Решение экстремальных задач без применения производной

МБОУ «Новоселовская школа»

Решение экстремальных задач

без применения производной

Работу  выполнила:

Стус  Валентина Дмитриевна,

 учитель математики

МБОУ «Новоселовская школа»

Симферопольского района

                                         Симферопольский район – 2015 г.    

                                                                            Содержание

Вступление…………………………………………………………………………..3

Раздел I

Из истории развития экстремальных величин

1.1.          Возникновение  из практических проблем……………………………..…..5

1.2.          Задачи из теории экстремальных значений……………………….…..……6

Раздел II

Анализ множества значений функции

2.1               Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции…………16

2.2       Нахождение наибольшего и наименьшего значений квадратного трехчлена……………………………………………………………........................17

2.3       Задачи геометрического содержания……………………………………..18

2.4       Задачи практического применения………………………………………..21

Раздел Ш

Использование свойств неравенства, связывающего   среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел

3.1.   Задачи на нахождение размеров при заданной площади и объеме……….23

Выводы…………………………………………………………………………...…24

ВСТУПЛЕНИЕ

     Тема  моей работы «Экстремальные задачи».

     Объектом исследования является процесс решения  задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений, составление математической модели, исследование целевой функции.

    Предметом исследования  являются виды задач геометрического содержания,  задачи практического применения, изучение теории развития экстремальных задач.

    Целью работы является  рассмотрение методики  решения  экстремальных задач без использования производной.

    Актуальность  данной темы в ее практическом применении, задачи такого характера возникают в различных областях человеческой деятельности. Они имеют применение  в линейном программировании, используются в физике, экономике, других отраслях производства.

    Задачи исследования:  нахождение экстремальных значений величин,  отыскание оптимальных решений практических задач, определение наибольшего или наименьшего значений целевой функции.

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени. Так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому человеку.
     Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского «оптимум» - наилучший). Многие задачи поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики и геометрии.
    Задачи, связанные с нахождением наибольших и наименьших значений геометрических величин, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: ведь чтобы решить подобную задачу, абитуриенту приходится комбинировать приемы и методы из весьма  различных разделов школьного курса математики.  Первое, что приходит в голову,— составить с помощью заданных параметров функцию и исследовать ее на максимум и минимум. У такого подхода, тем не менее, есть недостаток: во многих геометрических задачах этот привычный путь решения сопряжен со значительными техническими трудностями. Часто, однако, удается избавиться от громоздких выкладок, обойдясь чисто геометрическими рассуждениями.

В своей работе я представлю решения некоторых подобных задач.

РАЗДЕЛ  I

Из истории развития экстремальных задач.

1.1.          Возникновение из практических проблем.

С незапамятных времён перед человеком возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходиться отыскивать наилучший способ достижения результата.

Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Здесь всё зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должны быть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зависимости от того, для каких целей предназначается судно. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерии могут быть следующими:

1)необходимо, чтобы судно при движении испытывало в воде наименьшее сопротивление (это главный критерий быстроходного судна);

2) необходимо, чтобы судно было максимально устойчивым (при сильном волнении и сильном ветре).

3)необходимо, чтобы судно имело наименьшую осадку(в случае, если судно предназначается для эксплуатации на мелких водоёмах);

Задачи такого характера, получившие название экстремальных задач, возникают в самых различных областях человеческой деятельности.

В моей работе я рассматриваю историю зарождения теории экстремальных значений величин, получивших в дальнейшем развитие и обобщение. Содержание рассматриваемых мною задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Однако  общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного математического метода. Дело в том, что по самой своей природе математические методы не могут прилагаться непосредственно к действительности, а применяются только к математическим моделям того или иного явления.

В простейших случаях условия задачи переводится на математический язык (например, условия записываются в виде уравнения или неравенства), и мы получаем математическую формулировку задач, т. е. ёё математическую модель. Математическая модель только тогда имеет хорошее практическое значение, когда она достаточно хорошо отображает основные свойства и определенные характеристики исследуемого реального явления.

Математическая модель экстремальных задач  имеет свою особенность :  в ее состав входит некоторая функция, называемая целевой функцией, которую требуется при заданных условиях минимизировать (максимизировать) т.е. найти ее оптимальное значение.

1.2.           Задачи из теории экстремальных задач.

Первое знаменательное открытие в области теории экстремальных значений величин относят к первому столетию нашей эры. Александрийский ученый Герон установил, что путь светового луча от точки А до точки В при отражении от зеркала в точке С является кратчайшим (минимальным) расстоянием от А до В с заходом на плоскость зеркала М (рис.1.1). То, что световой луч, отражаясь от зеркала, образует с зеркальной поверхностью равные углы (угол падения светового луча равен углу отражения), было известно и ранее, но тот факт, что расстояние АС + СВ меньше АСʹ + СʹВ , где Сʹ- любая другая точка зеркальной плоскости, отличная от С, т.е. расстояние АС|+ СВ является наименьшим, - это было  открытием.

                                              Рис.1.1

                                                                       Рис.1.1

Задача 1. М и N – две различные точки, расположенные в одной полуплоскости с границей АВ (М   АВ, N  АВ). На АВ найдите такую точку Р, чтобы сумма МР+NР  была наименьшей.

Решение

Построим точку Nʹ, симметричную точке N, приняв прямую  АВ за ось симметрии. Оказывается, что точка Р = MNʹ ∩ AB искомая. Возьмем произвольную точку    Рʹ ϵ АВ, причем Рʹ ≠ Р, и докажем, что MP + NР < MPʹ + NPʹ.

Возможны два случая:

1)        Рʹ  RQ, где R и Q – проекции точек M и N на прямую  АВ (рис. 1.2);

2)        Рʹ  отрезку RQ (рис. 1.3).

Рассмотрим первый случай. Из построения видно, что

         PN = PNʹ  ,  PʹN = PʹNʹ.

         Следовательно,

         MP + PN = MP + PNʹ = MNʹ .

       Так как точки  M , Pʹ , Nʹ не принадлежат одной прямой , то

MNʹ< MPʹ+PʹN=MPʹ+PʹN. Поскольку точка Pʹ ϵ RQ выбрана произвольно, то MNʹ меньше любой другой суммы.

        В случае, когда Pʹ  RQ , минимальность суммы MP +NP доказывается аналогично.

        Из рисунков 1.2 и 1.3 легко понять, что MP и PN образуют с AB равные углы.

       Дальнейшим развитием  рассмотренной задачи следует считать решение треугольника Шварца. Герман Амандус Шварц (1843-1921), немецкий математик, доказал минимальное свойство «высотного треугольника». Задача заключалась в том ,чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром (рис.1. 4). Таким треугольником оказывается так  называемый высотный треугольник  PQR, вершинами которого являются основания высот  данного треугольника ABC. Если предположить , что стороны треугольника ABC «зеркальные», то треугольник PQR будет единственным треугольным  контуром  пути светового луча, например луча QR.

         Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике.

Задача 2.    Дан остроугольный треугольник ABC,  AP⊥ BC,  BQ ⊥ AC,  CR ⊥ АВ. Докажите, что периметр высотного треугольника  PRQ  наименьший по сравнению с периметрами других вписанных треугольников.

Решение

1.                 Сначала докажем следующее свойство высотного треугольника: <ARQ =<PRB (аналогичные равенства можно доказать и для двух других вершин Q и P высотного треугольника).

      Действительно, <OPB и <ORB прямые, следовательно, около четырехугольника OPBR можно описать окружность. Тогда <PBО =<PRO ,  как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Треугольник CBQ прямоугольный, а потому <PBO дополнительный к углу C. Следовательно, <ACB= <PRB. Повторяя эти рассуждения для четырехугольника AQOR, что <ARQ=<ACB.

2.                 Переходим к доказательству свойства минимальности периметра высотного треугольника. Если точки P и Q принадлежат одной полуплоскости с границей AB (рис.1.5),

 то сумма расстояний QR+RP обращается в минимум лишь в случае , если QR и RP образуют с AB равные  углы (последние следует из задачи Герона).

      Предположим, что rPQR  является решением нашей задачи. Тогда заключаем, что точка R ϵ АВ минимизирует сумму QR+ RP и выполняется условие  <QRA= =<PRB;  точка P ϵ BС минимизирует сумму RР + QP и выполняется условие <RPB = <QPC; точка Q ϵ AC минимизирует сумму QR+QP и  <AOP = <COP. Следовательно, для искомого треугольника должно быть выполнено  то же самое свойство равенства углов , каким обладает высотный треугольник .

       В начале XIX в.  немецкий геометр Якоб Штейнер исследовал проблему минимизации  общей протяженности дорог ,  связывающих три пункта с четвертым .

       Например ,  необходимо три пункта A, B, C соединить системой дорог так, чтобы общая протяженность построенных дорог была минимальной. В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом.

В плоскости даны три точки A, B, C. Найти четвертую точку D плоскости так , чтобы сумма длин AD + BD +CD была минимальной (рис.1.6).

       Для случая , когда данные точки являются вершинами выпуклого четырехугольника, решение этой задачи элементарно : искомой точкой является точка пересечения его диагоналей . Если же для данных m точек , , … , , расположенных в одной плоскости, будем такую связанную систему отрезков ,чтобы:

1)                любые две точки из данных были связаны между собой ломанной линей, звенья которой входили бы в состав системы.

2)                общая длина всей системы была бы минимальной .

Задача  3.  Из скважин A, B, C выделяется газ. Соедините их наиболее рациональным способом системой трубопроводов (из прямолинейных участков).

                                      Решение.

       Обозначим скважины A, B, C точками плоскости. Если бы точки A, B, и C принадлежали одной прямой , то  минимальную длину бы имел отрезок , соединяющий крайние точки. Поэтому будем считать, что данные три точки не принадлежат одной прямой . Точки A, B, C определяют некоторый треугольник ABC. Возможны два случая :1)  в rABC величина каждого из углов меньше ; 2)в rABC величина одного из углов не меньше  .

        Рассмотрим первый случай . Если соединить трубопроводами точки  A c B, B c C, C c A, то, оказывается, что длина всей сети  отрезков , т. е. AB+ BC + +CA , не будут наименьшей из всех возможных сетей, соединяющих точки A, B и C. Если длины сторон  AB=c ,  BC=a ,  AC=b треугольника связаны зависимостью        a ≤ b ≤ c , то найдется ломаная линия короче указанной (длина этой ломанной равна a+b ) , но оказывается возможным соединить точки A, B и C еще более короткой сетью .

Для построения минимальной сети достаточно найти так называемую точку Торричелли и соединить ее отрезками с данными точками A, B и C.

 Точкой Торричелли называется такая точка , сумма расстояний которой от трех данных точек плоскости минимальна. Докажем , что точка Торричелли – это такая точка плоскости , из которой каждый из трех отрезков AB, BC и AC виден под углом в  (рис.1.7) .

    Пусть L—окружность с центром в точке С и радиусом R=CD (рис.1.8). точка D должна быть расположена на окружности L так, что сумма DA+ DB была наименьшей.

      Из обобщения теоремы Герона (если заменить прямую дугой окружности ) следует, что AD + DB должны образовывать равные  углы с окружностью  , а  значит и радиусом DC. Повторяя эти рассуждения для двух других точек A и B , убеждаемся , что углы , образованные отрезками AD, BD, CD друг с другом , должны быть равные  , т. е. равны по величине  . доказательство было построено на допущении, что две остальные точки были вне круга. Но иначе и быть не может . Пусть точка A находится внутри окружности L, тогда AC ≤CD.В Этом случае при любом расположении точек A, B, D AD+BD≥AB и AD + BD+ CD ≥AB+ AC. Последнее неравенство показывает , что минимальное значение суммы         AD + BD+ CD  получится , если D совпадает с А , но это противоречит нашему допущению. Значит, что точка находится вне круга.

Итак, для отыскания точки D строим на каждый из сторон AB, BC, AC треугольника ABC сегмент, вмещающий угол в  . точка пересечения дуг сегментов – искомая точка (достаточно построить два сегмента).

      Второй случай . Если треугольник АВС имеет один угол , например  С, Который по величине не меньше , то точкой Торричелли  является вершина этого угла (рис.1.9).

     Рассмотренная задача представляет собой задачу Штейнера:

Даны  три точки А,В,С. Требуется в плоскости ,определяемой этими точками ,найти такую точку Д, сумма расстояний от которой до точек А,В,С была бы минимальной.

      Ниже рассмотрены  задачи , в которых используются результаты задач (1, 2, 3).

Задача 4. Площадь треугольника АВ`С равна S.  Укажите такой треугольник со стороной АС и площадью S , чтобы сумма длин двух других сторон была наименьшей.

Решение .

На рисунке 1.10  показан rAB’C с площадью S=ACH. Заданную площадь треугольника определяет сторона   и высота  H.Проведем через точку B’ прямую MN, параллельную AC. Теперь задачу можно сформулировать так: на прямой MN найдите точку B, чтобы сумма AB+BC была наименьшей, для случая, когда две точки A и C расположены в одной полуплоскости с  границей MN на одном и том же расстоянии от  MN.  Из задачи Герона следует, что AB=BC, т.е.r ABC -равнобедренный.

Задача 5. Из всех треугольников с общей стороной AC и суммой двух других сторон, равной m, укажите тот, у которого площадь наибольшая.

Решение.

Данная задача является обратной задаче 4. Докажем, что условию удовлетворяет равнобедренный треугольник, у которого AB=BC=. При решении задачи 4 было установлено, что из всех треугольников  заданной площади S с заданной стороной АC сумма AB=BC принимает наименьшее значение в равнобедренном треугольнике, AB=BC. Следовательно, во всяком другом треугольнике с основанием AC и площадью S сумма AB+BC имеет большее значение. Во всяком треугольнике с основанием AC и площадью большей, чем площадь рассматриваемого равнобедренного треугольника ABC, сумма двух других сторон будет, естественно, больше.

Отсюда следует, что всякий другой треугольник с заданной стороной AC и с заданной суммой m двух других сторон имеет меньшую площадь.

Таким образом, наибольшую площадь при заданной стороне AC и заданной сумме двух других сторон имеет равнобедренный треугольник ABC, AB=BC=.

РАЗДЕЛ II

Анализ множества значений функции

2.1.          Нахождение наибольшего и наименьшего значений некоторых функций.

Довольно часто решение экстремальной задачи сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции (при определенных ограничениях, налагаемых на аргумент). Значения множества значений этой функции, естественно, поможет нам ответить на вопрос о существовании у нее наибольшего и наименьшего значений.

Пусть y=f(x)—функция действительной переменной x. D(f) – область определения функции f, E(f) – множество значений ее. Как найти множество E(f), зная  D(f)?

Множество Е(f) состоит из тех значений y , при каждом из которых уравнение y=f(x) имеет хотя бы одно решение, принадлежащие области определения.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Дана функция у=. Найти Е(f).

Решение.

Е(f)={у| уравнение  y= имеет решение}={y| уравнение y= имеет решение}={y| уравнение y=1+ имеет решение}={y| уравнение  y-1= имеет решение}={y| y1}.

Задача 2. Найдите множество значений функции y=.

Решение.

Е(f) ={у| уравнение у= имеет решение}={у| уравнение y-x+y=0 имеет решение}={у| 14={y| y}.

Задача 3. Найдите наибольшее значение функции y=3x+4 .

Решение.

Найдем сначала область определения этой функции:

 D(f)={x|1-  0}={x|1}; E(f)={y|  уравнение y=3x+4 имеет решение на [-1;1]}={y| уравнение y-3x=4  имеет решение на [-1;1]}=       ={y| уравнение 25-6xy+( -16)=0, где y≥3x, имеет решение на[-1;1]}=

={y|(y≥ 3x-25≤ 0) -1≤x≤1}= ={y|(y≥3x -5≤y≤5) -1≤x≤1}.

Следовательно,  =5 (достигается при  x=3/5 ).

Поясним решение системы

 Графически (рис.2.1).

2.2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений квадратного трехчлена.

Ряд задач состоится к нахождению наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена.

Теорема. Квадратный трехчлен у = а+bx+c имеет наибольшее и наименьшее значение, принимаемое при x=; значение наименьшее, если а>0, и наибольшее, если a<0. Если существует наибольшее значение у, то не существует наименьшего, и наоборот.

Доказательство. Пусть y=a+bx+c, a -квадратный трехчлен, где коэффициенты a, b, c – действительные числа. Выделим из трех члена квадрат двучлена:  y=a(+2+c=a+(c-).

Здесь c-- – число, не зависящее от переменной х.  Если a>0 то первое слагаемое a не может быть отрицательным; оно обращается в нуль при x=-. В этом случае у принимает свое наименьшее значение y=c-  и функция не имеет наибольшего значения. Если a<0, то a0, но при x= -  обращается в нуль.

Следовательно, у достигает наибольшего значения y=c -. В этом случае наименьшее значение не существует.

Следствие. Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения тогда, когда  эти множители равны. Справедливо и более общее утверждение. Если x>0, y>0 и (n-1) x+y=p (n  N), то произведение *y достигает наибольшего значения, если x= =у.

Доказательство. Пусть p—сумма этих двух множителей. Если первый множитель x, то второй – p- x. Произведение  рассматриваемых множителей    y=x(p-x)= - + px , как следует из выше доказанной теоремы, принимает наибольшие значение , равное y=, при x= .

2.3. Задачи геометрического содержания

 Задача1 . Отрезок данной длины перемещается так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. При каком положении этого отрезка площадь отсекаемого треугольника будет наибольшей?

                                               Р е ш е н и е.

Пусть концы отрезка АВ длины a скользят по сторонам угла АСВ: =      (рис.2.2) . примем АС = x, 0x = . Площадь треугольника АВС равна

S== .

Сумма неотрицательных слагаемых   постоянна (равна ). Поэтому произведение (-), а вместе с ним и площадь треугольника S достигает наибольшего значения, если , откуда х=.СВ= Следовательно, rABC равнобедренный:, S=.

Задача 2. Докажите , что из всех четырехугольников , вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение.

Обозначим длину  стороны  А  прямоугольника АВС через х, (х<2k), а радиус  круга через R (рис. 2.3 ), имеем:

СД==.

Тогда площадь прямоугольника равна S=AD * DC=x=

Сумма  и  постоянна, а потому S достигает наибольшего значения, если =, х=. Следовательно, наибольшую площадь имеет квадрат.

 Задача3. В треугольнике АВС проведите такую прямую МN, параллельную основанию АС, чтобы площадь прямоугольника МNРQ оказалась наибольшей.

Решение.

Пусть АС = а, МN=x, QM=y, DB=H (рис.2.4).

Так как rАВС подобен rМВN, то =, или =. отсюда х=. площадь  прямоугольника МNРQ есть S=x*y=-y)y. S достигает наибольшего значения, если Н- у = у, т.е. у =. Следовательно , МN-средняя линия rАВС.

2.4.  Задачи практического применения

З а д а ч а 1.  Определите при заданном периметре длину и ширину прямоугольного участка земли, при которых его площадь окажется наибольшей.

                                      Р е ш е н и е.

Обозначим через x  и  y стороны прямоугольника. Тогда периметр его будет равен p=2x+2y,  а площадь будет равна S= xy. По своей природе величины x и y положительны, так как они выражают длины отрезков. По условию периметр p есть величина постоянная , значит . по  следствию достигает наибольшего значения . если x=y=  . Следовательно, участок должен быть квадратом.

Задача2. Сосуд цилиндрической формы наполнен водой. Высота слоя воды h. Из отверстия (размерами его можно пренебречь), расположенного на высоте z, вытекает вода (рис.13). При каком z дальность струи воды будет наибольшей?

Решение.

Введем прямоугольную систему координат как это показано на рисунке 2.5.

Пусть -скорость вытекания струи, x-расстояние от оси Ох, у- расстояние по оси Оу. Тогда = x=t, y=z-. В момент достижения струей воды земли y=0. Отсюда t=  Имеем

х = v₀  = =2

х достигает наибольшего значения , если  z(h-z)  максимально. Но сумма z  и  h-z  постоянна, поэтому произведение неотрицательных множителей достигает наибольшего значения , если z = h-z . Отсюда  z= .

Задача3. Из квадратного куска жести шириной 60 см надо изготовить коробку без крышки наибольшей вместимости с квадратным дном.

Решение.

Пусть ширина отгибаемых квадратных полос равна х. заметим, что x <=30. Ширина квадратного дна равна 60-2х. найдем объем коробки:

  V=x.                                        (1)

Умножим обе части равенства(1) на 4, получим:

4V=(60-2x)(60-2x)*4x                     (2)

Сумма (положительных) множителей правой части равенства(2) равна 120 ( существенно, что из трех множителей два множителя одинаковые). Следовательно, произведение этих множителей достигает наибольшего значения, если 60-2х=4х, т.е. х=10. Именно тогда 4V достигают наибольшего значения:

=40*40*10=16000().

РАЗДЕЛ  Ш

Использование свойства неравенства, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел

3.1    Задачи геометрического содержания.

Теорема. Если x и y- неотрицательные числа, то  ≥ .

Следствие. Сумма двух положительных множителей, произведение которых постоянно, достигает наименьшего значения тогда и только тогда , когда эти множители равны.

Задача 1. Найдите прямоугольник наименьшего периметра, ограничивающий заданную площадь.

                            Решение.

В данном случае площадь S=x y  постоянна. Следовательно, p=x+y  достигает наименьшего значения, если x+y=2. Таким прямоугольником является квадрат со стороной , периметр его /

Задача  2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться  108 см². Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть размеры ее, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее  количество материала?

                                  Решение.

   Длину  стороны основания обозначим через x cм. , а высоту коробки – у см.

(x>0, y>0). Тогда ее объем V= Учитывая, что V=108 , имеем =108 =>

 =>y= .

Пусть S – площадь поверхности коробки:

S=  + 4xy =  + 4 * x *  = + .

Представим выражение для S следующим образом:

                            S= +  + .

Произведение *  *  равно  . Следовательно , S достигает наименьшего значения , если = , т. е. = 216 , x=6, y=3. Тогда      

  S= 108 .

ВЫВОДЫ

Экстремальные задачи интересны своей нестандартностью, красотой, индивидуальностью, постановкой вопроса. Они требуют ясного, точного изложения мыслей, использование различных языков математики (символьного, словесного, графического);  потому что они возникают в самых различных областях  человеческой деятельности .

Общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного мате математического метода, т. к. математические методы применяются  к математическим моделям того или иного явления. Ведь математика -  это универсальный язык науки и техники, средство моделирования процессов и явлений.