Разработка уроков алгебры и начал математического анализа по теме " Производная"

Тема:        Приращение функции (1 УРОК)

Цели урока:

1. Формирование понятий приращения функции и приращения аргумента, секущей, геометрического смысла приращения функции;
2. Развитие вычислительных навыков;
3. Воспитание познавательного интереса к предмету.

Тип урока: формирование новых понятий.

Метод обучения: обучающая беседа.

Ход урока

I. Организационный момент:

Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.

II. Анализ контрольной работы по теме: “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”/

Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация знаний:

1. Формула периметра прямоугольника;
2. Формула площади прямоугольника;
3. Определение функции, определение тангенса угла;
4. Как найти значение функции в данной точке?

Пример: Найти значение функции f(x) = x² + 2x в точке x₀ = -3.

Решение: f(x₀) = f(-3) = (-3)² + 2∙(-3) = 9 - 6 = 3

Ответ: f(-3) = 3

IV. Изучение нового материала:

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение.

Например: Дан график функции у = 4 -х²

По графику найти значение функции  в точке х1 = 1 и х2 = 2. Разность х2 – х1 = 2 - 1 = 1; ∆x =1 f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 - 3 = -3 f = -3

В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения f этой функции при заданных изменениях аргумента х.

При сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f(x) - f(x₀) через разность х - х₀, пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение аргумента”.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х - х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается х. Таким образом, х = х - х₀, откуда следует, что х = х₀ +х.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х) – f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению х, и обозначается f, т. е. по определению

f = f (х₀+х) – f(x_0), откуда f (х₀ + х) = f(x₀) + f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х₀ приращение f есть функция от х.

Пример 1:

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если

Решение:

Пример 2: Найдите приращение Δf функции f(х)= в точке х₀, если приращение аргумента равно Δх.

Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=

Пример 3.

Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ΔV, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Δх.

По определению приращения х=а+Δх, тогда ΔV=V(х)-V(а)= (а+Δх)³-а³=3а²Δх+3а(Δх)²+(Δх)³.

Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять, рассмотрев рисунок. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + в. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀) и (х; f(x)), равен tga. ABC – прямоугольный.

 Закрепление материала: № 177 (а,1)

Дано: прямоугольник, а=15 м, в=20м, Δа=0,11м

Найти: ΔP,ΔS

Решение: Р=2(а+в)  ΔP=P-Р₀,  Р₀=2( 15+20)=70м, Р=2(15,11+20)=70,22м, ΔP=70,22-70=0,22м

S=ав, ΔS=S-S₀,  S₀=15*20=300м², S=15,11*20=302,2м²,  ΔS=302,2-300=2,2 м²

Ответ: 0,22м,  2,2м²

178(а,в)

А)Дано: f(х)=, х₀=-2, Δх=0,1

 Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=

В)Дано: f(х)=3х+1, х₀=5, Δх=0,01

Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=3(5+0,01)+1-(3*5+1)=16,03-16=0,03

 180 (устно)

VI. Домашнее задание: п.12, №177(б), 178(б, г)

VII. Подведение итогов урока.

№ 178

Б) f(х)=2х²-3, х₀=3, Δх=-0,2, Δf-?   Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(3-0,2)-3-2*3+3=-0,4

Г) f(х)=, х₀=2, Δх=0,1, Δf-?   Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=0,205

№177

Б)R₀=2см, 1) ΔR=0,2 см, 2)ΔR 3) ΔR=0,1 см 4)h      ΔS-?

S=πR²,    ΔS=S-S₀

1) S₀=3,14*2²=12,56 см²   S=3,14*(2+0,2)²=15,1976 см², ΔS=15,1976-12,56=2,6376 см²

2)  S₀=3,14*2²=12,56 см²   S=3,14*(2+ΔR)²=3,14*(4+4ΔR+ΔR²)=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR² см², ΔS=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR² -12,56=12,56ΔR+3,14ΔR² см²

3)  S₀=3,14*2²=12,56 см²   S=3,14*(2+0,1)²=13,8474 см², ΔS=13,8474-12,56=1,2874 см²

4)  S₀=3,14*2²=12,56 см²   S=3,14*(2+h)²=3,14*(4+4h+h²)=12,56+12,56h+3,14h² см², ΔS=12,56+12,56h+3,14h² -12,56=12,56h+3,14h² см²

Тема : Приращение функции (2 урок)

Цель: Закрепить понятия приращение аргумента, приращение функции

Ход урока

1.       Орг часть

2.       Проверка знаний

1.       Устный счет ( таблицы «вычисление степеней»)

2.       Фронтальный опрос

·         Что называют приращением аргумента? Записать формулу

·         Что называют приращением функции? Записать формулу

·         Чему равен угловой коэффициент секущей к графику ?

Работа у доски

№179 (г)

f(х)=, х₀=1,22, х=1,345, Δf-? Δх-? Δх=х-х₀, Δх=1,345-1,22=0,125

   Δf=f(х)-f(х₀)=1,3-1,2=0,1

184(в)

f(х)=, х₁=1,х₂=2, k-? угол α- тупой или острый?

k=tg α=

Δf=f(х₂)-f(х₁)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5

Δх= х₂-х₁=2-1=1

k=1,5:1=1,5 ; α-острый

Самостоятельная работа

№ 179 (а)

f(х)=cos²х, х_0=,х=, Δf-? Δх-? Δх=х-х₀, Δх=,   Δf=f(х)-f(х₀)= 

VI. Домашнее задание: п.12, №179(б), 184(б)

VII. Подведение итогов урока.

№179

Б) f(х)=4х-х², х₀=2,5, х=2,6, Δf-? Δх-?

Δх=х-х₀, Δх=2,6-2,5=0,1

 Δf=f(х)-f(х₀)=4 *2,6-2,6²-4*2,5+2,5² =10,4-6,76-10+6,25=-0,11

№184 (б)

f(х)=, х₁=-1,х₂=-2, k-? угол α- тупой или острый?

k=tg α=

Δf=f(х₂)-f(х₁)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5

Δх= х₂-х₁=-2+1=-1

k=1,5:(-1)=-1,5 ;-1,7 < tg α <-1    120⁰ <  α < 150⁰     α-тупой

             Тема: Понятие о производной функции.( 3урок)

          Цель: ввести понятия « касательная к графику», « мгновенная скорость движения», « производная», «      дифференцирование»;рассмотреть алгоритм нахождения производной, формулы дифференцирования.

Ход урока

1.       ОРГ часть

2.       Устный счет

3.       Объяснение нового материала

                                           

4.Первичное закрепление

№191 (а)

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,5)²-2*1²=2,5          f´=Δf:Δх=2,5:0,5=5

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,1)²-2*1²=0,42         f´=Δf:Δх =0,42:0,1=4,2

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,01)²-2*1²=0,0402         f´=Δf:Δх =0,0402:0,01=4,02

№ 192 (а)

 при х₀→0

При х₀=2

При х₀=-1

V. Домашнее задание: п.13, №191(б), 192(б)

VI. Подведение итогов урока.

Тема: Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.(5 урок)

Цель: Ввести понятия « предельного перехода»,» непрерывной функции»; рассмотреть правила предельного перехода; рассмотреть  построения функций не являющихся непрерывными;

 Развивать вычислительные навыки;

Воспитывать внимательность при чтении , выполнении задания

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

• Устный счет (арифметические действия дробей с разными знаками; чтение графиков)
• Фронтальный опрос
• Что называют приращением аргумента в точке х₀? Как обозначают приращение аргумента? Найдите приращение аргумента в точке х₀, если х=4, а х₀= -2. Чему равно х₀, если х=3,6, Δх=0,2.
• Что называют приращением функции в точке х₀? Как обозначают приращение функции? Выразите приращение функции в точке х₀ через  х₀ и Δх.
• Какую прямую называют секущей к графику? Чему равен угловой коэффициент секущей?
• Какую прямую называют касательной к графику функции? Чему равен угловой коэффициент касательной? Какой знак имеет угловой коэффициент , если угол между касательной и осью х тупой? острый? Равен 0⁰?
• Дайте определение производной функции f в точке х₀
• Что называют дифференцированием?
• Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?

·         Работа по карточкам

               

1.разность f(х)-f(х₀)

2. а) Л    б) И

3.а) Δf=2(х₀₊Δх₎²-1-2х₀²+1=2х₀²+4 х₀Δх+2Δх²-2х₀²=

=4 х₀Δх+2Δх²

б) Δf=k(х₀₊Δх)+b- kх₀-b= kΔх

4) а)Δх=2, Δf=9-5=4

  б) Δх=, Δf=

5) 1)-  2)0  3)0    4.0+

3. Объяснение нового материала

4. Первичное закрепление

№ 197 (устно)

а)да,да,да   б) да,нет,да   в) да,да,нет   г) да,да,да

№198 (а,в)

№200(а,в)

А)         в)

f(0)→4                                                                  f(-2)→5

f(2)→2                                                                   f(0)→4

Домашнее задание п 14  №198 (в), 200 (б,г) 203(б)

Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции(7 урок)

Цель:

 Рассмотреть правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

1)  Устный счет ( таблица свойства степеней)

2)  Фронтальный опрос

o   Дайте определение производной функции f в точке х₀

o   Что называют дифференцированием?

o   Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?

o   Что называют предельным переходом?

o   Какая функция называется непрерывной в точке х₀?  ( № 197)

3. Объяснение нового материала

Выведем несколько правил вычисления производных.

Правило 1.Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцирема в этой точке и

(u+v)´=u´+v´

Лемма. Если функция f дифференцируемы  в точке x0, то она непрерывна в этой точке:Δf→0, т. е.

f (x0+Δx)→f (x₀ ) при Δx→0.

Правило 2. Если функции   u и v дифференцируемы в точке x₀, то их произведение  дифференцируемо в этой точке и

(uv)´ = u´v+uv´.

Следствие. Если функция u дифференцируема в точке x₀, а  С-постоянная, то функция  Сu  дифференцируема в этой точке и

(Сu )´= Сu ´

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное  также   дифференцируемо в точке х₀  и

Пример1. найдем производные функций : а) f(x)=х²-    б) f(x)=

а) (х²- )´=(х²)´-( )´=2х-(- )=2х+;

б) ()´=

Производная степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции хⁿ, где n- натуральное число, большее 1, такова:

(хⁿ)´=nх^n-1

Пример 2. Найдем производные функций : а) f(x)=х ^-5; б) f(x)=3х⁷-

а) (х ^-5)´=-5х^-6

б) (3х⁷-)´=21х⁶-5(-3)х^-4=21х⁶+15х^-4

4. Первичное закрепление

№208 ( 1 строчка)

    f´(х)=2х+3х²     f´(х)= -

№209 ( 1 строчка)

 f´(х)=3х² (4+2х-х²)+х³(2-2х)=12х²+6х³-3х⁴+2х³-2х⁴=-5х⁴+8х³+12х²

 f´(х)=

№210 (а,в)

    f´(х)=

    f´(х)= 

№ 211 ( 1 строчка)

 

 f´(х)= 8х⁷-12х³-1      f´(х)=

4. Итог урока

Домашнее задание п 15  №  208 ( 2 стр); 209 ( 2 срт);210 ( б,г) 211 ( 2 стр)

№208

 f´(х)=2х+3    f´(х)=3х²

№209

 f´(х)=2х(3х+х³)+х²(3+3х²)=6х²+2х⁴+3х²+3х⁴=9х²+5х⁴

 f´(х)=2(1-х³)+(2х-3)(-3х²)=2-2х³-6х³+9х²

№210

 f´(х)=

 f´(х)=

№ 211

  f´(х)= 7х⁶-20х⁴+2                                              f´(х)=х- 9х^-4

Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции( 8 урок)

Цель:

 Закрепить правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

1.Устный счет ( таблица свойства степеней, таблица « Найдите производную»)

2.Фронтальный опрос (записать на доске формулы производных суммы, разности, произведения, частного,     степенной функции)

3. Работа у доски в тетрадях

№212 (а)

         f´(x)= 2х-3    f´(-0,5)=2*(-0,5)-3=-4    f´(2)=2*2-3=1

№213 ( 1строчка)

  

      а)   f´(x)= 4х-1;               4х-1=0;   х=0,25     Ответ: 0,25

б)  f´(x)= –х²+2х;   –х²+2х=0;    х(-х+2)=0;  х=0 или  х=2    Ответ: 0; 2

№ 214 ( 1 строчка)

      а)   f´(x)=4-6х ;  4-6х<0;    х>    Ответ: (;+)

          б)  f´(x)=3х²+3х ; 3х²+3х<0; 3х²+3х=0; х=0; х=-1                                Ответ: (-1;0)

Самостоятельная работа

   Найдите производные функций:

А) f(x)=2х⁵-   б) f(x)=(2   в) f(x)=

Ответ: а)10х⁴+8х ^-3   б) в)

Итог урока

Домашнее задание: № 212(в,г) 213 ( 2 строчка) 214 ( 2 строчка)

№212

                                 

f´(x)=  ;  f´()= ;  f´()=3 .                       f´(x)=   f´(-3)=-9   f´(0)=    

№213

  f´(x)=х²-3х-4; х²-3х-4=0;  D=25; х₁= 4  х₂=-1   Ответ:-1; 4

 f´(x)=2-10х   2-10х=0; х= 0,2   Ответ: 0,2

№214

 f´(x)=2х-5; 2х-5<0 ; х<2,5  Ответ: ( -; 2,5)

 f´(x)=4-х²; 4-х²<0;   4-х²=0; х₁=-2 х₂=2            Ответ: ( -; -2)

Тема : Производная  сложной функции. Сложная функция (композиция функций).(10 урок)

Цель: рассмотреть правило вычисления производной сложной функции

Ход урока

1.ОРГ часть

2. Проверка знаний  ( устный счет, фронтальный опрос)

Работа по карточке

1) дифференцируемы, дифференцируема , (u+v)´=u´+v´

2) истина, ложь

3) б

4) а)10х⁹-9х^-4   б)-4· х^-5   в) 7х⁶-6х-1

г)1-20х    д)   е)

3. Объяснение нового материала

Чтобы вычислить производную сложной функции необходимо выделить в ней «внутреннюю» и «внешнюю» функции . Например,      у=f(х)=1-х²-это внутренняя функция, а g (у)=-это внешняя функция. Т.е. сложная функция h состоит из функций g и f и можно ее  представить как h(х)=g(f(х)).

Затем, вычисляют производную « внутренней»и « внешней» функций

Таким образом,

если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке у₀=f(х₀), то сложная функция h(х)= g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h´(х)= g´(f(х₀))·f´(х₀)

Т.е. производная сложной функции равна произведению производных «внутренней» и «внешней» функций

Пример 1  f(x)= (2х+3)¹⁰⁰   f´(x)=2·100·(2х+3)⁹⁹ =200·(2х+3)⁹⁹

Пример 2 f(x)=    f´(x)=6х·

4. Первичное закрепление

№224 ( 1 строчка)

         f´(x)= 16(2х-7)⁷      f´(x)= -15(5х+1)^-4

№225 (а)

         f´(x)=4,5 (3-)^-10

5. Итог урока

Домашнее задание п 16 № 224 (2 строчка) №225 (в)

№224

 f´(x)=36(9х+5)³  f´(x)= -30(6х-1)^-6

№225

 f´(x)=-15(4-1,5х)⁹

Тема : Производная  сложной функции. Сложная функция (композиция функций). (11 урок)

Цель:

Закрепить понятия « производная», « сложная функция»; правила вычисления производных ( суммы, произведения, частного, сложной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

·         Фронтальный опрос

ü  Дайте определение производной

ü  Чему равна производная суммы?

ü  Чему равна производная произведения?

ü  Чему равна производная частного ?

ü  Чему равна производная степенной функции ?

ü  Чтобы найти производную сложной функции следует представить ее в виде… ( внутренней и внешней функции)

ü  Запишите правило вычисления производной сложной функции

·              Устный счет

v  Найдите производную функций

f(x)= х²+х³      f(x)= х²+3х-1   f(x)=х³+  f(x)= х⁸-3х⁴

v     Таблица для устного счета « решите неравенство»

v     Таблица для устного счета « Решите уравнение»

3. Работа у доски

Найдите производные функций

1) f(x)= ( 3-^-8     f´(x)=-8·( 3-^-9·(=4·( 3-^-9

2) f(x)=    f´(x)=

3) f(x)= (      f´(x)=

4. Самостоятельная работа

1. Решите уравнение f´(x)=0, если f(x)=

(f´(x)=х²-3х-4     f´(x)=0     х²-3х-4=0    Д=25   х₁=4    х₂=-1   Ответ: -1; 4)

2. Решите неравенство    f´(x)<0, если f(x)=  х²-5х

(f´(x)=2х-5      f´(x)<0      2х-5<0  х<2,5     Ответ: ( -; -2,5)

3.Найдите производную функции

А) f(x)=                                          (  f´(x)= )

Б) f(x)= ( 5х+3)¹⁰                                         (  f´(x)=50 (5х+3)⁹ )

В) f(x)= ( 2х-4)¹¹-(7+                         (f´(x)= 22(2х-4)¹⁰-5 (7+    )

5. Итог урока

 Домашнее задание № 225 (г)  230 ( б,г)

№225

Г) f´(x)= 65 ( 5х-2)¹³+24( 4х+7)^-7

 № 230

Б) f´(x)=      г) f´(x)= -15 х²(3-х³)+

Тема: Производные основных элементарных функций. Производные тригонометрических функций(12 урок)

Цель:  Ввести формулы производной синуса, косинуса, тангенса и котангенса;  применить формулы производных тригонометрических функций на практике;

Развивать вычислительные навыки;

Воспитывать

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

·     Фронтальный опрос

Чему равна производная от числа? От переменной х? от выражения kх+b? От  суммы функций? От произведения двух функций? От частного? Степенной функции? Сложной функции

·     Устный счет

o   Проверьте правильна ли найдена производная

( нет, )       ((9-6х)³)´=-18(9-6х)⁴ ( нет, -18(9-6х)³)    (ДА)

o   Найдите производную функции

у= х⁵+24х    у=(3х-4)²     у=    у=

o   Задайте формулой функцию f (х):

f´(х)=2х (  f (х)=х²)  f´(х)=5-3х²  (f (х)=5х-х³)   f´(х)= (f (х)=)    f´(х)=-2х ^-3 (f (х)=х^-2)

·     Работа по карточкам

1. постоянная, дифференцируема, (Сu)`=Сu`

2.истина, ложь

3.

4.а) -6х^-7-8х³      б)3х²         в)5х⁴-15х²+1        

г)5-20х     д)

е)

5)f´(х)= ,            f´(-1)=,            f´(t+1)=

4. Объяснение нового материала

(sin х )´=cos х               (cos х)´= -sin х                (tg х) =                     (ctg х)´=

Пример . Найти производную функции у= sin (ах+b)        у´=а соs(ах+b)       

5. Первичное закрепление ( работа у доски)

№231 ( 1 строчка)       

у´=2 соs  х                                               у´=- х          

№232 ( 1 строчка)

у´=-3sin х           у´=1-2sin х                         

№233 ( 1 строчка)

 у´= у´= -sin х-

№ 234 (а)

 

 f´(х)=         f´(0)= 0     f´(π)=0

5. Итог урока Домашнее задание п 17 № 231 ( 2 строчка)   232( 2 стр)   233 (2 стр)   234 (б)

№231у´=-0,5 cos х   у´=1,5 cos х

№232 у´=sin х      у´=2 cos х-1,5 sin х  

№233  у=    у´=     у´= - cos х

№234

f´(х)=     f´(0)= 3      f´(π)=3 

Тема : Подготовка к контрольной работе (13 урок)

Цель : Подготовить обучающихся к контрольной работе по теме « Производная»

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

Проверка домашнего задания ( устно)

Устный счет

·         Таблица « Найти производную», « Решить уравнение»

Диктант по формулам

1. Записать формулы для нахождения производной суммы, частного, произведения, сложной функции, степенной функции; производную косинуса, тангенса, синуса, котангенса.

3. Работа у доски

Что называют приращением аргумента? Функции?

1.                 Для функции у=х² найдите приращение ∆ у, если х₀=1, ∆х=0,6

х= х₀+∆х=1,6   ∆у=у(х)-у(х₀)=1,6²-1²=1,56

2.                 Найдите производную функции:

а)f(х)=          f´(х)=

  б) f(х)=                f´(х)=

 в) g (х)=4 sin х- и вычислите g´()       g´(х)=4 соs х     g´() =4 соs()=-2    

 г)h(х)=- и вычислите h´(-1)       h´(х)=

h´(-1)=-8

3.Решите уравнение, если f(х)= 

f´(х)=х²-4    g´(х)=                         

    х²-4=0 или    х₁=2    х₂=-2    х₃=0

 Ответ: -2;0;2

4. Итог урока         Домашнее задание Карточка (2 вариант контрольной работы)

1.Для функции у=0,5х² найдите приращение ∆ у, если х₀=1, ∆х=0,8

2.Найдите производную функции:

а)f(х)=            б) f(х)=       в) g (х)=3 соs х- и вычислите g´()  

г)h(х)=- и вычислите h´(1)   

  3.Решите уравнение, если f(х)=