Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка уроков по алгебре и началам математического анализа . Тема " Применение непрерывности и производной".
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

Конкурс "Законы экологии"

Разработка уроков по алгебре и началам математического анализа . Тема " Применение непрерывности и производной".

библиотека
материалов

Тема: Применение непрерывности. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств (1-й урок)

Цель: Рассмотреть свойства непрерывных функций, метод интервалов , пример функции не являющейся непрерывной, пример непрерывной функции , но дифференцируемой в данной точке;

Развивать вычислительные навыки

Воспитывать умение слушать, внимательность

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Устный счет ( таблицы для устного счета « найти производную», « решите неравенства», « работа по графикам»- определение непрерывности функции)

3. Анализ и работа над ошибками контрольной работы

4. Объяснение нового материала

Давайте вспомним определение непрерывности функции

Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f. Если функция f непрерывна в каждой точке некоторого промежутка А, то эта функция будет являться непрерывной на всем промежутке А. А сам промежуток А, называют в таком случае промежутком непрерывности функции f.


График непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе математики, можно нарисовать «не отрывая карандаш от бумаги», так как он представляет собой сплошную линию.

Как мы говорили раньше, функция , дифференцируемая в точке х0, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек

241hello_html_4fbd0a12.png

А) в точке х1-непрерывна , в х2-непрерывна

Б) в точках х1 непрерывна, в точке х2 –не является непрерывной

В) в точке х1-не является непрерывной , в х2–непрерывна Г)непрерывна в х1 и х2

242

Найдите промежутки непрерывности функции ;

hello_html_m4255414d.png ( hello_html_1754c103.gif hello_html_1c8d6e33.png hello_html_m70e8f5e6.gif



Отметим свойство непрерывных функций: Если на некотором интервале (a;b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она будет сохранять постоянный знак.

Это свойство очень легко для понимания. Функция, расположенная выше оси Ох, имеет знак «плюс», функция, расположенная ниже оси Ох, имеет знак «минус». Если линия функции не пересечет ось Ох (на оси Ох функция равна нулю), то она явно не изменит свой знак.

Метод интервалов



Одним из ярких применений свойств непрерывности функций является метод интервалов, который используется для решения неравенств с одной переменной. Пусть некоторая функции непрерывна на интервале А и обращается в нуль в конечном числе точек принадлежащих этому интервалу.

Используя свойство, приведенное выше, эти точки будут разбивать весь интервал А на промежутки, в которых функция будет сохранять свой знак. Чтобы определить знаки всех промежутков, достаточно знать знак одного любого из этих интервалов.

Пример, Решим неравенство hello_html_7a5672df.gif

hello_html_4fa8aba1.gifhello_html_75505ab6.gifhello_html_6008445f.gifhello_html_m15df83fa.png Ответ: hello_html_153d5dda.gif

244 (1 строчка)

hello_html_m5f1e9df6.png D=9, х1=1 , х2=4 hello_html_13a6d298.png Ответ:(-;1)U(4;+)

hello_html_m458c63af.png hello_html_766e380f.gifhello_html_75505ab6.gifhello_html_757e8f7.gifhello_html_m2dd0168e.png Ответ:hello_html_m1327384a.gif

246 (а)

Найдите область определения функции

hello_html_m3d268706.png hello_html_3b02621.gif,hello_html_26b277e8.gif‌‌‌|·(х-3) х3, х(х-3)-4=0, х2-3х-4=0, D=25, х1=-1 , х2=4

hello_html_fefdf51.png Ответ:[-1;3)U[4;+)

Пример функции, которая не является непрерывной

До сих пор мы сталкивались только с непрерывными функциями. Но существуют функции, которые не являются непрерывными в каждой точке, в которой они определены. Например, функция f(x) = {x}, где {x} – есть дробная часть числа х. Её график изображен на следующем рисунке.http://www.nado5.ru/images/funkcia-drobnoy-chasti-x.jpg



Легко заметить, что основное свойство непрерывности функции в точке х0 равное любому целому числу, не будет выполняться. Но в тоже время функция f(x) = {x} непрерывна во всех других точках, на которых она определена, кроме точек, где x равно целому числу. На графике такие точки отмечены выколотыми кружками.

Функции непрерывные, но не дифференцируемые в данной точке

Есть функции, которые являются непрерывными в каждой точке своей области определения. Но при этом не будут иметь производные в некоторых точках. Например, функция y=|x| непрерывна на все числовой оси, но при этом не дифференцируема в точке х = 0. Ниже представлен график этой функции.http://www.nado5.ru/images/funkcia-y-x-v-module.jpg



Итог урока Домашнее задание п 18 № 244 ( 2 строчка)242 ( 2 стр) 246 (в)


244

hello_html_202b930b.pngD=25, х1=-1 , х2=4 hello_html_3c92b865.png Ответ: [-1;4]

hello_html_4fe3db60.pngх2 , х2-7х+6=0, D=25, х1=1 , х2=6 hello_html_82b7840.png Ответ: (-;1)U (2;6)

242 ( 2 стр)

hello_html_m7b760b33.pngНайдем нули функции 2х4-3х2+4=0, х2=у,2у2-3у+4=0,D=-23, значит, нулей функции нет, D(f)=(-∞;∞)

hello_html_m3296ecae.pngНайдем нули функции: х3-80, х2; х2-5х+6=0, D=1, х1=2- посторонний корень , х2=3

hello_html_45a3401f.png, D(f)=( : D(f)=-∞;2)U(2;3)U (3;+∞)

246 (в)

hello_html_m2b32bef.pnghello_html_m1c74e3a4.gif, Найдем нули функции: hello_html_m26fed0b4.gifх, х0; х2+7х+12=0, D=1, х1=-3 , х2=-4 hello_html_3379ae11.png Ответ: D(f)=[-4;-3]U(0;+)


Тема: Применение непрерывности. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств ( 2-й урок)

Цель: Закрепить понятие « непрерывная функция», « область определение функции», решение неравенств методом интервалов ;

Развивать вычислительные навыки

Воспитывать умение слушать, внимательность

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

а)Проверка домашнего задания ( устно)

Б)Фронтальный опрос

  • Какая функция называется непрерывной ? ( приведите пример)

  • Какие свойством обладают непрерывные функции?

  • Что называют областью определения функции? ( работа по таблице)

В) Устный счет ( работа с графиками функций на определение области определения функции, определение промежутков непрерывности функции; таблица « Решение неравенств», « квадратных уравнений»)

Г)Работа по карточке

1. любой точке области определенияhello_html_m4aa54b58.png

2. а –ложь б-ложь

3. а,б

4.в

5. : D(f)=( -∞;0)U[4;+∞)


4


2


hello_html_74b26f9a.png
























      1. Работа у доски

245 а

hello_html_1f765094.pnghello_html_m58452134.gifх2+2х-3, х2+2х-30, х2+2х-3=0, D=16, х1=1 , х2=-3;

(х-2)(х-4)=0, х1=2 , х2=4

hello_html_m10bbe970.png Ответ: (-;-3)U(1;2]U[4;+∞)

236 (а)

hello_html_1033accc.png f'(х)=(х3)'·sin 2х+х3·(sin 2х)'=3х2·sin 2х+2х3·cos

Самостоятельно выполнить № 245 (б)

hello_html_25673c4d.pnghello_html_m10f01aa6.gif<0, hello_html_m10f01aa6.gif=0х2-6х+8 х2-6х+80 х2-6х+8=0 D=4 х1=2 , х2=4

8-х2+6х-8=0; -х2+6х=0 ; х(-х+6)=0; х=0 или х=6

hello_html_m304b3df.pngОтвет: (-;0)U(2;4)U(6;+∞)

236 (б)

hello_html_671a5f67.pngf'(х)=4х3+hello_html_2f9db93b.gif

Итог урока Домашнее задание п 18 № 245 ( 2 строчка) 236 ( 2 строчка) 246 (б)

236

hello_html_mba07900.png f'(х)=hello_html_m49d724b8.gif

hello_html_m542d5125.png f'(х)=hello_html_46f24adb.gif

245

hello_html_m102db539.pnghello_html_398442c7.gif0, hello_html_398442c7.gif=0х2+5х+4 х2+5х+4≠0 х2+5х+4=0 D=9 х1=-1 , х2=-4

2+5х-х2-5х-4=0 ; х2-4=0 х1=-2 , х2=2

hello_html_153f4ebd.pngОтвет: (-; -4)U[-2;-1)U[2;+∞)

hello_html_5b0a4a57.pnghello_html_m64439b2.gif=0 (х+3)(х-4) (х+3)(х-4)0 (х+3)(х-4) =0 х1=-3 , х2=4

х2-2х-3=0 ; D=16 х1=3 , х2=-1

hello_html_mdf5099b.pngОтвет: (-3;-1)U(3;4)


246 (б)

hello_html_4ecfcab.pngD(f)=(-∞; -2)U[-1;1)U[2;+∞)


Тема: Уравнение касательной к графику функции. Геометрический смысл производной.( 3-й урок)

Цель: уточнить понятие касательной; вывести уравнение касательной; создать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у=f(х); рассмотреть геометрический смысл производной

Развивать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях;

Воспитывать умение работать с источниками информации

Ход урока

  1. ОРГчасть

  2. Проверка знаний

    • Проверка домашнего задания (устно)

    • Устный счет ( таблица « производная», вычислите, работа по графикам)

3. Объяснение нового материала


Пусть дана некоторая кривая и точка А на ней (рис выше). Возьмем на этой кривой другую точку М и проведем прямую через точки А и М. Эту прямую АМ называют секущей. Будем приближать точку М к А. Проведем прямые АМ1, АМ2. Положение секущей АМ будет меняться (точка М стремиться к точке А). Предельное положение прямой АМ т.е. прямая АВ и будет касательной к кривой в точке А.hello_html_780dcf44.png



Определение: Касательной к графику функции f в точке А называется предельное положение секущей, при стремлении точки М по графику f к точке А.



1. сделай рисунок и запиши определение касательной в тетрадь.график-касательной

Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. K=hello_html_5ab98bfa.gifпри х0. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при х0.

Если f′(х0) не существует , то касательная либо не существует( как у функции у=|х| в точке (0;0)), либо вертикальна ( как у графика у=hello_html_m49856358.gif в точке (0;0) рис.93)

Итак, существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0;f0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f′0). В этом и состоит геометрический смысл производной.


Касательная к графику дифференцируемой в точке х0функции f-это прямая, проходящая через точку (х0;f0)) и имеющая угловой коэффициент f′0).

Работа с учебником ( рассмотреть построение графика с помощью касательных)


Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке А (х0;f0)

Уравнение прямой имеет вид: у=kх+b у= f′0)·х+b

Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку А: f(х0)= f′(х0)·х0+b , откуда b= f(х0)- f′(х0)·х0, значит, уравнение касательной таково: у= f′(х0)·х+ f(х0)- f′(х0)·х0, или

у= f0)+ f′0)(х-х0)


Давайте составим алгоритм составления уравнения касательной.





Алгоритм написания уравнения касательной к графику функции


1. Записать уравнение касательной в общем виде;

2. Вычислить значение функции в заданной точке. Для этого подставьте в функцию вместо х значение данной точки.

3. Найдите производную функции.

4. Вычислить значение производной функции в заданной точке. Для этого подставьте в производную функции вместо х значение данной точки.

5. Все полученные результаты подставьте в общее уравнение касательной.


Пример:

Написать уравнение касательной к графику функцииhello_html_5b0afd2.gifв точке с абсциссой

х0 = hello_html_m463caa8b.gif.

Решение:

hello_html_m3cb8b5e2.gif; hello_html_m60914e87.gif; hello_html_m7b4267d4.gif;

hello_html_5dda09b8.gif- искомое уравнение касательной.

4. Первичное закрепление

255 (а,б)

hello_html_m1dc2da63.png


у= f0)+ f′0)(х-х0),

f0)= f(-1)=-3 f′(х)=-3х-2 , f′0)= f′(-1)=-3 у=-6-3х

Ответ: у=-6-3х


f0)= f(1)=3 f′(х)=-3х-2 , f′0)= f′(1)=-3 у=6-3х

Ответ: у=6-3х


hello_html_mb8faa9c.png

у= f0)+ f′0)(х-х0),

f0)= f(0)=0 f′(х)=2-2х , f′0)= f′(0)=2 у=2х

Ответ: у=2х


f0)= f(2)=0 f′(х)=2-2х , f′0)= f′(2)=-2 у=-2х+4

Ответ: у=-2х+4

256 (а,в)

hello_html_m31163890.png

у= f0)+ f′0)(х-х0),

f0)= f(hello_html_69eea861.gif)=3 f′(х)=3cos х , f′0)= f′(hello_html_69eea861.gif)=0 у=3

Ответ: у=3


f0)= f(π)=0 f′(х)=3cos х , f′0)= f′(π)=-3 у=-3х+3π Ответ: у=-3х+3π

hello_html_1ea7be41.png


у= f0)+ f′0)(х-х0),

f0)= f(0)=2 f′(х)=-sin х , f′0)= f′(0)=0 у=2 Ответ:у=2


f0)= f(hello_html_69eea861.gif)=1 f′(х)=-sin х , f′0)= f′(hello_html_69eea861.gif)=-1 у=1-х+hello_html_69eea861.gif Ответ: у=1-х+hello_html_69eea861.gif


Итог урока Домашнее задание п19(1;2) № 255 (в,г) 256(б,г) 248 (а)

№255

hello_html_m6384011.pngf0)= f(0)=1 f′(х)=2х , f′0)= f′(0)=0 у=1 Ответ: у=1

f0)= f(1)=2 f′(х)=2х , f′0)= f′(1)=2 у=2х Ответ: у=2х


hello_html_4f2fce2a.pngf0)= f(-1)=-2 f′(х)=3х2 , f′0)= f′(-1)=3 у=3х+1 Ответ: у=3х+1


f0)= f(2)=7 f′(х)=3х2 , f′0)= f′(2)=12 у=12х-17 Ответ: у=12х-17


256


hello_html_2d3db4ef.pngf0)= f (hello_html_f2b08d9.gif)=1 f′0)=hello_html_m5fbb85ff.gif , f′0)= f′(hello_html_f2b08d9.gif)=2 у=1+2(х-hello_html_f2b08d9.gif) Ответ: у=1+2(х-hello_html_f2b08d9.gif)

f0)= f (hello_html_78cf1855.gif)=hello_html_59305994.gif f′0)=hello_html_m5fbb85ff.gif , f′0)= f′(hello_html_78cf1855.gif)=4 у=hello_html_59305994.gif+4(х-hello_html_78cf1855.gif) Ответ: у=hello_html_59305994.gif+4(х-hello_html_78cf1855.gif)


hello_html_m52e0a1b5.png

f0)= f(-hello_html_69eea861.gif)=2 f′(х)=-2cos х , f′0)= f′(-hello_html_69eea861.gif)=0 у=2

Ответ: у=2


f0)= f(π)=0 f′(х)=-2cos х , f′0)= f′(π)=2 у=2(х-π)=2х-2π

Ответ: у=2х-2π


248 (а)


hello_html_69835fb4.pngа=х2 а2-10а+9=0 D=64 а1=9 а2=1 х2=9 х1=3 х2=-3 х2=1 х1=1 х2=-1


hello_html_52743544.png Ответ:[-3;-1]U[1;3]

Тема: Уравнение касательной к графику функции. Геометрический смысл производной.(4-й урок)

Цель: закрепить понятие касательной; уравнение касательной;

Развивать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях;

Воспитывать умение работать с источниками информации

Ход урока

  1. ОРГчасть

  2. Проверка знаний


  • Устный счет ( таблица « производная», вычислите )

  • Фронтальный опрос

    • Дайте определение касательной

    • Чему равен угловой коэффициент касательной

    • Когда угловой коэффициент больше нуля? Отрицательное число? Равен нулю?

    • №251, 252

    • Записать уравнение касательной

    • Рассказать алгоритм нахождения уравнения касательной

    • В какой точке касательная к графику функции у=х2+1 и у=х2-2 параллельна оси абсцисс ? (Чтобы узнать х0 найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы определить у, достаточно подставить значение х0 в формулу (0;1) и (0;-2))

  • Работа по карточке

hello_html_205390fd.png


  1. у= f0)+ f′0)(х-х0)

  2. С

  3. а)истина, б)ложь

  4. а

  5. х1

  6. а)у=8-4х б) у=х

  7. а



hello_html_m308f2e77.png











Работа у доски


№253

А) f(х)=х2 , М(-3;9) f′(х)=2х tgα= f′(-3)=-6

Б) f(х)=hello_html_3f5b6ef0.gif М(2;hello_html_m6a772bb3.gif) f′(х)=х2-1 tg α= f′(2)=3

в ) f(х)=х3, М(-1;-1) f′(х)=3х2 tgα= f′(-1)=3

г) f(х)=х2+2х ,М(1;3) f′(х)=2х+2 tgα= f′(1)=4


№257 (А)

f(х)=х3-3х2+3х f′(х0)=tg α=0 f′(х)=3х2-6х+3 3х2-6х+3=0 D=0 х0=1 у=13-3·12+3·1=1, значит, в точке (1;1) касательная параллельна оси абсцисс

№259

А) f(х)=3х-х3 3х-х3=0 х(3-х2)=0 х=0 или 3-х2=0 х2=hello_html_59305994.gif х3=-hello_html_59305994.gif


f′(х)=3-3х2 f′(0)=3 tgα=3 α=arctg 3 f′(hello_html_59305994.gif)= -6 tgα=-6 α=π-arctg 6 f′(-hello_html_59305994.gif)= -6 tgα=-6 α=π-arctg 6

Ответ: arctg 3 в точке (0;0), и π-arctg 6 в точках (hello_html_59305994.gif;0) и (-hello_html_59305994.gif;0)

№248 б)


х4-8≥7х2

х4-8-7х2≥ 0 х4-8-7х2=0 а=х2, а2-8-7а=0 D=81 а1=8 а2=-1 х2=8 х1=hello_html_346d2367.gif х2=-hello_html_346d2367.gif х2=-1 не имеет смысла

hello_html_m7d44fc99.png Ответ: ( -∞ ; -hello_html_346d2367.gif]U[hello_html_346d2367.gif;+∞)

Итог урока домашнее задание п 19 (1;2) №254 257 (В,г)

№254

А) f(х)=2соs х , М(hello_html_69eea861.gif;0) f′(х)=-2sin х tgα= f′(hello_html_69eea861.gif)=-2

Б) f(х)=- tg х , М(π;0) f′(х)=-hello_html_m1cf55b73.gif tgα= f′( π)=-1

В) f(х)=1+sin х М(π;1) f′(х)=соs х tgα= f′( π)=-1

Г) f(х)=соs х М(-π;1) f′(х)=-sin х tgα= f′(-π)=0


№257

В) f(х)=3х4-6х2+2 f′(х0)=tg α=0 f′(х)=12х3-12х 12х3-12х =0 х1=0 х2=1 х3=-1 у1=2 у2=-1 у3=-1 , значит, в точках (0;2) ; (1;-1); (-1;-1) касательная параллельна оси абсцисс

Г) f(х)=х3-3х+1 f′(х0)=tg α=0 f′(х)=3х2-3 3х2-3=0 х1=1 х2=-1 у1=-1 у2=5 , значит, в точках (1;-1) и (-1;5) касательная параллельна оси абсцисс






Тема: Физический смысл производной. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах ,в том числе социально-экономических задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.(5-й урок)



Цель: Сформировать у учащихся четкое представление о применении уравнения касательной к графику функции к решению прикладных задач, а именно: вычисления приближенных значений функции. Добиться приобретения и закрепления навыков применения формулы для вычисления приближенных значений квадратных корней и степенной функции.

Развить на основе изучения примеров и решения упражнений из учебника вычислительные навыки и логическое мышление учащихся.

Воспитывать внимательность при работе

Ход урока

  1. ОРГчасть

  2. Проверка знаний

    • Устный счет ( таблица « вычислить производную», действия с дробями)

  3. Объяснение нового материала

hello_html_15afdd14.png

На одном из предыдущих уроков было выведено уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0.

Объяснение по графику и записи на доске: Каково взаимное расположение точек графика функции и точек касательной вблизи точки касания с абсциссой х0? (Ответ: очень близко расположены). Что это означает? Если функция y= f(x) дифференцируема в точке х0 ,то значения функции в точках из окрестности точки х0 очень мало отличаются от значений функции, задающей уравнение касательной, и для всех значений х из окрестности точки х0  можно записать: f(x)≈ у= f0)+ f′0)(х-х0). Поскольку х-х0=x, можно записать

f(х)≈ f(х0)+ f′(х0)∆х (1)

Как эта формула применяется?

Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции f(х)=х7-2х6+3х2-х+3 в точке х=2,02. Значение f в близкой к 2,02 точке х0=2 находится легко :f(2)=13. График f в окрестности точки 2 близок к прямой у=f0)+f′0)(х-х0)- касательной к нему в точке с абсциссой 2. Поэтому f (2,02)у(2,02). Имеем f′(х)=7х6-12х5+6х-1, f′0)=f′(2)=75 и f(х)у(х)=13+750,02=14,5.

Вычисления на калькуляторе дают результат f(2,02)14,57995.


№261 (а)

f(х)=х4+2х , х1=2,016 х=х0+∆х х0=2 ∆х=0,016 f(х0)=f(2)=20 f′(х)=4х3+2 f′(2)=34 f(2,016)≈20+34∙0,016=20,544

Ответ: 20,544

Выведенную формулу можно применять не только для вычисления значений многочлена, но и для нахождения приближенных значений любой функции, дифференцируемой в точке х0.

Рассмотрим функцию hello_html_m2ff009e6.gif. Она дифференцируема на всей области определения, кроме x= 0, т.е.при x> 0. Поэтому можно найти приближенное значениеhello_html_153e1823.gif, используя формулу (1).

х0=4, ∆х=0,08 f(х0)=f(4)=2 f′(х)=hello_html_39dfbbfb.gif f′(4)=0,25 f(4,08)≈2+0,250,08=2,02

При выполнении вычислений в практических заданиях по физике и химии часто приходится находить значения функцийhello_html_m2ff009e6.gif и у=хn для значений аргумента, близких к 1. Выведем формулы для вычисления приближенных значений этих функций с помощью формулы (1).

Какие этапы необходимо выделить? Из формулировки задания ясно, чтох0=1, hello_html_m2ff009e6.gif и у=хn 

Затем надо найти f(х0) иf0), x должно войти в запись формулы.

После самостоятельной работы с учебником к доске вызываются учащиеся и записывают формулы:

hello_html_m953155f.gif и (1+х)n≈ 1+ nх.

263 (а)

а)hello_html_1a95d2d7.gif

hello_html_m298b2ba2.gif

262 (а)

1,0021001+1000,002=1,2

Самостоятельная работа №261 (а,х2), 262(б) 263(б)



261

f(х)=х4+2х , х2=0,97 х=х0+∆х х0=1 ∆х=-0,03 f(х0)=f(1)=3 f′(х)=4х3+2 f′(1)=6 f(0,97)≈3+6∙(-0,03)=2,82

Ответ: 2,82

262 (б)

0,9956(1-0,005)6=1+6(-0,005)=0,97

263 (б)

hello_html_m48634b26.gif

Итог урока Домашнее задание п 20 №261 (б) 262(в,г) 263(в,г)

261(б)

f(х)=х52 , х1=1,995 х=х0+∆х х0=1 ∆х=0,995 f(х0)=f(1)=0 f′(х)=5х4-2х f′(1)=3 f(1,995)≈0+3∙0,995=2,985

Ответ: 2,985

f(х)=х52 , х2=0,96 х=х0+∆х х0=1 ∆х=-0,04 f(х0)=f(1)=0 f′(х)=5х4-2х f′(1)=3

f(0,96)≈0+3∙(-0,04)=-0,12

Ответ: -0,12

262

В)1,032001+2000,03=7 г)0,99820=(1-0,002)201+20(-0,002)=0,96

263

В)hello_html_62e72bb.gif 1+0,5(-0,003)=0,9985 Г) hello_html_m13dd308e.gif







Тема: Физический смысл производной. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах ,в том числе социально-экономических задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.(6-й урок)



Основные задачи урока: Добиться усвоения всеми учащимися основных вопросов теории на уровне программных требований. Закрепить полученные умения и навыки решения основных типов задач. Провести контроль усвоения материала.

Содержание урока:

  • I этап. Обсуждение результатов тестирования, анализ допущенных ошибок – 2 мин.

  • II этап. Применение выведенной формулы для функции y=full_image002_0019 в случае n<0, решение упражнений – 7 мин.

  • III этап. Обучающая практическая работа (в группах) – 18 мин.

  • IV этап. Подведение итогов урока, домашнее задание – 3 мин.

  • V этап. Проверочная самостоятельная работа – 15 мин.

Ход урока

1. Объявление результатов тестирования, разбор правильных решений:

1 вариант.

1) full_image002_0020 = full_image004_0010≈ 1 - full_image006_0008·0,0004 = 1 – 0,0002 = 0,9998;

2) full_image008_0007=full_image010_00041+50·0,0003 = 1 + 0,015 = 1,015.

2 вариант.

1) full_image012_0005 = full_image014_0005≈ 1 + full_image006_0009·0,0003 = 1 + 0,00015 = 1,00015;

2) full_image016_0005= full_image018_0006≈ 1 + 20·(-0,002)= 1 – 0,04 = 0,96.

2. Рассмотрим ещё одно применение формулы full_image002_0021≈ 1+ nfull_image004_0011для n<0.

Обсуждается пример 3 на стр.132 учебника [1].

Формула для нахождения производной степенной функции была доказана для целых значений n, значит, формула (3) может быть применена для n<0.

Решим № 266(а,б) учебника. Для решения к доске приглашаются учащиеся, допустившие ошибки при выполнении заданий теста, к обсуждению хода решения привлекаются учащиеся на местах.

3. Практическая работа.

Так как функции y =full_image002_0022 дифференцируемы для любого действительного значения аргумента, можно применить метод приближенных вычислений и для нахождения значений этих функций, а для функций тангенс и котангенс – для всех x из области определения каждой из них.

Вычислим приближенное значение full_image004_0012°. Так как 1° - величина, близкая к 0, рассмотрим значения функции y =full_image006_0010в окрестности точки full_image008_0008

full_image010_0005 = 1°- 0 = 1° = full_image012_0006 ; f(full_image014_0006)= full_image016_0006; full_image018_0007= (full_image020_0004'= full_image022_0003 ; full_image024_0001= full_image026_0001

Итак, full_image004_0013°≈full_image028_0001x = 0 + 1·full_image030_0001x = full_image012_0007. ≈ 3,1416…; full_image032_0001 Поэтому full_image004_0014°≈ 0,017453.

Отметим еще раз этапы выполнения практической работы.

1) Определить full_image014_0007 так, чтобы можно было легко вычислить f(full_image014_0008), т.е «табличное» значение тригонометрической функции.

2) Найти full_image034_0001x.

3) Вычислить f(full_image014_0009).

4) Найти full_image036_0001.

5) Подставить полученные значения в формулу (1).

Выясняем с классом, что в № 265 учебника значения full_image034_0002x уже выделены в самом задании.

Учащиеся класса заранее разделены на 4 группы, каждая группа получает задание:

1 группа: № 264 (б), 265 (в);

2 группа: № 264 (а), 265 (б);

3 группа: № 264 (в), 265 (г);

4 группа: № 264 (г), 265 (а).

Через 3 – 5 минут после начала работы учитель подходит к каждой из групп, выясняет, какие встречаются затруднения, на каком этапе выполнение задания. В ходе собеседования с группами проверяется наличие у каждого учащегося наличие в тетради полной записи решения.

После проверки выполнения работы всеми группами объявляются результаты работы, анализируются наиболее распространенные ошибки.

4. Подведение итогов урока, домашнее задание: п.20 учебника, №№ 261(а,б), 263 (г), 266(в,г).

5. Проверочная самостоятельная работа по дидактическим материалам [2], варианты 1 – 8 (с учетом уровня усвоения материала учащимися).



Тема: Физический смысл производной. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах ,в том числе социально-экономических задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.(7-й урок)



Цель: Подготовить обучающихся к контрольной работе по теме « Применение непрерывности и производной



Ход работы

  1. ОРГчасть

  2. Проверка знаний

Устный счет( таблица « Производная», « вычислите»)

Работа по карточкам

1.существование (невертикальной) касательной в точке (х0;f(х0))графика , при этом k=f´(х0)hello_html_m7225dce7.png

2.а) ложь б)истина

3)а)hello_html_m237c7063.gif

б)1,02100≈1+100·0,02=3

в)f(х0)=f(2)=4 f´(х)=3х2-2х f´(2)=8

f(1,9)≈4+8·(-0,1)=3,2

4) а

5)б



































  1. Работа у доски

1.Решите неравенство hello_html_45d2dd3c.gif методом интервалов.

hello_html_3cc04b4f.gif|·(х-5) х-5≠0 х=5

х2-9=0 х2=9 х1=3 х2=-3 hello_html_m50d8e04e.png Ответ: (-∞;-3)U(3;5)

2.Точка движется прямолинейно по закону х(t)=t2+5. Найдите ее скорость в момент времени t=3с (координата х(t ) измеряется в сантиметрах, время t- в секундах).

V (t)=х´(t)=2t v(3)=2·3=6м/с

3.Найдите угол наклона касательной к графику функции f(х)=hello_html_4ccc742a.gif в точке с абсциссой х0=1

tgα=f´(х0) f´(х)=hello_html_6fb4f766.gif tgα=1 α=450

  1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х)=х2+1 в точке с абсциссой х0=1

f(1)=2 f´(х)=2х f´(1)=2 у=2+2(х-1)=2+2х-2=2х

  1. Вычислите приближенные значения : hello_html_m6eccdce6.gif , (2,00016)6

hello_html_m724a8752.gif=hello_html_m2564db8e.gif=3(1+0,5·0,0002)=3+0,0003=3,0003

(2,00016)6=(2·(1+0,00008))6≈64·(1+6·0,00008)=64+0,03072=64,03072



Итог урока домашнее задание



  1. Решите неравенство hello_html_m4754ad0c.gif методом интервалов

  2. Точка движется прямолинейно по закону х(t)=2t2+1. найдите ее скорость в момент времени t=2с (координата х(t ) измеряется в сантиметрах, время t- в секундах).

  3. Найдите угол наклона касательной к графику функции f(х)=hello_html_m74a13c5e.gif в точке с абсциссой х0=2

  4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х)=х2-1 в точке с абсциссой х0=-1

  5. Вычислите приближенные значения : hello_html_def06b7.gif , (2,001)5



Решение:

1.)(-∞;-5)U(-2;2)

2)8 м/с

3) tgα=1 α=450

4)у=-2х-2

5) hello_html_def06b7.gif≈4,00025 (2,001)5≈(2·(1+0,0005))5=32·(1+5·0,0005)=32+0,08=32,08


Общая информация

Номер материала: ДВ-357590

Похожие материалы