Разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

                       Тема: Решение тригонометрических уравнений.(2урока)

Пояснительная записка:

Цели:

·        Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

·        Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

·        Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности и мобильности, общей культуры, воспитывать дружеское отношение между учащимися. Эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задания на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: используются репродуктивный метод, с выходом  на частично-поисковый (эвристический), решение познавательных  обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка и проверка уровня знаний.

Формы организации труда: индивидуальная, коллективная, фронтальная.

Оборудование:  графо – проектор, плакат «типы уравнений»,  плакат «формулы», карточки с самостоятельными работами, тетради для самостоятельной работы.

План урока:

1.     Оргмомент-2мин

2.     Устные упражнения-7мин

3.     Самостоятельная робота по вариантам (самопроверка)-8мин

4.     Проверка домашнего задания-14мин

5.     Классификация тригонометрических уравнений -5мин

6.     Решение тригонометрических уравнений-20мин

7.     Самостоятельная работа-20мин

8.     Домашнее задание-2мин

9.     Итог урока-2мин.

 Актуальность выбранной темы: данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, тригонометрические уравнения присутствуют на ЕГЭ как в разделах А,В, так и в разделе С.

   Все этапы урока  распределены от простого к сложному, логически  взаимосвязаны и завершены, определены цели каждого этапа.

   На уроке используется   наглядность, ТСО, присутствует коллективная, индивидуальная и самостоятельная работа.                                                             

                                                                                                                  Метод решения хорош, если                       

                                                                                                    с самого начала мы можем предвидеть –

                                                                                                и в последствии подтвердить это,- что,

                                                                                                    следуя этому методу, мы достигли цели.

                                                                                                                                                    Лейбниц.

                                                                    Ход урока.

1. Оргмомент.

     Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Давайте будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, все будем делать с довольствием и с большим желанием.

   Сегодня урок «Решения тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Устная работа.

Цель: Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

1.Прикаком значении, а  имеет решение уравнение sin х=а .  cos х=а, tg х=а?

     2. По каким формулам решаются эти уравнения?

     3. Частные случаи, назовите решение этих уравнений

                sin х=0,   cos х=1,   sin х=-1,  sin х=1,  cos х=-1,  cos х=0.    

     4. В каком промежутке находится arctg а,  arcsin a, arcos a,  arcctg a?

     5. Чему равен arccos(-a),  arcsin(-a),  arcctg(-a)?

3. Самостоятельная работа с самопроверкой (ответы записаны на доске с обратной     стороны).

   Цель: проверить умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

Вариант -1	Вариант-2
1.      cos х – 2=0 2.     2cos2х=- 3.     2sin х + 1=0 4.     sin3х =0 5.     3tg4х - =0	1.               sin х+2=0 2.               2sin х - =0 3.                cos 3х=1 4.               2 cos 2х + =0 5.               tg 3х – 1=0

       4. Проверка домашнего задания.

Цель: Ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать умения и навыки решения уравнений различными методами на примере одного уравнения.

    Уравнение sin х + cos х = 1  можно решить, по крайне мере, шестью способами. Шесть ребят показывают решения этого уравнения через графо – проектор (каждому учащемуся розданы листочки с решением этого уравнения разными способами).

    Проводим сравнительный анализ и комментарий решений.

   Способ 1. Сведение к однородному уравнению.

- Выразим  sin х,  cos х  и 1 через функции половинного аргумента:

2sincos + cos²  - sin²  = sin²  + cos ²                               

2sin cos – 2sin²    =0     / : 2cos²                             

tg  -  tg²   = 0

tg (1 - tg) = 0

  Если  tg   = 0, то  = п, пz,  х=2п,  пz .        

  Если        = 1, то =  + к, кz;   х= + к, кz.

                                                    Ответ: х=2п, пz     ,х= + 2к, кz.

Способ 2. Преобразование суммы в произведение.

- Выразим cos х через       sin( - х). Получим           sin х + sin ( - х) =1

2 sin .cos=1,          2sin .cos(х - ) =1,

cos (х - ) =1,            cos(х - ) =,   

  х -  = arccos + 2п, пz,         х -  = - arccos + 2к, кz,                         

  х = + 2п, пz,                              х = 2к, кz.

                                                         Ответ: х = + 2п, пz,     х = 2к, кz.   

 Способ 3. Введение вспомогательного угла.

- Разделим обе части уравнения =

                      sin х + cos х  =1/

 sin х +  cos х =

                     cos sin х + sin cos х=   ,              sin(х + ) =,

                    х +  =( -1)^п  arssin + п, пz,                             

                    х = - + (-1) + п, пz .

                                                         Ответ:  х = - + (-1) + п, пz .

Способ 4. С помощью универсальной тригонометрической     подстановки.

Sin х =  ,          cos х =,     cos 0, т.е. х+ 2п, пz

 + =1,     2tg+ 1 - tg²   =1 + tg² ,                 ,     2tg - 2tg²   -0,

tg(1 - tg) =0,      tg=0 или  tg= 1.

Если  tg=0, то х= 2п, п z.

Если tg= 1, то х= + 2к, кz.

                                                     Ответ: х=2п, пz     ,х= + 2к, кz.

Способ 5. Замена  cos х  выражением:

 = 1 – sin х

1 – sin² х = (1 - sin х)²

(1 - sin х)( 1 + sin х) – (1 - sin х)² = 0

(1 - sin х)( )( 1 + sin х– 1 + sin х) =0

2(1 - sin х) sin х =0

 sin х =1  или    sin х=0                                                

Если sin х =1, то  х = + 2п, пz. 

 Если sin х=0 , то  х = 2к, кz.            

                                                                Ответ: х = + 2п, пz,     х = 2к, кz.     

Способ 6. Применение формулы sin х + cos х = sin (х+)

Исходное уравнение примет вид: sin (х+) =1 /:

                                                           sin (х+) = ,

                                                            х + = (-1)^пarcsin + п,  пz.

                                                            х = - + (-1) + п, пz .

                                                    Ответ:   х = - + (-1) + п, пz .

 - Можно добавить 7 способ. Это графическое решение уравнения.

            Как решить графически уравнение?

 (В одной системе координат построить графики функций:

   а)   или          ).

 Выполните это задание дома.

5.Классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по темам и методам решения тригонометрических уравнений.

Плакат «типы уравнений»

1.     Простейшие уравнения и уравнения сводящиеся к ним.

2.     Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.

3.     Способ разложения на множители.

4.     Однородные уравнения

             (a sin х + b cos х =0      a sin² х  +  b cos х  sin х  +  c sin² х =0)

    5. Решение уравнений введением вспомогательного аргумента

  (a sin х + b cos х =с     sin х + cos х = )

6. Способ понижения степени.

7. Решение уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических    функций в произведение.

     8. Решение уравнений с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

9.Уравнения, при решении которых используется универсальная   тригонометрическая подстановка.

6.Решение тригонометрических уравнений.

Цель: решение уравнений с указанием четкого алгоритма решения уравнений данного типа.

1)1 – 3sin х cos х - 5cos²х =0

алгоритм:

1.     приведение к однородному уравнению.

2.     деление левой и правой части на cos²х при условии     cos х0

3.     решение квадратного уравнения.

4.     подстановка и решение простейших тригонометрических уравнений.

                                                 Ответ: х = arctg4 + п, пz,  х= -  + к, кz.

2) sin5х + sinх =sin3х

алгоритм:

1.формулы преобразования суммы тригонометрических функций в  произведение.

2.разложение на множители

3. решение простейших уравнений.

                                            Ответ: х = , кz,   х =  + п, пz.

3) sin² ( - ) + cos² ( +) =

алгоритм:

1.     способ понижения степени

2.     выразить квадрат синуса и косинуса половинного угла через косинус угла.

3.     решение простейшего уравнения.

                                               Ответ: х = (-1)^п + п, пz.

4)sin4х cos 2х = sin2х cos4х

 алгоритм:

1.выражение стоящие в правой части перенести на лево

2.примененить формулу синус разности

3.решение простейшего уравнения.

                                                      Ответ: х = , пz.

5) 1 – cos х = 2sin

    алгоритм:

1.     сведение к квадратному уравнению

2.     применить формулу cos х = 1 - 2sin²

3.     разложение на множители

4.     решение простейших уравнений.

                                                     Ответ: х =2п, пz ,      х =  + 2к, кz.

7. Самостоятельная работа.

   Цель: провести текущий контроль за усвоением решения тригонометрических уравнений, определив тип уравнения и выбрав метод решения.

   Самостоятельная работа  на 10 вариантов по карточкам из газеты «Математика» №9 – 2004 стр. 12.( см. приложение).

8. Домашнее задание.

  Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений. Подготовиться к зачету.

Домашнее задание на 12 вариантов по карточкам из газеты «Математика»

      №1 -2002г. Стр.16. (см. приложение) и решить графически уравнение

          sin х + cos х = 1

9. Итог урока.

·        Чем мы занимались сегодня на уроке?

·        Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

·        Оценка работы класса.

10. И напоследок притча:

   «Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвел их к огромному дверному замку. Кто откроет, тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошел и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

    Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку».

Дополнение: зачет  проводится так же по карточкам из газеты «Математика»

    №18-2004г. Стр.16.

Рекомендации по использованию урока:

1)    данный урок проводится перед зачетом и контрольной работой, как урок обобщения в 10классе по данной теме;

2)    так же этот урок можно провести в 11 классе в разделе повторения;

                3) так же можно отдельно провести урок по теме «Несколько способов решения уравнения sin х + cos х = 1», где повторяются многие методы решения тригонометрических уравнений.

                                    Министерство образования Российской Федерации.

Конспект урока по теме:

                                                           Автор: В.Е.Агафонова

                                                                                            учитель математики

                                                                           МОУ СОШ №6.

г. Усть-Кут

2006г.