Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГАПОУ СО «Карпинский машиностроительный техникум»
Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курсов техникума
Автор сборника Виноградова Е.А., преподаватель
2015
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степень с действительным показателем
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите значение выражения
|
а) б)
|
а) б)
|
2) Сравните числа
|
|
|
|
3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(– 1,5) = 8. Найдите f(0,5). |
3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(1,5) = 1/8. Найдите f(– 2). |
4) Упростите выражение
|
а) б) в) |
а) б) в) |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
|
у = |
у = |
2) Постройте график функции у = 2х – 1 (у = 3х – 1); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой
– 1/2 < y < 3 (– 2/3 < y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте график функции у = 
(у = 
) и
найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке
[–2; 4] ([–2; 2])
4) Решите графически уравнение
|
(1/2)х = 2 – х |
3х = 2х + 3 |
5) Решите графически неравенство
|
3х < 1/3 |
(1/2)х > 2 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
|
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) |
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10) |
10) При каком р корнями
уравнения 0,5х – 1 = р
являются 1 и
– 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
|
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) |
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Свойства логарифмов
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить
|
|
|
2) Найти ООФ
|
|
|
3) Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
|
х = |
х = |
4) Найдите х, если
|
|
|
5) Вычислите
|
а) log2535, если log57 = p б) |
а) log4921, если log73 = c б) |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмическая функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
|
у = log |
у = log |
1*) Изобразите схематически график
|
y =log0,4(–x); y = |
y =lg |
2) Постройте график функции у = log2x – 1(у = log2(x – 1)); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой – 2 < y < 1 (– 1< y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте
график функции у = 
(у = 
) и найдите наименьшее и наибольшее
значение этой функции на отрезке [0,5;8] ([1,5;9]).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степенная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически графики функций
|
у = х |
у = х |
2) Возрастает или убывает функция у = х р, (х > 0), если
|
р = |
p = |
3) Решите графически уравнения
|
а) в) |
а) в) |
4) Решите графически уравнение
|
log3x = 2x – 3 |
log1/2x = – 0,5x + 1 |
5) Решите графически неравенство
|
log1/2x > – 3 |
log3x < 2 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические уравнения
|
|
|
Вариант № 1 Вариант № 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
|
1) log5(2x + 3) > log5(x – 1) 2) log1/2(2x – 5) < – 2 3) lg2x + 3lgx < 4 4) 4x-1 > 7 5) 6) lg2x2 + 3lgx > 1 7) 8*) 9*) 10) log2x+1(3 – 2x) < 1 11) log 12) 2log5x – logx5 > 1 13) log3log1/2(2x + 1) > 0 14) 15) (x + 1)log0,73 – log0,727 > 0 |
1) log3(1 – x) < log3(3 – 2x) 2) log1/2(2x + 5) > – 3 3) lg2x + 5lgx + 6 > 0 4) (3х
– 1)(3х – 2) 5) 6) 3log 7) 8*) 9*) logx2x 10) logx-2(2x – 7) < 1 11) log 12) 3log7x – 2logx7 < 0 13) log2log 14) 15) (5x – 2)log1,22 – 18log1,22 < 0 |
16) При каком значении р решением неравенства является промежуток?
|
log2(p – 3x) > log2(x2 – 3x); (– 3; 0) |
log3(x2 + 2x) < log3(2x + p); (0; 2) |
17) ООФ. 
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
|
1) 2) 3) 4) 5) 6*) 7*) 8) 9) 10) 11) |
1) 2) 3) 4) 5) 6*) 7*) 8) 9) 10) 11) |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
|
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9*) 10*) 11*) |
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9*) 10*) 11*) |
12) При каких значениях р решением неравенства является промежуток?
|
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Системы уравнений
Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3* Вариант № 4*
Решите системы уравнений
5*) При каких значениях р система неравенств не имеет решений?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические преобразования
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить
|
|
|
2) Решите уравнения
|
а) cos(– 3x) = – 1; б) tg(5п + х) = 0 в) sin(2x + 6п) + cosп/4
= |
а) sin(– 2x) = – 1; б) ctg(7п + х) = 0 в) cos(8п + 3х) + 1 = tgп/4 |
3) Упростите выражения
|
а) б) в) |
а) б) в) |
г*) д*) е*) |
|
4) Дано cosp = – 5/13, п/2 < p < п Найти sin(п/3 – р) |
4) Дано sinp = 8/17, п/2 < p < п Найти cos(п/6 – р) |
5) Сравните с 0 выражения
|
cos5; tg1,6п; sin11п/9 |
sin4; cos1,8п; ctg9п/7 |
6) Найти х, если
|
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
|
1) sinx = 0 2) 2tg3x = 0 3) – 2cosx = 1 4) 2sin(2x – 4п) = 5) sinx cos2x + cosx sin2x = 1 6) 2sinx/2 cosx/2 = – 1 7) cos22x = 2 8) 1 – sin2x = 0 9) 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0 10) 2tg43x – 3tg23x + 1 = 0 11) (1 –
cos2x)(сtgx + 12) sinx = sin3 13) tg2x = 14) 2cos2x – sinx – 1 = 0; 8 < x < 40 |
1) cosx = 0 2) 3ctgx = 0 3) – 2sinx = 4) 2cos(2x – 4п) = 5) cosx cos3x – sinx sin3x = 1 6) cos22x – sin22x = – 1 7) 1/2 sin4x = 1 8) 1 – cos2x = 0 9) 2cos23x + 5sin3x – 4 = 0 10) 2tgx – 2ctgx = 3 11) (sinx +
1)(ctg2x – 12) cosx = cos4 13) tgx/2= 14) cos2x = 1 – 3cosx; 1 < x < 50 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
|
1) сos2x – 5sinx – 3 = 0 2) tgx + ctgx = 2 3) sinx + sin5x = 0 4) 3 – 4cos2x = 0 5) sinx – 7cosx = 0 6) 3sin2x + sinx cosx = 2cos2x 7) 3sin2x
– 8) tg2x
= 9) 1 – 2sin 10) sin2x = sin5x 11) cos3x = sinx 12) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 13) sin2x sin6x = cosx cos3x 14) 15) sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2 16) cos2x – sin2x = 3,5 17) 4sinx + 5cosx = 6 18) sinx + cosx = 2,5 + 5sinx cosx 19) 20) 21) 22) (sinx + 23) |
1) cos2x + 3sinx = 2 2) tgx + ctgx = – 2 3) cosx + cos5x = 0 4) 1 – 4sin2x = 0 5) 5sinx + 6cosx = 0 6) 4sin2x = 3sinx cosx + cos2x 7) 2sin2x
– 8) ctg2x
= 9) 2cos 10)cos4x = cos6x 11) sin3x = cosx 12) sinx – sin3x – sin5x + sin7x = 0 13) cos3x cos6x = cos4x cos7x 14) sin3x + 15)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 16) sin4x + cos4x = 2,5 17) 3sinx + 5cosx = 4 18) sinx – cosx + 5sinx cosx = 1 19) 20) 21) 22) 23) 2sin7x + |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
|
1) sinx < 1/2 2) cos2x > 0 3) tg(2x – п/3)< 4) sinx > cosx 5) 3 – 4cos2x > 0 6) 7) cos2x+5cosx+3 |
1) cosx > – 1/2 2) sin3x < 0 3) tg(2x + п/6)> 4) sinx < cosx 5) 1 – 4sin2 x < 0 6) 7) 2sin2x+3sinx–2 |
17) 2tg2x 18) 19) cosx – sinx – cos2x > 0 20) 21) 22) logxcos2x > 0 23) logcosxsin2x |
8*)
;
9)
> cos2x; 10)
; 11)
12*) log2(cos2x – 1/2 cosx) 
– 1 13*) 0,2cos2x
– 25-cos
x < 4
(125)-0,5
14*) сos2x + sin2x + cosx – sinx 1, при – п/2 < x <
п/2
15*) Найти ООФ: 
16*) Найти решения неравенства 
, удовлетворяющих условию 
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Наибольшее и наименьшее значения
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
|
а) f(x) = x3 – 2x2 + x – 3, [1/2; 2] б) f(x) = 1/2 sin3x , [4п/9; п] в) f(x) = г) f(x) = д) f(x) = |
а) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1, [– 4; – 1/3] б) f(x) = 1/3 сos2x, [п/6; п] в) f(x) = г) f(x) = д) f(x) = |
2) При каком значении х функция у = х3 – х2 [ у = х4 + х3] на отрезке [0,5; 1] ( [– 1; – 0,5] ) принимает наименьшее значение ?
3) Найдите область значений функции.
1) f(x) = 
; 2) f(x) = 
;3) Д – ть: 
4) Hаибольшее значение функции f(x) = – x2 + bx + c равно 7, а значение с на 25% меньше b. Найти положительное значение b.
4) Hаименьшее значение функции f(x) = x2 + bx + c равно 1, а значение с на 25% больше b. Найти положительное значение b.
5) Найдите наименьшее [ наибольшее] значение функции на промежутке
|
f(x) = 3х4 – 8x3 + 6x2 + 5, (– 2; 1) |
f(x) = 4х5 – 15х4 – 3, (– 1; 1) |
6) В каких пределах изменяются значения функции?
|
f(x) = cosx + 1/2 cos2x, x |
f(x) = sinx + 1/2 sin2x, x |
7) Площадь прямоугольника равна 81 см2 [ 25 см2 ]. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.
8) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см [60 см]. При каком значении боковой стороны [ высоты, проведённой к основанию ], площадь треугольника наибольшая?
9) Число 24 [ 18 ] представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что
произведение их квадратов принимает наибольшее значение.
[сумма их квадратов принимает наименьшее значение.]
10) Требуется изготовить закрытый [ открытый ] цилиндрический бак ёмкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?
11*) Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объёме имеет наименьшую полную поверхность.
12*) Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объёме имеет наименьшую площадь боковой поверхности.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Производная
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти производные функций
|
а) f(x) = 5x3 – 3x9 б) f(x) = 6 в) f(x) = г) f(x) = 1/6 х3 – 0,5х2 – 3х + 2 д) f(x) = ж) f(x) = е –
5х з) f(x) = и) f(x) = ln(2x +
1) к) f(x) = ln cos л) f(x) = log3(2x2 – 3x + 1) м) f(x) = cos(5 – 3x) н) f(x) = ctg(2 – 5x) о) f(x) = 2sin3x cos3x п) f(x) = log |
а) f(x) = 2x7 + 3x3 б) f(x) = 6 в) f(x) = г) f(x) = – 1/6 х3 +1,5х2 +5х – 3 д) f(x) = ж) f(x) =
е – 0,3х з) f(x) = и) f(x) = ln(3x –
4) к) f(x) = ln sin л) f(x) = log1/2(3x2 – 2x + 50) м) f(x) = sin(3 – 2x) н) f(x) = tg(4 – 3x) о) f(x) = cos24x – sin24x п) f(x) = log |
2) Найти значение выражения
|
а) f '(0,5), если f(x) = б) f '(– п/4), если f(x) = 3sin2x в) f '(1) + f(1),
если f(x) = д) f '(0) + f ' |
а) f '(– 0,5), если f(x) = б) f '(– 3п/4), если f(x) = 5сos2x в) f '(1) – f(1),
если f(x) = д) f'(0) + f' |
3) Решите уравнение у '(х) = 0, если
|
а) у = б) у = ln sinx |
а) у = б) у = ln cosx |
4) Решите неравенство f '(x) < 0 [ f '(x) > 0 ], если
|
|
|
5) При каких значениях х функция не является дифференцируемой?
|
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение касательной
Вариант № 1 Вариант № 2
1)Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0.
|
а) f(x) = – x2 + 6x + 8, x0 = – 2 б) f(x) = e0,5x, x0 = ln4 |
а) f(x) = – x2 – 4x + 2, x0 = – 1 б) f(x) = ln(2x – e), x0 = e |
2) Найдите уравнение касательной к графику функции
|
f(x) = x2 – 4x + 5 |
f (x) = x2 + 3x + 5 |
если эта касательная проходит через точку (0; 4) [ (0; 1) ] и абсцисса точки касания положительна [ отрицательна ].
3) К графику функции у = 
[ у = 
] проведены
две параллельные касательные, одна из которых проходит через
точку графика с абсциссой х0 = – 1 [ х0 = 1 ]. Найдите
абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной
функции.
4) Какой угол (острый, прямой или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точках – 1; 0; 1?
|
у = х3 – х2 |
у = х2 – х3 |
5) В какой точке касательная к графику функции у = – х2 + 4х – 3 параллельна оси абсцисс?
5) В какой точке касательная к графику функции у = 0,5х2 + 1 параллельна прямой у = – х – 1 ?
6) Прямая у = х – 2 [ у = – х + 3] касается графика функции у = f(x) в точке х0 = – 1 [ х0 = – 2 ]. Найдите f(– 1) [f(– 2) ].
7) Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции у = log4(x – 2) [ у = log3(5 – x) ] в точке х0 = 3 [ х0 = 4 ] пересекает ось Оу.
8) При каком значении р прямая у = ех + р [ у = 2ех + р ] является касательной к графику функции f(x) = lnx ?
9) При каком значении р прямая у = 3 + х [ у = 4 – х ] является касательной к графику функции f(x) = e x – p [ f(x) = e – x – p ] ?
10) Найдите уравнение касательной к графику
функции 
если эта касательная проходит через точку (– 0,5; 0)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Исследование функций
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти стационарные (критические) точки функции.
|
f(x) = – x3/3 + x2/2 + 2x – 3 |
f(x) = – x3/3 – x2/4 + 3x – 2 |
2) Найти точки экстремума функции.
|
f(x) = 0,5х4
– 2х3; f(x) = xe |
f(x) = 1,5х4
+ 3х3; f(x) = x(1/e) |
3) Найти экстремумы функции.
|
1-в) f(x) = |
2-в) f(x) = |
3-б) f(x) = |
4) Найти промежутки убывания функции.
|
1-в) f(x) = х3 – 6х2 + 5 |
2-в) f(x) = х3 + 9х2 – 4 |
3-б) f(x) = lg sinx |
5) Найти промежутки возрастания функции.
|
1) |
2) |
3-б) |
6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.
|
1) у = |
2) у = |
3-б) у = |
7) При каком значении р функция имеет экстремум в точках х1 и х2 ?
|
f(x) = |
f(x) = |
8) Постройте график функции.
|
а) у = х3 – 12х + 2 б) у = в) у = – х4 + 2х3 + 2 г) у = 3х5 – 5х3 + 1 д) у = |
а) у = – х3 + 3х + 1 б) у = в) у = х4 – 2х3 г) у = 10х6 – 12х5 – 15х4
+ 20х3 д) у = |
а) у = cos2x – 2cosx б) у = в) у = 10 г) y = д) у = |
е*) у = 
. Сколько
действительных корней имеет уравнение у = С ?
9*) При каком значении параметра р значения функции у = х3 – 6х2 + 9х + р в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, являются членами геометрической прогрессии?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Интеграл
Вариант № 1
2) При каком значении р : 
Вариант № 2
2) При каком значении р : 
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Первообразная
Вариант № 1 Вариант № 2
|
1) Найти первообразные функций) f(x) = а)
б) f(x) = в) f(x) = г) f(x) = д) f(x) = e) f(x) =( з) f(x) = к) f(x) = л) f(x) = м) f(x) = |
а) f(x) = б) f(x) = в) f(x) = г) f(x) = д) f(x) = e) f(x) =( з) f(x) = к) f(x) = л) f(x) = м) f(x) = |
2) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через данную
точку. 1) f(x) = 2sin3x, М(п/3; 0); 2) f(x) = 3сos2x, М(п/4; 0)
3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 3х – 1 [ f(x) = 2х – 4], для которой уравнение F(x) = 5 [ F(x) = 1 ] имеет 2 равных корня.
4) Найти те первообразную функции f(x) = х2 – 5х + 3 [ f(x) = х2 – 2х + 1 ], графики которых касаются прямой у = – 3х – 1 [ у = 4х – 2].
5) В каких точках касательная к у = 1/3х3 – х2 – х + 1 параллельна у = 2х – 1?
6) Построить: f(x)=
; у=2sin
; y=sin2(log5(2–x)) + cos2(log5(2–x))
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь криволинейной трапеции
Вариант № 1 Вариант № 2
Вычислите площади фигур, ограниченных графиками
|
1) у = – х2 + 4х – 3, у = 0 1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2 2) у = х2 + 4х + 10, х = 0 и касательной в точке х0 = – 3 3) y = sinx, y = cosx, x = п/4, х = п 4) f(x) = 4x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (– 1; – 4). 5) f(x) = – 2x + 4, F(x), x = 1, если график функции f(x) является касательной для графика F(x). 6) у = 7) у = ех, у = е2, х = 0 8) y = 9) y = |
1) у = – х2 + х + 2, у = 0 1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2 2) у = х2 – 2х + 5, х = 0, и касательной в точке х0 = 2 3) y = sinx, y = cosx, 4) f(x) = 2x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (3; 6). 5) f(x) = – 2x – 4, F(x), x = – 4, если график функции f(x) является касательной для графика F(x). 6) у = 7) у = е -х, у = е, х = е 8) y = 9) y = |
10) Найти р, если известна площадь фигуры, ограниченной графиками
у = 
, у = рх2, S = 
у = , у = рх, S = 4,5
11) В каком отношении парабола у = 
х2 [ у = х2 ]
делит площадь круга
х2 + у2 
8 [ х2 + у2 2 ]?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Итоговая контрольная работа.
1)Найти: а)sin(arccos4/5);
б)cos(arcsin1/6);
в)cosxcosy, если
х=
,у=
г) 
; д) tg
, если 
; е) 
ж) 
, если tg
з) (1/9)
и) lg(x3 + 8) – 0,5lg(x2 + 4x + 4) – lg(x2 – 2x + 4)
2) Решить уравнения.
а) arсcos(x – 1)
= п/4 б) arctg(4x + 2) = –
п/6 в) 
г) 
д) logx – 1(x2 – 5x + 10)
= 2 е) 
ж) 
3) Решить неравенства. а)sinx+
cosx <0; б)sin2x
;в)2cos2x+5cosx–
3<0
г)5lgx – 3lgx – 1 < 3lgx + 1 – 5lgx – 1; д)log2(9 – 2x) < 3 – x; е)2logx25 – 3log25x > 1
4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = 1 + sinx в точке с абсциссой х0 = п.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Основы геометрии
1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона
равна с; б) основание равно р
2) Стороны параллелограмма 6 и 10см, а острый угол
равен 
. Найти S.
3) Длина тени дерева 10,2м, а длина тени человека ростом 1,7м равна 2,5м. Найти высоту дерева.
4) В треугольнике АВС: 
см.
Найти СВ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки М; Р; К; Т – середины соответствующих отрезков ВС; DС; АD и АВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника МРКТ, если
АС = 10см, ВD = 16см.
3) Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD.
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки Е; М; К; Р – середины соответствующих отрезков АВ; АС; DС и DВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника ЕМКР, если
ВС = 8см, АD = 12см.
3) Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых МТ и СD.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
1) АВСК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости АВС, МА = МС.
Докажите,
что АС
ВМК.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС
(
). Докажите, что треугольник МСВ –
прямоугольный с гипотенузой МВ.
1) ЕВРК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости ЕВР, МВ = МК.
Докажите,
что КВЕМР.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите, что треугольник МВС – прямоугольный с гипотенузой МС.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Прямая
МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, МD – высота этого
треугольника. Докажите, что РDВК. Найдите площадь
треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, 
.
Прямая ВР перпендикулярна к плоскости параллелограмма АВСD, ВК – высота параллелограмма, проведённая к DС. Найдите площадь треугольника DРС, если ВР = 6см, КР = 10см, SАВСD = 40см2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллелепипед
Стороны
основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними 
. Диагональ большей боковой грани
10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности
параллелепипеда.
В
основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и
углом 
. Меньшая диагональ параллелепипеда
13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности
параллелепипеда.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Боковое
ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью
основания угол 
. Найдите площадь боковой и
площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
Боковое
ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой угол . Найдите площадь боковой и площадь
полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Многогранники
1) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние от вершины верхнего основания куба до центра нижнего основания равно р.
2)
Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 15см и углом
между ними . Высота призмы 11см. Найдите площадь
боковой и площадь полной поверхности призмы.
3)
Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если
двугранный угол при стороне основания равен 
, а
радиус окружности, описанной около основания, равен 2см.
1) Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна р.
2)
Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 3см и углом
между ними . Высота призмы 15см. Найдите площадь
боковой и площадь полной поверхности призмы.
3)
Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если
её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
1)
Найдите координаты вектора 
, 
2)
Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
3) Точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.
4)
Даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора 
.
1)
Найдите координаты вектора , 
.
2)
Даны 
. Найдите координаты
вектора 
.
3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;–4;2), В(–3;2;–4), С(1;3; –1). Найти длину медианы СМ.
4)
Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Скалярное произведение
б)
.2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если
а)
б) 
3) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно р. Вычислите:
а) угол между прямыми АВ1 и ВС1 (А1В и АD1)
б) расстояние между серединами отрезков АВ1 и ВС1 (АС1 и В1С)
4)
Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А(
;1;0);В(0;0;
); С(0;2;0); D(
;1;) б) А(6;–4;8); В(8;–2;4);
С(12;–6;4); D(14;–6;2)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
Основание прямой призмы – ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.
Основание
прямой призмы АВСDА1В1С1D1 –
параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, 
ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ
DС1 боковой грани равна 13см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объёмы тел
1)
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна
12см и составляет с боковым ребром угол .
2)
В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный
треугольник с катетом m и противолежащим
ему углом 
.
Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.
1)
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой
равно 12см и образует с высотой угол .
2)
В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна
из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол 
. Найдите объём цилиндра, если его
высота равна h.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.
б)
Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если AC
BD, AC = 10см; BD = 12см.
1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2)
а) Дан прямоугольник ABCD, О –
точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О
лежат в плоскости 
. Докажите, что точки С и D
также лежат в плоскости .
б)
Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллельность прямой и плоскости
Дан
треугольник ABC, 
. Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника
ABC.
а) Докажите,
что 
; б) Найдите длину отрезка АС, если
ЕК = 4см.
Дан
треугольник ABC, 
. Через прямую МК проходит плоскость 
, параллельная прямой AC.
а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.
б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
1)
, М и К – произвольные точки плоскости 
.
Докажите,
что АB
МК.
2) Треугольник АВС – правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.
а) Докажите, что МА = МВ = МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6см, МО = 2см.
1)
Дан треугольник АВС. 
. Докажите, что МАВС.
2) Четырёхугольник АВСD – квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD.
б) Найдите МА, если АВ = 4см, ОМ = 1см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Из
точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4см, к плоскости прямоугольника АВСD.
Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 
и 
соответственно.
а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.
Из
точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6см, к плоскости квадрата
АВСD.
Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 
.
а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.
б) Найдите сторону квадрата.
в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
Сторона
основания правильной четырёхугольной призмы равна р, диагональ призмы
образует с плоскостью основания угол . Найдите:
а) Диагональ призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.
Диагональ
правильной четырёхугольной призмы равна р и образует с плоскостью боковой
грани угол 
. Найдите:
а) Сторону основания призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Высота
правильной треугольной пирамиды равна 
,
радиус окружности, описанной около её основания, 
.
Найдите:
а) Апофему пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием; в) Площадь боковой поверхности пирамиды; г) Плоский угол при вершине пирамиды.
Апофема
правильной четырёхугольной пирамиды равна ,
высота пирамиды равна 
. Найдите:
а) Сторону основания пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием;
в) Площадь поверхности пирамиды; г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
1) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
2) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
3) Найдите
значения m и n, при
которых векторы 
и 
коллинеарны.
1) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
2) Даны 
. Найдите координаты вектора 
.
3) Найдите
значения m и n, при
которых векторы 
и 
коллинеарны.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности цилиндра
1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2)
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 
. Высота цилиндра равна 5см, радиус
цилиндра - 
см.
Найдите площадь сечения.
1) Развёртка
боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна
8см, а угол между диагоналями - . Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
2) Сечение
цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает
от окружности основания дугу в 
. Радиус цилиндра равен
4см. Найдите площадь сечения.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5см, 5см и 5см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите
объём прямой призмы АВСА1В1С1, если 
.
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2см, 6см и 6см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите
объём прямой призмы АВСА1В1С1, если 
.
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
|
Основание прямой призмы |
Высота |
Sбок. |
Sполн. |
|
Треугольник
АВС, АС=15см, ВС=20см, |
12см |
|
|
|
Параллелограмм
АВСК,АВ=3,АК=4, |
8 |
|
|
|
Прямоугольник, стороны которого 14см и 5дм. |
9см |
|
|
|
Трапеция
АВСК,АВ=7см,АК=3см, |
8см |
|
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильная пирамида
В n-угольной правильной пирамиде a – сторона основания, к – боковое ребро, h – высота, p – апофема
|
|
n |
a |
к |
h |
|
n |
a |
h |
p |
|
А) |
3 |
12см |
15см |
|
Д) |
3 |
18см |
13см |
|
|
Б) |
4 |
13дм |
18дм |
|
Е) |
3 |
m |
n |
|
|
В) |
3 |
m |
n |
|
Ж) |
4 |
6дм |
6 |
|
|
Г) |
4 |
m |
n |
|
З) |
4 |
m |
n |
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильные многогранники
|
Тип многогранника |
Число граней |
Число вершин |
Число рёбер |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
12 |
30 |
|
|
8 |
|
12 |
|
|
12 |
20 |
|
В цилиндре r – радиус основания, h – высота. Найти х и у и заполнить таблицу.
|
|
r |
h |
Sбок. |
Sцил. |
|
А) |
1см |
2см |
|
|
|
Б) |
2см |
1см |
|
|
|
В) |
25м |
10,5м |
|
|
|
Г) |
|
7см |
|
|
|
Д) |
|
|
28см2 |
40см2 |
|
Е) |
х |
а |
у |
2у |
|
Ж) |
|
х |
28см2 |
|
|
З) |
|
х |
|
12 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности конуса
В цилиндре r – радиус основания, h – высота, l - образующая. Найти х и заполнить таблицу.
|
|
r |
h |
l |
Sбок. |
Sкон. |
|
А) |
1см |
|
2см |
|
|
|
Б) |
12см |
5см |
|
|
|
|
В) |
|
3м |
5м |
|
|
|
Г) |
х |
х |
|
36 |
|
|
Д) |
|
а |
х |
|
|
|
Е) |
|
|
27см |
|
810 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием р – сторона основания, с - высота. Заполнить таблицу.
|
|
А) |
Б) |
В) |
Г) |
Д) |
Е) |
|
р |
3 |
|
6 |
2 |
3 |
|
|
с |
4 |
11 |
|
|
|
l |
V |
|
1,76 |
122,4 |
12 |
|
Q |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
Дан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат.
|
|
А) |
Б) |
В) |
Г) |
Д) |
Е) |
|
Сторона квадрата |
|
|
3,5 |
|
|
|
|
Диагональ квадрата |
5 |
|
|
2 |
d |
|
Периметр квадрата |
|
4 |
|
|
|
P |
Высота паралл-да |
4 |
9,8 |
|
|
c |
|
Объём паралл-да |
|
|
12,74 |
28,4 |
|
V |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение сферы
а)(х – 4)2 + (у – 2)2 + (z + 9)2 = 25; б) (х – 3,6)2 + (у + 0,75)2 + (z + 777)2 = 1,21
а)(х + 1)2 + (у – 2)2 + (z – 3)2 = 9,если А(-1;-1;3)
б)(х - 2)2 + (у + 3)2 + (z + 4)2 = 16, если А(4;-3;-2)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём цилиндра
Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём цилиндра. Заполнить таблицу.
|
|
r |
h |
V |
|
А) |
3 |
5 |
|
|
Б) |
2 |
3 |
|
|
В) |
0,5 |
9 |
|
|
Г) |
4 |
|
6,4 |
|
Д) |
|
3,6 |
120 |
|
Е) |
|
|
3 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём наклонной призмы
|
|
|||
|
Параллелограмм АВСК, АВ=3см, АК=5см, |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём конуса.
Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём конуса. Заполнить таблицу.
|
|
А) |
Б) |
В) |
Г) |
Д) |
Е) |
|
h |
3cм |
10м |
|
2,5м |
m |
|
|
r |
1,5см |
|
4 |
1,5м |
|
а |
V |
|
94,2м3 |
48 |
|
р |
р |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём шара
Пусть V – объём шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Заполнить таблицу.
|
64 |
||||||
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём тел вращения
Пусть R- радиус, l- образующая,D- диаметр,H- высота, V- объём, S– площадь поверхности
|
|
R |
l |
D |
H |
Sосн. |
Sполн. пов. |
V |
|
конус |
|
а |
|
в |
|
|
|
|
конус |
с |
|
|
р |
|
|
|
|
конус |
|
в |
а |
|
|
|
|
|
конус |
|
|
|
2 |
25 |
|
|
|
цилиндр |
|
в |
а |
|
|
|
|
|
цилиндр |
|
|
|
с |
|
|
|
|
цилиндр |
а |
в |
|
|
|
|
|
|
цилиндр |
|
|
с |
р |
|
|
|
|
шар |
|
Нет |
а |
Нет |
Нет |
|
|
|
шар |
|
Нет |
|
Нет |
Нет |
100 |
|
|
шар |
с |
Нет |
|
Нет |
Нет |
|
|
|
шар |
|
Нет |
|
Нет |
Нет |
|
36 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 665 188 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Виноградова Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.