Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Решение тригонометрических уравнений и неравнсв

Решение тригонометрических уравнений и неравнсв

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и молодежной политики

Ставропольского края


Государственное бюджетное профессиональное

Образовательное учреждение

« Георгиевский региональный колледж «Интеграл»





ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»



Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.



Дата сдачи: «___» __________2016 г.

Дата защиты: «___» __________2016г.


Георгиевск

2016





ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цель: Исследовать методику, направленную на формирование умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования.

2. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств в обучении математики.

3. Выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

4. Классифицировать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

5. Разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства.

6. Провести экспериментальное исследование разработанной методики.



Аннотация

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.











































Содержание


Введение

    1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

    1. Уравнения, сводимые к алгебраическим

1.2 Однородные уравнения

1.3 Уравнения, решаемые разложением на множители

1.4 Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

1.5 Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

2. Элементарные тригонометрические уравнения

Заключение

Список использованных источников


















Введение


В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

Решение уравнений и неравенств;

Решение систем уравнений и неравенств;

Доказательство неравенств.

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что

большое внимание уделяется первому и второму направлениям.

Требованием нашего времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.

Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.).

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Цель исследования: Разработать методику, направленную на формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Объект исследования: процесс обучения математике.

Предмет исследования: методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Гипотеза исследования: Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.






































Решение тригонометрических уравнений

К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида hello_html_73ab5d02.gif; hello_html_m71ffaec5.gif; hello_html_m382da825.gif и т.д. – тригонометрические уравнения. Уравнения вида hello_html_26243764.gif; hello_html_m5134ad23.gif; hello_html_m7bce513f.gif и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически.

Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому.

Например, hello_html_m4aa13fb1.gif.

Видим, что hello_html_3a244070.gif не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналитически:

hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_29208764.gif, откуда hello_html_m79957adf.gif или

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5617a49d.gif, hello_html_65195e80.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif

hello_html_m53d4ecad.gifРешить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

hello_html_m53d4ecad.gifПри решении тригонометрических уравнений будем пользоваться известными тригонометрическими формулами.

hello_html_m53d4ecad.gifПростейшими тригонометрическими уравнениями являются:

hello_html_59eb1845.gifи hello_html_570f84c0.gif, где hello_html_m49ca199e.gif;

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m45df7f78.gifи hello_html_m7c9a1670.gif, где hello_html_7aefb215.gif

hello_html_m53d4ecad.gifДля решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных типов.

  1. Уравнение вида sinx=a

Уравнение hello_html_59eb1845.gif может иметь решение только при hello_html_m49ca199e.gif.

Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

hello_html_m405f2199.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif и hello_html_m3391d2ee.gif. (1)

Остальные значения x в уравнении sin x = а:


Примеры. Решить уравнение:


1) hello_html_4cab526.gif

Решение:

hello_html_m4ae2c721.gif, hello_html_m775645f5.gif, hello_html_m6be1d9ec.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_m315f7d01.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Полезно знать, что hello_html_45c0ecb6.gif, поэтому если hello_html_17d443f7.gif, то формула (1) примет вид: hello_html_m33355a67.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif.

Пример. Решить уравнение:

hello_html_m23a4953c.gif

Решение:

hello_html_502052f7.gif, hello_html_42911e8c.gif, hello_html_5508aebd.gif,

hello_html_4f950ea.gif, hello_html_m472c9ef6.gif, hello_html_5289dd55.gif, hello_html_m19723a79.gif.

hello_html_m53d4ecad.gifОтвет: hello_html_5289dd55.gif, hello_html_m19723a79.gif.

hello_html_m53d4ecad.gifЧастные случаи:

  1. Если hello_html_1705bc3e.gif, то hello_html_m6990f85.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

  2. Если hello_html_2c8765ca.gif, то hello_html_2dcda0ec.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

  3. Если hello_html_305c771.gif, то hello_html_mb98f2de.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.


  1. Уравнения вида cosx=a

Уравнение hello_html_570f84c0.gif может иметь решение только при hello_html_m49ca199e.gif. Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

hello_html_m59e73beb.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif и hello_html_m3f5799ba.gif.

Полезно знать, что hello_html_2557207.gif.

Примеры. Решить уравнения:

1) hello_html_41f10b52.gif

Решение:

hello_html_m6fcfd174.gif, hello_html_m40c99f72.gif,

hello_html_6476f224.gif, hello_html_3a73d2bd.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_3a73d2bd.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

2) hello_html_m7a3037f5.gif

Решение: hello_html_3b3b72d0.gif, hello_html_m6d95a54d.gif, hello_html_1b092145.gif,

1. hello_html_m455d4ed1.gif, hello_html_m29058a4d.gif, где hello_html_f26dcda.gifhello_html_m4e34fa27.gif.

2. hello_html_m1a1b90cc.gif, hello_html_2d65a828.gifhello_html_m10a5e3da.gif.

Ответ: hello_html_m4e34fa27.gif, hello_html_m10a5e3da.gif, hello_html_m29058a4d.gif, hello_html_2d65a828.gif.

Частные случаи:

1. Если hello_html_m19e434d0.gif, то hello_html_m2899f3da.gif или hello_html_m1c5a079b.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

2. Если hello_html_m41a3c98a.gif, то hello_html_6729bfe3.gif или hello_html_m57beaa3b.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

  1. Уравнения вида tgx=a, где ahello_html_m7cb53dec.gifR

Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:

hello_html_m6b9740c9.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif.

Полезно помнить, что hello_html_m6ca47426.gif.

Примеры. Решить уравнение: hello_html_3febfba8.gif

Решение:

hello_html_7640d452.gif, hello_html_m1925a94f.gif, hello_html_26a928fe.gif,

hello_html_m6f9ed2f.gif, hello_html_m7b1a184a.gif, hello_html_m51bd815a.gif , hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_m51bd815a.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

  1. Уравнения вида ctgx=a, где ahello_html_m7cb53dec.gifR

Известно, что решение данного уравнения находят по формуле hello_html_m355db781.gif, где hello_html_m18ea58d3.gif и hello_html_m57ab1b00.gif.

Полезно знать, что hello_html_m67e41127.gif.

Примеры. Решить уравнение: hello_html_29f94fc4.gif

Решение:

hello_html_m77bd94b9.gif, hello_html_m141b1faa.gif, hello_html_6adac76a.gif,

hello_html_4b7feb02.gif, hello_html_m401c3014.gif, hello_html_m20d35a65.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_m20d35a65.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

  1. Уравнения, сводимые к алгебраическим

Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

Тригонометрические уравнения:

hello_html_m4b89b3a9.gif

уже сведены к алгебраическим.

Действительно, положив в них соответственно hello_html_m4107a05a.gif, hello_html_67fef614.gif, hello_html_3c6089f9.gif, hello_html_m355a4fd2.gif, получим алгебраические уравнения:

hello_html_6f2a1e5d.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решив каждое из них, найдем hello_html_227fed.gif, hello_html_66467661.gif, hello_html_m418e56ae.gif, hello_html_99c86a8.gif.

Уравнения

hello_html_m1a0a6ae6.gif

не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:

т.к. hello_html_219c09fc.gif, получаем hello_html_17074eb7.gif, аналогично

hello_html_m43f46113.gifи hello_html_m420a5b3a.gif

Пример. Решить уравнение: hello_html_m4177846b.gif

Решение:

hello_html_6ef5457f.gif, hello_html_22c3d0ac.gif, hello_html_m7825ba9b.gif,

hello_html_m7d345da8.gifhello_html_28644d2c.gif

1.hello_html_14b479bd.gif, hello_html_3d48515c.gif, hello_html_629b2603.gif, hello_html_m5dc382bc.gif, hello_html_m2730ffd9.gif

2. hello_html_6dff4801.gif, hello_html_72c29602.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_m5dc382bc.gif, hello_html_72c29602.gif, hello_html_m44c124e1.gif.

При решении подобного типа уравнений, необходимо помнить формулы:

hello_html_m6b70a878.gif;

hello_html_4e6918c9.gif;

hello_html_m68b07ccd.gifhello_html_2bfbdd6d.gif

hello_html_624fd3fc.gif; hello_html_5fd3b82e.gif; hello_html_2daa5a2.gif;

hello_html_m5ece685d.gif; hello_html_m599e9b8e.gif; hello_html_a3e13e5.gif.

а также формулы из п. 1 – 4.

  1. Однородные уравнения

Уравнения hello_html_61556fff.gifhello_html_m2b89930c.gifhello_html_4514f97d.gif и т.д. называют однородными относительно hello_html_227fed.gif иhello_html_63892783.gif. Сумма показателей степеней при hello_html_227fed.gif иhello_html_63892783.gifу всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

Делением на hello_html_m7239cdd6.gif, где hello_html_4c3714c5.gif - степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции hello_html_62e86c86.gif.

Рассмотрим уравнение hello_html_m6a094225.gif …(1)hello_html_m53d4ecad.gif

Разделим уравнение (1) на hello_html_m63e6a032.gif и получим:

hello_html_m6d01cf8.gif(2)

При hello_html_m2b5fb57.gif, уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. hello_html_m2da6cbd4.gif.

Если же hello_html_m19e434d0.gif, то из уравнения (1) видно, что и hello_html_305c771.gif, что не возможно, т.к. теряет смысл тождество hello_html_m3307ddaf.gif (hello_html_227fed.gif иhello_html_63892783.gif при одном и том же значении hello_html_46dff828.gif в нуль не обращаются).

Из уравнения (2) определяем значения hello_html_62e86c86.gif, а затем находим соответствующие значения hello_html_46dff828.gif. Очевидно, что при hello_html_77cdcadf.gif значения hello_html_62e86c86.gif не существуют на множестве R, а потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1) решений не имеют.

Уравнение hello_html_6436eb74.gif…(3) в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его правую часть на hello_html_m3307ddaf.gif:

hello_html_25f6803d.gif

При hello_html_m7e567789.gif уравнение (3) и (4) – равносильны.

Из уравнения (4) находим hello_html_62e86c86.gif, а затем соответствующие значения hello_html_46dff828.gif

Примеры. Решить уравнение:

1)hello_html_53f521f0.gifhello_html_23aeb9cc.gif

Решение:

Разделим обе части уравнения на hello_html_63892783.gif:

hello_html_m51362928.gif; hello_html_f8cb4a2.gif; hello_html_125cb25.gif , hello_html_m2730ffd9.gif.

Ответ: hello_html_125cb25.gif , hello_html_m2730ffd9.gif.

2) hello_html_m3739c192.gifhello_html_465a266b.gif

Решение:

Разделим обе части уравнения на hello_html_m39fb466e.gif:

hello_html_7767f3c9.gifhello_html_535894a1.gif, hello_html_m2730ffd9.gif. Ответ: hello_html_535894a1.gif, hello_html_m2730ffd9.gif.

3) hello_html_7cf20d8.gif

Решение:

В условии не указано, что hello_html_23aeb9cc.gif, а потому делить на hello_html_m63e6a032.gif - нельзя. Но можно утверждать, что hello_html_3ad14718.gif, так как в противном случае hello_html_m19e434d0.gif, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на hello_html_3f95d929.gif, получим:

hello_html_2e31051e.gif

1. hello_html_45a1cc56.gif или 2.hello_html_m32161015.gif

hello_html_m2899f3da.gifhello_html_m4e31ba8b.gif

hello_html_40caabf4.gif, где hello_html_71805e6e.gif.

Ответ: hello_html_m2899f3da.gif, hello_html_40caabf4.gif, hello_html_71805e6e.gif.

4) hello_html_6112d2aa.gif

Решение:

Умножим правую часть уравнения на hello_html_1865e233.gif, получим:

hello_html_m7a5947e2.gif

Очевидно, что hello_html_23aeb9cc.gif. Разделим на hello_html_m63e6a032.gif, получим:

hello_html_760e1978.gifhello_html_38747c38.gifи hello_html_5460a426.gifhello_html_78828493.gif и hello_html_m4e5cef39.gif, hello_html_71805e6e.gif.

Ответ: hello_html_78828493.gif, hello_html_m4e5cef39.gif, hello_html_71805e6e.gif.

  1. Уравнения, решаемые разложением на множители

При решении многих тригонометрических уравнений нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения, искусственные приёмы. Необходимо также помнить формулы, указанные в п.5 и формулы hello_html_m7ec1c97e.gif, hello_html_m2ee7c9ad.gif, hello_html_394dfdb.gif.

Пример. Решить уравнение: hello_html_m31dfa2a8.gif

Решение:

hello_html_m5c0589f2.gif

1) hello_html_52794b41.gif или 2) hello_html_m7cc493a6.gif

1. hello_html_7b6a4dde.gif, hello_html_760cbd38.gif

Ответ: hello_html_760cbd38.gif, hello_html_d8fd62b.gif , hello_html_71805e6e.gif.

2. hello_html_1705bc3e.gif, hello_html_d8fd62b.gif , hello_html_71805e6e.gif.

8)Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

Формулы преобразований суммы тригонометрических функций в произведение:

hello_html_mde29973.gifhello_html_m1ae305d7.gif

Пример. Решить уравнение: hello_html_6a76a72c.gif

Решение:

hello_html_428c7b31.gif

hello_html_m41917a3c.gifили hello_html_m386d9e25.gif

hello_html_33a47202.gifhello_html_m2da52bb4.gif

hello_html_614043c6.gifhello_html_7ef5871b.gif

hello_html_4250980f.gif, hello_html_m18ea58d3.gifhello_html_m4afee310.gif , hello_html_m2730ffd9.gif.

Ответ: hello_html_4250980f.gif, hello_html_m4afee310.gifhello_html_71805e6e.gif.

9) Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму:

а) hello_html_1576f2e3.gif б) hello_html_m7fda9418.gif

hello_html_162989b.gifhello_html_m532a781b.gif

Примеры. Решить уравнение:

1) hello_html_22e137fb.gifhello_html_m440d891e.gif - некоторое число.

Решение:

hello_html_3cd67803.gif

hello_html_m2427e5b2.gif, тогда hello_html_76ff6208.gif

или hello_html_m6d3f960c.gif, hello_html_14b479bd.gif, hello_html_5457a2e5.gif, hello_html_m318cba6b.gif, hello_html_m38aa88ac.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_76ff6208.gif, если hello_html_m62d2f6fb.gif или hello_html_m20977a1f.gif, если hello_html_42a2df29.gif, hello_html_m44c124e1.gif.

2) hello_html_6934632b.gif

Решение:

hello_html_af934ef.gif

hello_html_44820814.gif, hello_html_m18ea58d3.gif. Ответ: hello_html_44820814.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

3) hello_html_eacee2b.gif

Решение:

hello_html_m1dba4eb2.gif; hello_html_m6951b1a6.gif; hello_html_m4caca1ff.gif;

hello_html_5319a34f.gif; hello_html_m44aed4be.gif; hello_html_m312801f4.gif;


hello_html_m89c6677.gif; hello_html_445d768b.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

Ответ: hello_html_445d768b.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.

10) Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Формулы понижения степени:

hello_html_m8c76fce.gifи hello_html_655e7b93.gif.

Примеры. Решить уравнение:

1) hello_html_53d06d05.gif

Решение:

hello_html_778cb12d.gif

hello_html_m15db186d.gif; hello_html_10d64a23.gif; hello_html_70aee9c0.gif , hello_html_m18ea58d3.gif

или hello_html_1a337c2d.gif; hello_html_m5617a49d.gif; hello_html_2c6e69d6.gif; hello_html_m6e0f8730.gif, hello_html_m2730ffd9.gif.

Ответ: hello_html_70aee9c0.gif, hello_html_m6e0f8730.gif, hello_html_71805e6e.gif.

2) hello_html_m25ef2e05.gif

Решение:

hello_html_m3708a5e0.gif

hello_html_m3ccd1007.gif; hello_html_7f932cdb.gif; hello_html_m59740365.gif , hello_html_m18ea58d3.gif

или hello_html_m41917a3c.gif; hello_html_m7dbb9c1.gif; hello_html_3f0460aa.gif, hello_html_m2730ffd9.gif.


Ответ: hello_html_m59740365.gif, hello_html_3f0460aa.gif, hello_html_71805e6e.gif.

3) hello_html_516adbd.gif

Решение:

hello_html_m262f5020.gif


hello_html_m739db705.gif

[. hello_html_4283c4c0.gif 2. hello_html_7ba1c496.gif

hello_html_m392d16ff.gif, hello_html_m18ea58d3.gifhello_html_59479e97.gif.

Ответ: hello_html_m392d16ff.gif, hello_html_m18ea58d3.gif.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данном проекте были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --- характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.

В проекте приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

  1. Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.(стр. 116 - 125)

  2. Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

  3. А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г.

  4. http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 26.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров120
Номер материала ДБ-292266
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх