Разработка урока по теме "Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Урок №1"

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»

Цели:

1)    Формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.

2)    Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся при решении различных заданий.

3)    Вырабатывать трудолюбие.

Ход урока

I.                  Организационный момент.

Сообщение темы и целей уроков.

II.               Актуализация знаний и умений обучающихся.

1)    Проверка выполнения домашнего задания (разбор нерешенных заданий).

2)    Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т  2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

      I.         

      II.         

      III.        Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания обучающихся о решении задач на движение, выделив  р я д   э т а п о в.

1) Анализ условия:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

– Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи  № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

Реальное движение пешеходов

Движение с заданным условием

	S	V	t		S	V	t
1-й	4х км	х км/ч	4 ч	1-й	20 км	х км/ч	ч
2-й	4у км	у км/ч	4 ч	2-й	20 км	у км/ч	ч

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение:  = 1.

Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;

20у – 180 + 20у – 9у + у² = 0;

у² + 31у – 180 = 0;

у₁ = 5    х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

6) Получаем скорости  пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.

О т в е т: 4 и 5 км/ч.

Упражнения:

1. № 473, № 547.

2. № 461.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.

Заполним таблицу:

	S	V	t
1-й отряд	4х км	х км/ч	4 ч
2-й отряд	4у км	у км/ч	4 ч

Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:

4х – 4у = 4,8.

На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4х)² + (4у)² = 24².

Составим систему уравнений:

Решая  систему  способом  подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным).

О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.

Сильным в учебе обучающимся дополнительно выполнить № 548.

Р е ш е н и е

Пусть  х км/ч  –  скорость  первого  автомобиля,  а у км/ч  –  скорость второго.

В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.

	S	V	t			S	V	t
1-й	90 км	х км/ч	ч		1-й	1,25х км	х км/ч	1,25 ч
2-й	90 км	у км/ч	ч		2-й	0,8у км	у км/ч	0,8 ч

Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:

 = 0,45.

После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км. Получим уравнение:

1,25х + 0,8у = 90.

Составим систему:

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.

О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.

  IV.            Итоги урока.

Вопросы обучающимся:

– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– Какие виды движения могут описываться в задаче?

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

     V.            Домашнее задание: № 462, № 474, д о п о л н и т е л ь н о: № 549.