Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока по теме "Теорема Виета"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по теме "Теорема Виета"

библиотека
материалов

ТЕМА: Теорема Виета

ЦЕЛЬ УРОКА: сформировать и доказать теорему Виета и теорему, обратную ей. Показать, как эти теоремы можно применять к решению задач. Ознакомить учащихся с зависимостью между корнями и коэффициентами, выработать у учащихся умение обобщить изученные факты, развивать логическое мышление, самоконтроль, умение следить за развитием мысли, воспитать сосредоточенность.

ТИП УРОКА: усвоение новых знаний, опорные конспекты

ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с заданиями, опорный конспект

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания, анализ ошибок

  3. Актуализация опорных знаний.

  1. Назвать коэффициенты уравнений:

  1. hello_html_4fbf37b8.gif+3х-5=0 3) хhello_html_4fbf37b8.gif-24х-20=0 5)х-2-хhello_html_4fbf37b8.gif=0

  2. hello_html_4fbf37b8.gif-4х-15=0 4) 8-2х-хhello_html_4fbf37b8.gif=0

  1. Решите уравнение.

  1. хhello_html_4fbf37b8.gif-144=0 3) 2хhello_html_4fbf37b8.gif-8х=0 5)6хhello_html_4fbf37b8.gif=0

  2. хhello_html_4fbf37b8.gif-х=0 4) 3хhello_html_4fbf37b8.gif+27=0 6) 2хhello_html_4fbf37b8.gif=18

  1. Решить уравнение и найти общий признак этих уравнений.

  1. хhello_html_4fbf37b8.gif+4х+4=0 3) хhello_html_4fbf37b8.gif+6х-8=0

  2. хhello_html_4fbf37b8.gif+3х+2=0 4) хhello_html_4fbf37b8.gif-11х+30=0


  1. Изучение нового материала

1). Учащимся предлагается самостоятельно заполнить таблицу.

Уравнения

ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0 а=1

Корни уравнения xhello_html_m34745add.gif, xhello_html_m4bcd60e4.gif

Сумма корней

xhello_html_m34745add.gif+ xhello_html_m4bcd60e4.gif

Произведения корней xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif

хhello_html_4fbf37b8.gif+4х+4=0

-2

-4

4

хhello_html_4fbf37b8.gif-11х+30=0

5;6

11

30

хhello_html_4fbf37b8.gif+2х-8=0

-4,2

-2

-8

хhello_html_4fbf37b8.gif+3х+2=0

-2; -1

-3

2

2). Учащиеся замечают, что сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней свободному члену.




  1. Учитель формулирует теорему Виета и доказывает с помощью учащихся.

Каждое квадратное уравнение ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0 , аhello_html_3750bfcb.gif0 равносильно произведенному квадратному уравнению hello_html_m15dc68c7.gif

Доказательство теоремы Виета. Сумма корней квадратного уравнения ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0 равна hello_html_m375ed783.gif, а произведение hello_html_72f28aee.gif

ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0

если D>0 то xhello_html_m34745add.gifhello_html_3750bfcb.gif xhello_html_m4bcd60e4.gif hello_html_24ab2d6f.gif

xhello_html_m34745add.gif+ xhello_html_m4bcd60e4.gif=hello_html_m4f398aa1.gif=hello_html_m375ed783.gif

xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif=hello_html_macf422e.gif=hello_html_m6c83be0b.gif=hello_html_m2c460de.gif


  1. . Учитель формулирует и доказывает теорему, обратную теореме Виета: Если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения xhello_html_4fbf37b8.gif+px+g=0.

Доказать.

т+п=-р хhello_html_4fbf37b8.gif-(т+п)х+т*п=0

m*n=g х-тх-nс+тп=0

х(х-т)-п(х-т)=0

(х-п)(х-т)=0 - это уравнение равносильно xhello_html_4fbf37b8.gif+px+g=0,

т и п корни xhello_html_4fbf37b8.gif+px+g=0

Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену со своим знаком.

Доказательство.

xhello_html_m34745add.gif=hello_html_73411c0d.gif

xhello_html_m4bcd60e4.gif=hello_html_4da2bea1.gif

xhello_html_m34745add.gif+ xhello_html_m4bcd60e4.gif=-p


xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif=hello_html_5681ae92.gif=g

  1. Учитель знакомит учащихся со свойством коэффициентов квадратного уравнения:

Если а+b+с=0, то xhello_html_m34745add.gif=1 Х2= hello_html_m2c460de.gif для квадратного уравнения ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0 Доказательство.

а+b+с=0

b=-(а+с), подставим значение b в уравнение ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0.

Получим ахhello_html_4fbf37b8.gif-(а+с)х+с=0

хhello_html_4fbf37b8.gif-hello_html_m6d0065fb.gif=0

хhello_html_4fbf37b8.gif-(1+hello_html_m2c460de.gif)x+hello_html_m2c460de.gif=0

Согласно теореме Виета

xhello_html_m34745add.gif=1

xhello_html_m4bcd60e4.gif=hello_html_m2c460de.gif

5) Учитель предлагает доказать самостоятельно дома следующее свойство квадратного уравнения: если а-b+с=0, то xhello_html_m34745add.gif=-1, xhello_html_m4bcd60e4.gif=-hello_html_m2c460de.gif для квадратного уравнения ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0.

6. Для закрепления этого материала учитель предлагает учащимся решить уравнения устно.

1). 2хhello_html_4fbf37b8.gif-3х+1=0 3). 3хhello_html_4fbf37b8.gif-2х-1=0

2). 4хhello_html_4fbf37b8.gif-5х+1=0 4). 5хhello_html_4fbf37b8.gif-х-6=0


  1. Усвоение новых знаний.

  1. Не решая уравнений, найти его корни.

  1. . хhello_html_4fbf37b8.gif-3х+2=0 3). хhello_html_4fbf37b8.gif-3х-40=0

  2. . хhello_html_4fbf37b8.gif-х-20=0 4). хhello_html_4fbf37b8.gif-х-12=0

  1. Составить квадратное уравнение, корни которого равны: а) 2 и 4 б) -3 и 5 в) 2 и 2

  2. Определить знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения.

а). хhello_html_4fbf37b8.gif-4х+3=0 б). хhello_html_4fbf37b8.gif-7х+10=0 в). хhello_html_4fbf37b8.gif-6х+8=0


Останавливаю внимание учащихся на исследовании квадратного уравнения по коэффициентам.

xhello_html_4fbf37b8.gif+px+g=0

1). Если g>0, то xhello_html_m34745add.gif и x2 корни одинаковых знаков или оба положительные или оба отрицательные

xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif >0, то корни имеют знаки, противоположные знаку II коэффициента.


Нельзя изучить математику, оглядываясь, как это делает сосед. Необходимо дать возможность учащимся поработать самостоятельно. Работа по карточкам.

Выполнение письменных заданий самостоятельно.



Карточка 1.

Найти значение g, при котором уравнение имеет равные корни

l). xhello_html_4fbf37b8.gif-14x+g=0

2). xhello_html_4fbf37b8.gif+gx+25=0


Карточка 2.

Найти р и х, если

1). хhello_html_4fbf37b8.gif+рх+25=0 и xhello_html_m4bcd60e4.gif=7 2). хhello_html_4fbf37b8.gif+рх+21=0 и хhello_html_m4bcd60e4.gif=-3



Карточка 3.

Один из корней уравнения хhello_html_4fbf37b8.gif-5х+с=0 равен 3. Найти с.


Карточка 4.

Известно, что hello_html_323000bf.gif, где xhello_html_m34745add.gif и xhello_html_m4bcd60e4.gif —корни уравнения хhello_html_4fbf37b8.gif+х+5а=0.

Определить а.



Карточка 5.

Один из корней уравнения хhello_html_4fbf37b8.gif+рх+8=0 равен hello_html_m3d4efe4.gif. Найти второй корень и коэффициент р.



Карточка 6.

Найдите корни уравнения хhello_html_m34745add.gif и хhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m4bcd60e4.gif хhello_html_m34745add.gif) и свободный член g,

если xhello_html_4fbf37b8.gif-10x+g=0 и хhello_html_m4bcd60e4.gifhello_html_m34745add.gif =14.


Карточка 7.

Известно, что хhello_html_m4bcd60e4.gifи хhello_html_m34745add.gif -корни уравнения хhello_html_4fbf37b8.gif-8х+6=0.

Не решая это уравнение вычислить:

а)hello_html_m1241f704.gif б) хhello_html_m34745add.gif + хhello_html_m4bcd60e4.gif в) хhello_html_m34745add.gif * хhello_html_m4bcd60e4.gif


Коррекция учителя при решении заданий обязательна

  1. Подвожу итог урока.

  1. По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета.

что лучше, скажи, постоянства такого: умножишь ты корни - и дробь уж готова: в числителе - с, в знаменателе - а, а сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда,

в числители - b, в знаменателе - а.

М.Б.Балк

2. Что необходимо помнить?

  1. xhello_html_4fbf37b8.gif+px+g=0 (*) - приведенное уравнение

  2. Если хhello_html_m34745add.gif и хhello_html_m4bcd60e4.gif корни уравнения (*), то хhello_html_m34745add.gif + хhello_html_m4bcd60e4.gif= -р,

хhello_html_m34745add.gif * хhello_html_m4bcd60e4.gif=g (теорема Виета).

  1. ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0 : если а+b+с=0, то хhello_html_m34745add.gif=1 , хhello_html_m4bcd60e4.gif= hello_html_m2c460de.gif

Если a-b+c=0, тo хhello_html_m34745add.gif=-1 , хhello_html_m4bcd60e4.gif= -hello_html_m2c460de.gif

  1. Домашнее задание.

Выучить §21. Выучить теорему Виета и теорему обратную к ней, свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Решить № 1005, 1016, 1017, 1008





Приём экономии времени, обучения учащихся самоконтролю

хhello_html_4fbf37b8.gif+hello_html_3de040a5.gifх+hello_html_m47364069.gif=0

Квадратное уравнение общего вида

хhello_html_4fbf37b8.gif+pх+g=0


Исследование по коэффициентам

g>0знаки корней одинаковы и противоположны знаку второго коэффициента

g<0знаки корней разные и у большего по модулю знак, противоположный знаку второго коэффициента

x=hello_html_m92cb192.gif

Теорема Виета

xhello_html_m34745add.gif+ xhello_html_m4bcd60e4.gif=-p

xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif=g

ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх+с=0, аhello_html_3750bfcb.gif0

b=0

ахhello_html_4fbf37b8.gif+с=0

ахhello_html_4fbf37b8.gif=-c

хhello_html_4fbf37b8.gif=-hello_html_72f28aee.gif

x=hello_html_55ef2e69.gif

b=0

c=0

ахhello_html_4fbf37b8.gif=0

x=0

c=0

ахhello_html_4fbf37b8.gif+bх=0

x(ax+b)=0

x=0 ax+b=0

x=-hello_html_3de040a5.gif

х=hello_html_4c6d929a.gif

Исследование квадратного уравнения по дискриминанту

D=bhello_html_4fbf37b8.gif-4ac

D>0 - xhello_html_m34745add.gifhello_html_3750bfcb.gif xhello_html_m4bcd60e4.gif

D=0- xhello_html_m34745add.gif= xhello_html_m4bcd60e4.gif

D<0 корней нет

x=hello_html_m2d9f41f0.gif

hello_html_m2df47aa7.gifhello_html_4641c3ba.gifhello_html_4641c3ba.gifhello_html_m77dae311.gifhello_html_1514ed48.gifhello_html_4641c3ba.gif

И у большого по модулю знак


п

(х-2)2-3(х-2)+2=0

ротивоположный знаку

второго коэффициента Биквадратные уравнения

x=hello_html_m92cb192.gif

Теорема Виета

xhello_html_m34745add.gif+ xhello_html_m4bcd60e4.gif=-p

xhello_html_m34745add.gif* xhello_html_m4bcd60e4.gif=g

ахhello_html_297a2b59.gif+bхhello_html_4fbf37b8.gif+с=0

хhello_html_4fbf37b8.gif

ауhello_html_4fbf37b8.gif+bу+с=0

у=hello_html_4c6d929a.gif

x-2

y2-3y+2=0

уhello_html_m34745add.gif=1

x-2=1

xhello_html_m34745add.gif=3

yhello_html_m4bcd60e4.gif=2

x-2=2

xhello_html_m4bcd60e4.gif=4

hello_html_4641c3ba.gifhello_html_57aed7ff.gifhello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m2f38935d.gifhello_html_m5afdc040.gifhello_html_4641c3ba.gifhello_html_4641c3ba.gif


Автор
Дата добавления 01.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров216
Номер материала ДВ-216428
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх