Разработка урока по теме "Теорема Виета"

ТЕМА: Теорема Виета

ЦЕЛЬ УРОКА: сформировать и доказать теорему Виета и теорему, обратную ей. Показать, как эти теоремы можно применять к решению задач. Ознакомить учащихся с зависимостью между корнями и коэффициентами, выработать у учащихся умение обобщить изученные факты, развивать логическое мышление, самоконтроль, умение следить за развитием мысли, воспитать сосредоточенность.

ТИП УРОКА: усвоение новых знаний, опорные конспекты

ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с заданиями, опорный конспект

ХОД УРОКА

I.       Организационный момент.

II.      Проверка домашнего задания, анализ ошибок

III.      Актуализация опорных знаний.

1.     Назвать коэффициенты уравнений:

1)      2х+3х-5=0     3)  х-24х-20=0    5)х-2-х=0

2)       4х-4х-15=0    4)  8-2х-х=0

2.      Решите уравнение.

1)     х-144=0     3) 2х-8х=0           5)6х=0

2)       х-х=0       4) 3х+27=0          6) 2х=18

3.      Решить уравнение и найти общий признак этих уравнений.

1)           х+4х+4=0 3) х+6х-8=0

2)           х+3х+2=0 4) х-11х+30=0

IV.       Изучение нового материала

1). Учащимся предлагается самостоятельно заполнить таблицу.

Уравнения ах+bх+с=0 а=1	Корни уравнения x, x	Сумма корней x+ x	Произведения корней  x* x
х+4х+4=0	-2	-4	4
х-11х+30=0	5;6	11	30
х+2х-8=0	-4,2	-2	-8
х+3х+2=0	-2; -1	-3	2

2). Учащиеся замечают, что сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней свободному члену.

3)           Учитель формулирует теорему Виета и доказывает с помощью учащихся.

Каждое квадратное уравнение ах+bх+с=0 , а0 равносильно произведенному квадратному уравнению

Доказательство теоремы Виета. Сумма корней квадратного уравнения ах+bх+с=0 равна ,  а произведение

ах+bх+с=0

если D>0 то  x x 

x+ x==

x* x===

4). Учитель формулирует и доказывает теорему, обратную теореме Виета: Если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x+px+g=0.

Доказать.

т+п=-р               х-(т+п)х+т*п=0

m*n=g                х-тх-nс+тп=0

х(х-т)-п(х-т)=0

(х-п)(х-т)=0 - это уравнение равносильно x+px+g=0,

т и п корни x+px+g=0

 Сумма корней  равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену со своим знаком.

Доказательство.

x=

x=

x+ x=-p

x* x ==g

5)                     Учитель знакомит учащихся со свойством коэффициентов квадратного уравнения:

Если а+b+с=0, то x=1 Х2=  для квадратного уравнения ах+bх+с=0 Доказательство.

а+b+с=0

b=-(а+с), подставим значение b в уравнение ах+bх+с=0.

Получим ах-(а+с)х+с=0

х-=0

х-(1+)x+=0

Согласно теореме Виета

x=1

x=                                    

5) Учитель предлагает доказать самостоятельно дома следующее свойство квадратного уравнения: если а-b+с=0, то x=-1, x=- для квадратного уравнения ах+bх+с=0.

6. Для закрепления этого материала учитель предлагает учащимся решить уравнения устно.

1). 2х-3х+1=0                3). 3х-2х-1=0

2). 4х-5х+1=0               4). 5х-х-6=0

V.      Усвоение новых знаний.

1.     Не решая уравнений, найти его корни.

1)     . х-3х+2=0         3). х-3х-40=0

2)      . х-х-20=0         4). х-х-12=0

2.      Составить квадратное уравнение, корни которого равны: а) 2 и 4 б) -3 и 5 в) 2 и 2

3. Определить знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения.

а). х-4х+3=0        б). х-7х+10=0       в). х-6х+8=0                    

Останавливаю внимание учащихся на исследовании квадратного уравнения по коэффициентам.

x+px+g=0

1). Если g>0, то x и x2  корни одинаковых знаков или оба положительные или оба отрицательные

x* x >0, то корни имеют знаки, противоположные знаку II коэффициента.

Нельзя изучить математику, оглядываясь, как это делает сосед. Необходимо дать возможность учащимся поработать самостоятельно. Работа по карточкам.

Выполнение письменных заданий самостоятельно.

Карточка 1.

Найти значение g, при котором уравнение имеет равные корни l).  x-14x+g=0 2). x+gx+25=0

Карточка 2.

Найти р и х, если 1). х+рх+25=0 и x=7         2). х+рх+21=0 и х=-3

Карточка 3.

Один из корней уравнения х-5х+с=0 равен 3. Найти с.

__

Карточка 4.

Известно, что , где x и  x —корни уравнения х+х+5а=0. Определить а.

Карточка 5.

Один из корней уравнения х+рх+8=0 равен . Найти второй корень и коэффициент р.

Карточка 6.

Найдите корни уравнения х и х (х х) и свободный член g, если x-10x+g=0 и х-х =14.

__

Карточка 7.

Известно, что хи  х  -корни уравнения х-8х+6=0. Не решая это уравнение вычислить: а) б) х + х  в) х *  х

Коррекция учителя при решении заданий обязательна

VI.      Подвожу итог урока.

1.     По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета.

что лучше, скажи, постоянства такого: умножишь ты корни - и дробь уж готова: в числителе - с, в знаменателе - а, а сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда,

в числители - b, в знаменателе - а.                                            

М.Б.Балк

2. Что необходимо помнить?

1)      x+px+g=0 (*) - приведенное уравнение

2)       Если х и  х корни уравнения (*), то х + х= -р,

                                                                                      х * х=g (теорема Виета).

3)       ах+bх+с=0 :  если а+b+с=0, то х=1 ,  х=

Если a-b+c=0, тo х=-1 ,  х= -

VII.     Домашнее задание.

Выучить §21. Выучить теорему Виета и теорему обратную к ней, свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Решить № 1005, 1016, 1017, 1008

		Приём экономии времени, обучения учащихся самоконтролю
					Квадратное уравнение общего вида

И у большого по модулю знак

(х-2)2-3(х-2)+2=0

противоположный знаку

второго коэффициента                             Биквадратные уравнения

	x= Теорема Виета x+ x=-p x* x=g