. Проверка домашнего задания-14мин

  5. Классификация тригонометрических уравнений -5мин

  6. Решение тригонометрических уравнений-20мин

  7. Самостоятельная работа-20мин

  8. Домашнее задание-2мин

  9. Итог урока-2мин.


Актуальность выбранной темы: данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, тригонометрические уравнения присутствуют на ЕГЭ как в разделах А,В, так и в разделе С.

Все этапы урока распределены от простого к сложному, логически взаимосвязаны и завершены, определены цели каждого этапа.

На уроке используется наглядность, ТСО, присутствует коллективная, индивидуальная и самостоятельная работа.



Метод решения хорош, если

с самого начала мы можем предвидеть –

и в последствии подтвердить это,- что,

следуя этому методу, мы достигли цели.

Лейбниц.

Ход урока.

1. Оргмомент.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Давайте будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, все будем делать с довольствием и с большим желанием.


Сегодня урок «Решения тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.


Перед вами задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.


2. Устная работа.

Цель: Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

1.Прикаком значении, а имеет решение уравнение sin х=а . cos х=а, tg х=а?

2. По каким формулам решаются эти уравнения?

3. Частные случаи, назовите решение этих уравнений

sin х=0, cos х=1, sin х=-1, sin х=1, cos х=-1, cos х=0.

4. В каком промежутке находится arctg а, arcsin a, arcos a, arcctg a?

5. Чему равен arccos(-a), arcsin(-a), arcctg(-a)?


3. Самостоятельная работа с самопроверкой (ответы записаны на доске с обратной стороны).

Цель: проверить умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

cos х – 2=0

2cos=-hello_html_2d077f92.gif

2sin х + 1=0

sin3х =0

3tg4х - hello_html_2d077f92.gif=0

  1. sin х+2=0

  2. 2sin х - hello_html_2d077f92.gif=0

  3. cos 3х=1

  4. 2 cos 2х + hello_html_20329080.gif=0

  5. tg 3х – 1=0







4. Проверка домашнего задания.

Цель: Ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать умения и навыки решения уравнений различными методами на примере одного уравнения.

Уравнение sin х + cos х = 1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Шесть ребят показывают решения этого уравнения через графо – проектор (каждому учащемуся розданы листочки с решением этого уравнения разными способами).

Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.

Способ 1. Сведение к однородному уравнению.

- Выразим sin х, cos х и 1 через функции половинного аргумента:


2sinhello_html_m3cf02f4d.gifcoshello_html_m3cf02f4d.gif + cos2 hello_html_m3cf02f4d.gif - sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif = sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif + cos 2 hello_html_m3cf02f4d.gif

2sin hello_html_m3cf02f4d.gifcos hello_html_m3cf02f4d.gif– 2sin2 hello_html_m3cf02f4d.gif =0 / : 2cos2 hello_html_m3cf02f4d.gif

tg hello_html_m3cf02f4d.gif - tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif = 0

tg hello_html_m3cf02f4d.gif(1 - tghello_html_m3cf02f4d.gif) = 0

Если tg hello_html_m3cf02f4d.gif = 0, то hello_html_m3cf02f4d.gif = hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Если hello_html_m3cf02f4d.gif = 1, то hello_html_m3cf02f4d.gif= hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz; х=hello_html_3f0dc136.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz ,х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 2. Преобразование суммы в произведение.

- Выразим cos х через sin(hello_html_3f0dc136.gif - х). Получим sin х + sin (hello_html_3f0dc136.gif - х) =1


2 sin hello_html_m448484bf.gif.coshello_html_1c237400.gif=1, 2sin hello_html_5a1dc688.gif.cos(х - hello_html_5a1dc688.gif) =1,


hello_html_20329080.gifcos (х - hello_html_5a1dc688.gif) =1, cos(х - hello_html_5a1dc688.gif) =hello_html_ma8bd39f.gif, hello_html_m53d4ecad.gif



х - hello_html_5a1dc688.gif = arccoshello_html_ma8bd39f.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х - hello_html_5a1dc688.gif = - arccoshello_html_ma8bd39f.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz,

х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.


Способ 3. Введение вспомогательного угла.

- Разделим обе части уравнения hello_html_3b015b83.gif=hello_html_20329080.gif

sin х + cos х =1/ hello_html_20329080.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6508885b.gifsin х + cos хhello_html_6508885b.gif = hello_html_6508885b.gif

cos hello_html_5a1dc688.gifsin х + sin hello_html_5a1dc688.gifcos х= hello_html_ma8bd39f.gif , sin(х + hello_html_5a1dc688.gif) =hello_html_ma8bd39f.gif,

х + hello_html_5a1dc688.gif =( -1)п arssinhello_html_ma8bd39f.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz,

х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Ответ: х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Способ 4. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Sin х = hello_html_m754dee44.gif , cos х =hello_html_m1fd72a9f.gif, coshello_html_m3cf02f4d.gif hello_html_m88d8014.gif0, т.е. хhello_html_m88d8014.gifhello_html_4fd45fec.gif+ 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz



hello_html_m754dee44.gif+hello_html_m1fd72a9f.gif =1, 2tghello_html_m3cf02f4d.gif+ 1 - tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif=1 + tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif, , 2tghello_html_m3cf02f4d.gif - 2tg2 hello_html_m3cf02f4d.gif-0,


tghello_html_m3cf02f4d.gif(1 - tghello_html_m3cf02f4d.gif) =0, tghello_html_m3cf02f4d.gif=0 или tghello_html_m3cf02f4d.gif= 1.

Если tghello_html_m3cf02f4d.gif=0, то х= 2hello_html_4fd45fec.gifп, п hello_html_m7cb53dec.gifz.

Если tghello_html_m3cf02f4d.gif= 1, то х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х=2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz ,х=hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 5. Замена cos х выражениемhello_html_4b706c86.gifhello_html_7e3604fb.gif:

hello_html_m78d1f094.gifhello_html_7e3604fb.gif= 1 – sin х

1 – sin2 х = (1 - sin х)2

(1 - sin х)( 1 + sin х) – (1 - sin х)2 = 0

(1 - sin х)( )( 1 + sin х– 1 + sin х) =0

2(1 - sin х) sin х =0

sin х =1 или sin х=0

Если sin х =1, то х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

Если sin х=0 , то х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Ответ: х =hello_html_3f0dc136.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х = 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

Способ 6. Применение формулы sin х + cos х = hello_html_20329080.gifsin (х+hello_html_5a1dc688.gif)

Исходное уравнение примет вид: hello_html_20329080.gifsin (х+hello_html_5a1dc688.gif) =1 /:hello_html_20329080.gif

sin (х+hello_html_5a1dc688.gif) = hello_html_6508885b.gif,

х + hello_html_5a1dc688.gif= (-1)пarcsinhello_html_6508885b.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

Ответ: х = -hello_html_5a1dc688.gif + (-1)hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz .

- Можно добавить 7 способ. Это графическое решение уравнения.

Как решить графически уравнение?

(В одной системе координат построить графики функций:

а) hello_html_m10e0729a.gif или hello_html_m292ba443.gif ).

Выполните это задание дома.


5.Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по темам и методам решения тригонометрических уравнений.

Плакат «типы уравнений»

  1. Простейшие уравнения и уравнения сводящиеся к ним.

  2. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.

  3. Способ разложения на множители.

  4. Однородные уравнения

(a sin х + b cos х =0 a sin2 х + b cos х sin х + c sin2 х =0)

5. Решение уравнений введением вспомогательного аргумента

(a sin х + b cos х =с hello_html_m739d14ab.gifhello_html_637e5da3.gifsin х + hello_html_1e737f36.gifcos х = hello_html_780a075a.gif)

6. Способ понижения степени.

7. Решение уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.

8. Решение уравнений с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

9.Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка.




6.Решение тригонометрических уравнений.

Цель: решение уравнений с указанием четкого алгоритма решения уравнений данного типа.

1)1 – 3sin х cos х - 5cos2х =0

алгоритм:

  1. приведение к однородному уравнению.

  2. деление левой и правой части на cos2х при условии cos хhello_html_m88d8014.gif0

  3. решение квадратного уравнения.

  4. подстановка и решение простейших тригонометрических уравнений.

Ответ: х = arctg4 + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz, х= - hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.

2) sin + sinх =hello_html_20329080.gifsin

алгоритм:

1.формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

2.разложение на множители

3. решение простейших уравнений.

Ответ: х = hello_html_43147b5.gif, кhello_html_m7cb53dec.gifz, х = hello_html_m78d1f094.gifhello_html_784a4cef.gif + hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

3) sin2 (hello_html_3f0dc136.gif - hello_html_m3cf02f4d.gif) + cos2 (hello_html_5a1dc688.gif +hello_html_m3cf02f4d.gif) = hello_html_2b2ed72.gif

алгоритм:

  1. способ понижения степени

  2. выразить квадрат синуса и косинуса половинного угла через косинус угла.

  3. решение простейшего уравнения.

Ответ: х = (-1)пhello_html_56c04310.gif+ hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

4)sincos = sincos

алгоритм:

1.выражение стоящие в правой части перенести на лево

2.примененить формулу синус разности

3.решение простейшего уравнения.

Ответ: х = hello_html_1fef8464.gif, пhello_html_m7cb53dec.gifz.

5) 1 – cos х = 2sin hello_html_m3cf02f4d.gif

алгоритм:

  1. сведение к квадратному уравнению

  2. применить формулу cos х = 1 - 2sin2hello_html_m3cf02f4d.gif

  3. разложение на множители

  4. решение простейших уравнений.

Ответ: х =2hello_html_4fd45fec.gifп, пhello_html_m7cb53dec.gifz , х = hello_html_4fd45fec.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifк, кhello_html_m7cb53dec.gifz.


7. Самостоятельная работа.

Цель: провести текущий контроль за усвоением решения тригонометрических уравнений, определив тип уравнения и выбрав метод решения.


Самостоятельная работа на 10 вариантов по карточкам из газеты «Математика» №9 – 2004 стр. 12.( см. приложение).


8. Домашнее задание.

Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений. Подготовиться к зачету.

Домашнее задание на 12 вариантов по карточкам из газеты «Математика»

1 -2002г. Стр.16. (см. приложение) и решить графически уравнение

sin х + cos х = 1

9. Итог урока.

  • Чем мы занимались сегодня на уроке?

  • Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

  • Оценка работы класса.


10. И напоследок притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвел их к огромному дверному замку. Кто откроет, тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошел и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку».


Дополнение: зачет проводится так же по карточкам из газеты «Математика»

18-2004г. Стр.16.


Рекомендации по использованию урока:


    1. данный урок проводится перед зачетом и контрольной работой, как урок обобщения в 10классе по данной теме;


    1. так же этот урок можно провести в 11 классе в разделе повторения;


3) так же можно отдельно провести урок по теме «Несколько способов решения уравнения sin х + cos х = 1», где повторяются многие методы решения тригонометрических уравнений.









Министерство образования Российской Федерации.











Конспект урока по теме: hello_html_232dc93a.gif










Автор: В.Е.Агафонова

учитель математики

МОУ СОШ №6.
















г. Усть-Кут

2006г.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 19.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров32
Номер материала ДБ-273974
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх