Решение квадратных
уравнений
Квадратные уравнения изучают в 8
классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно
необходимо.
Квадратное
уравнение
— это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c —
произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные
методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить
на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие
квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.
Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует
замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax2
+ bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 −
4ac.
Эту формулу надо знать наизусть.
Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно
определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один
корень;
- Если D > 0, корней будет
два.
Обратите внимание: дискриминант
указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие
считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют
квадратные уравнения:
1. x2
− 8x + 12 = 0;
2. 5x2
+ 3x + 7 = 0;
3. x2
− 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого
уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный,
поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе
уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней
нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень
будет один.
Обратите внимание, что для каждого
уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не
перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость
или качество.
Кстати, если «набить руку», через
некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции
вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то
после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного
уравнения
Теперь перейдем, собственно, к
решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Когда D = 0, можно использовать
любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом.
Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
Задача. Решить квадратные
уравнения:
1. x2
− 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x −
x2 = 0;
3. x2
+ 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение
имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение
снова имеет два корня. Найдем их:
Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение
имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень
просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки
возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же
поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте
каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные
квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение
несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих
уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются
даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант.
Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax2 + bx + c =
0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е.
коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый
случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае
уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет
единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть
b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0.
Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный
корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет
смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном
уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0,
корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c/a) < 0, корней
нет.
Как видите, дискриминант не
потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений.
На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно
выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от
знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если
отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями
вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все
просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Произведение равно нулю, когда хотя
бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем
несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные
уравнения:
1. x2
− 7x = 0;
2. 5x2
+ 30 = 0;
3. 4x2
− 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x −
7) = 0 ⇒ x1
= 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2
= −30 ⇒ x2
= −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2
= 9 ⇒ x2
= 9/4 ⇒ x1
= 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.