Решение тригонометрических уравнений и неравнсв

Министерство образования и молодежной политики

 Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное

Образовательное учреждение

« Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

                        Руководитель:  преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: «___» __________2016 г.

Дата защиты: «___» __________2016г.

Георгиевск

2016

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цель: Исследовать  методику, направленную на формирование умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования.

2. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств в обучении математики.

3. Выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

4. Классифицировать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

5. Разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства.

6. Провести экспериментальное исследование разработанной методики.

Аннотация

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа»  разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Содержание

Введение

1.                 Основные методы решения тригонометрических уравнений

1.1 Уравнения, сводимые к алгебраическим

1.2 Однородные уравнения

1.3 Уравнения, решаемые разложением на множители

1.4 Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и     разложения произведения тригонометрических функций в сумму

1.5 Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

2. Элементарные тригонометрические уравнения

Заключение

Список использованных источников

Введение

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

Решение уравнений и неравенств;

Решение систем уравнений и неравенств;

Доказательство неравенств.

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что

большое внимание уделяется первому и второму направлениям.

Требованием нашего времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.

Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.).

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Цель исследования: Разработать методику, направленную на формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Объект исследования: процесс обучения математике.

Предмет исследования: методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Гипотеза исследования: Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.

 

 

Решение тригонометрических уравнений

       К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида ; ;  и т.д. – тригонометрические   уравнения. Уравнения вида ; ;   и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически.

       Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому.

      Например, .

      Видим, что  не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналитически:

            , откуда  или

             , , где

Решить тригонометрическое уравнение – значит,  найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

При решении тригонометрических уравнений будем пользоваться известными тригонометрическими формулами.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:

            и , где ;

         и , где

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных типов.

2)    Уравнение вида  sinx=a

      Уравнение   может иметь решение только при .

      Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

             , где  и .                  (1)

Остальные значения x в уравнении sin x = а:

       Примеры. Решить уравнение:

       1)   

       Решение:

 ,            ,               , .   

       Ответ:   , .

        Полезно знать, что , поэтому если , то формула (1) примет вид: , где .

       Пример.   Решить уравнение:

              

      Решение:

      ,               ,                ,

,             ,                      , .

Ответ: , .

Частные случаи:

1.     Если , то , .

2.     Если , то , .

3.     Если , то , .

3)    Уравнения вида cosx=a

     Уравнение  может иметь решение только при . Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

        , где   и .

     Полезно знать, что .

     Примеры. Решить уравнения:

     1) 

     Решение:

 ,  ,

 ,  , .

     Ответ: , .

     2)

     Решение: ,           ,                   ,

 1. , , где                                  .

 2. ,                                                               .

      Ответ: ,  , , .

       Частные случаи:

 1. Если , то  или ,   .

 2. Если , то  или ,   .

4)    Уравнения вида tgx=a, где  aR

     Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:

    , где  .

Полезно помнить, что .

Примеры. Решить уравнение:          

        Решение:

 ,               ,                ,       

 ,                     ,               ,  .

       Ответ: ,  .

5)    Уравнения вида ctgx=a, где  aR

      Известно, что решение данного уравнения находят по формуле                                                                                                                                                                                                                                 , где  и .

      Полезно знать, что .

      Примеры. Решить уравнение:        

      Решение:

     ,            ,                  ,

     ,                              ,                          , .

     Ответ:  , .

6)    Уравнения, сводимые к алгебраическим

 Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

       Тригонометрические уравнения:

 

  уже сведены к алгебраическим.

       Действительно, положив в них соответственно , , , , получим алгебраические уравнения:

   

         Решив каждое из них, найдем , , , .

         Уравнения  

         

 не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:

   т.к. , получаем , аналогично

     и

      Пример. Решить уравнение:       

      Решение:

 ,            ,                    ,

                             

   1.,           ,          ,               ,

   2. ,             , .

 Ответ: , , .

      При решении подобного типа уравнений, необходимо помнить формулы:

           ;

             ;

                    

             ;            ;         ;

            ;       ;      .

 а  также формулы из п. 1 – 4.

7)    Однородные уравнения

          Уравнения    и т.д. называют однородными относительно  и. Сумма показателей степеней при  иу всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

          Делением на , где  - степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции .

           Рассмотрим уравнение  …(1)

Разделим уравнение (1) на  и получим:

    …(2)

           При , уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. .

           Если же , то из уравнения (1) видно, что и , что не возможно, т.к. теряет смысл тождество  ( и при одном и том же значении  в нуль не обращаются).

           Из уравнения  (2) определяем значения , а затем находим соответствующие значения . Очевидно, что при   значения  не существуют на множестве R, а потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1) решений не имеют.

          Уравнение …(3) в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его правую часть на :

  

 При  уравнение (3) и (4) – равносильны.

           Из уравнения  (4) находим , а затем соответствующие значения       

   Примеры. Решить уравнение:

   1)       

   Решение:

   Разделим обе части уравнения на :

     ;         ;           ,    .

    Ответ:  ,    .

    2)            

    Решение:

    Разделим обе части уравнения на :

                          ,   .     Ответ: ,   .

    3)

     Решение:

     В условии не указано, что  , а потому делить на  - нельзя. Но можно утверждать, что  , так как в противном случае , что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на , получим:

 1.       или               2.

                                  

                                                ,           где .  

     Ответ: ,    ,  .  

     4) 

     Решение:

     Умножим правую часть уравнения на , получим:

 

     Очевидно, что . Разделим на , получим:

             и           и ,  .

    Ответ: ,  ,  .

8)    Уравнения, решаемые разложением на множители

       При решении многих тригонометрических уравнений нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения, искусственные приёмы. Необходимо также помнить формулы, указанные в п.5 и формулы , , .

  Пример. Решить уравнение:     

     Решение:

   

 1)    или           2)   

 1. ,             

 2.  ,         ,     .

8)Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

         Формулы преобразований суммы тригонометрических функций в произведение:

                       

    Пример. Решить уравнение:        

    Решение:

 

                    или   

                            

                          

 ,                 , .

     Ответ: ,    .

9) Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и     разложения произведения тригонометрических функций в сумму

         Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму:  

          а)         б)

                            

      Примеры. Решить уравнение:

     1)      - некоторое число.

      Решение:

 

          , тогда        

или    ,       ,       ,       ,    , .

     Ответ: , если   или , если ,  .

     2)

      Решение:

       

      ,  .               Ответ: ,  .

      3)

       Решение:

       ;   ;     ;

       ;          ;       ;

       ;                        , .

      Ответ: , .

      10) Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

        Формулы понижения степени:

          и .

       Примеры. Решить уравнение:

       1)   

        Решение:

 

             ;     ;         ,            

или       ;     ;            ;              ,  .

       Ответ: , ,  .

       2)

       Решение:

             ;       ;              ,                      

или       ;         ;       , .

      Ответ:  ,  , .

       3)

        Решение:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном проекте  были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --- характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.

В проекте  приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом.

СПИСОК   ИСПОЛЬЗОВАННЫХ    ИСТОЧНИКОВ

2        “Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.(стр. 116 - 125)

3        “Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

4        А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г.

5        http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm