Сборник исследовательских работ на уроке математики 5-11 класс

Исследовательская

деятельность учащихся

при обучении математике

Из опыта работы учителей математики

МАОУ СОШ №10

 

 

 

Исследовательская работа  как один из методических приемов обучения учащихся на уроках и во внеклассной работе.

Е. А. Герасименко, ведущий методист НМЦ  УО  г. Таганрога

Исследовательская работа имеет очень важное значение в развитии творческих способностей учащихся. Ребенок учится наблюдать, анализировать объект, сравнивать, оценивать, находить общее с другими. Умение наблюдать тесно связано с умением видеть проблемы.

Вслед за выявлением проблемы идет поиск ее решения. Поиск решения осуществляется в форме выдвижения догадок или гипотез. Умение выдвигать гипотезы, строить предположение - одно из главных базовых умений исследования. Не любое предположение  можно назвать гипотезой. Но для детских исследований, направленных на развитие творческих  способностей ребенка, наиболее важным является наличие  гипотез и поиск их доказательств.

Изначально гипотеза не истинная и не ложная, она просто не определена. Стоит ее подтвердить, как она становится теорией, стоит опровергнуть, как она превращается в ложное предположение.

Способы проверки гипотез:

- теоретические (логика, анализ имеющихся знаний)

- эмпирические (наблюдения, эксперименты, исследования)

При проверке гипотез может быть организована следующая   деятельность(индивидуальная или групповая):

-дополнительный сбор фактов;

-обоснование известными теоретическими знаниями;

-экспериментальная проверка и наблюдение;

-лабораторная или практическая работа.

В ходе рабочего процесса используется: мозговой штурм, защита выработанных позиций, технология критического мышления, технология «погружений», что  придает работе организованность и поэтапность.

Выводы могут представлять собой новые формулы, правила, свойства рассматриваемых объектов, а также обобщения, методы, способы, алгоритмы деятельности.

Выводы исследовательской деятельности могут быть оформлены в виде устного сообщения, отчета, реферата или доклада, проекта, публикации или изобретения.

Исследовательская работа, 5 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Умножение десятичных дробей».

Цель: сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задания выполняются по группам.

Ход работы.

Задача. Найдите площадь прямоугольника  со сторонами a дм  

и b дм. Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает свои значения a и b.

1. Переведите дециметры в сантиметры или миллиметры,

      чтобы работать с натуральными числами.

2. Найдите площадь прямоугольника в см²  или мм².

3. Переведите см² или мм² в дм².

4. Заполните с пятой по восьмую строку таблицы.

№	1	2	3	4	5	6
а, дм	1,3	1,6	1,26	1,23	1,31	1,452
b, дм	0,8	1,32	1,3	1,42	1,123	1,27
S, дм 2
а, см (мм)
b, см,(мм)
S, см 2,(мм2)
S, дм 2

5.     Сравните  результаты в таблице,  сформулируйте гипотезы о том, как перемножаются десятичные дроби.

6.     Проверьте гипотезы, опираясь на факты таблицы.

7.     Сделайте вывод, работая с учебником.

Итог. Ученики формулируют правило умножения десятичных дробей.

                            Исследовательская работа, 6 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Экспериментальное получение числа π».

Цель: найти приближённое значение числа π.

Оборудование: картонные круги  с указанным центром, нитка, линейка.

Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает комплект кругов с разными радиусами.

Ход работы.

1.     Проведите и измерьте радиус круга.

2.     Вычислите диаметр круга.  

3.     С помощью нитки или перекатывая круг вдоль линейки, измерьте длину окружности.

4.     Заполните таблицу.

r
d
C
C d

5.     Сформулируйте гипотезы об отношении длины окружности  к диаметру.

6.     Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Делается вывод, что отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная и получают приближенное значение числа π.

Исследовательская работа, 6 класс.                                                                                          В.В.Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Осевая симметрия».                                                                        

Цель: ввести понятие оси симметрии для отрезков, треугольников (рассмотреть различные виды треугольников).                                                                  

Оборудование:  проектор,  листы  белой  бумаги  для  каждого учащегося, карандаш,  различные  виды  треугольников: 5 равносторонних ,                  5 равнобедренных, 5прямоугольных, 5 разносторонних.

Ход работы.

1. Постройте отрезок AB на листе бумаги.                                                            

2. Перегните лист так, чтобы т.A и т.B совпали.

3. Разверните лист и проведите карандашом линию перегиба. Назовите эту прямую m.

4.  Точку пересечения отрезка AB с  прямой    m  обозначьте О. Как расположена т.O относительно  прямой   m  и  относительно отрезка AB?   

 5. Возьмите на прямой m точки C, D, K, M. Как записать, что эти точки лежат на  прямой  m?                                            

 6. Соедините каждую точку с концами отрезка АВ. Что можно сказать о полученных треугольниках AOC и BOC?   Как  это доказать?  

7. Назовите равные элементы в треугольниках AOC и BOC.  

8. Рассмотрим треугольник ADO и BDO.Что можем сказать об этих треугольниках? Назовите равные элементы и в этих треугольниках.  Итак, мы  видим, что т.A и т.B находятся на одинаковом расстоянии от прямой m, т.е. т.A и т.B равноудалены от прямой m. Прямая m называется  осью симметрии  отрезка AB и треугольника АВД.                                         

9. Что мы можем сказать о длинах отрезков AM и MK? AP и PB? Итак, любые точки, принадлежащие оси симметрии отрезка AB, равноудалены от его концов.

10. Рассмотрим треугольники  ACB, ADB, AMB, APB. Что делает прямая m с этими треугольниками?  Проверьте гипотезу на различных видах треугольников.

Итог.   Сформулировали определение оси симметрии  и проверили симметричность различных видов треугольников.

                               Исследовательская работа , 7 класс.

                                          Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «График уравнения ax+by+c=0».

Цель: выяснить, как расположены в координатной плоскости решения уравнения ax+by+c=0. Сформулировать алгоритм построения графика этого уравнения.

Оборудование: проектор, инструменты.

Ход работы.

a

b

c

A1

A2

A3

A4

A5

( x

y )

( x

y )

( x

y )

( x

y )

( x

y )

1

3

-2

6

2

1

1

-3

3

1.     Составьте уравнение: ax + by + c = 0.

2.     Подберите 5 решений, удовлетворяющих уравнению.

3.     Постройте в координатной плоскости точки с координатами (x;y), соответствующими решению уравнения.

4.Выясните, все ли решения мы отметили в координатной плоскости. Проанализируйте, где будут расположены остальные решения.

5.Выдвижение гипотезы, что множеством решений уравнения

ax + by + c = 0 есть множество точек, образующих  прямую.

6.Отметим, что доказательство этой теоремы будет проведено позже в            9 классе.

7.Так как графиком уравнения является прямая, обговаривается количество точек, необходимых для её построения.

Итог. Формулировка алгоритма построения графика уравнения

ax + by + c = 0.

Исследовательская работа, 7 класс.

          Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Возведение в квадрат трехчлена».

Цель: вывести формулу возведения трехчлена в квадрат.

Оборудование: тетрадь, ручка, карандаш и линейка.

Ход работы.

1.     Постройте квадрат, длина стороны которого равна сумме длин трех  произвольных отрезков a + b + c.

2.     Запишите формулу для вычисления площади такого квадрата.

3.     Разбейте квадрат на 9 частей, соединив концы отрезков на сторонах  квадрата.

                                    a           b               с

4.     Найдите площади всех частей, занесите данные в таблицу.

S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8	S9

Сложите получившиеся результаты и соотнесите с формулой из пункта 2.

5.     Сформулируйте свои гипотезы о возведении в квадрат трехчлена.

6.     Проверьте гипотезы, используя формулу возведения в квадрат двучлена

,  где .

Итог.   Выводится  формулу возведения трехчлена в квадрат:              

 (а + b + с)²  =  а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс.

                                    Исследовательская работа, 7 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «  Применение метода  перебора».

Цель: научить применять метод перебора при решении задач.

Оборудование: таблица, инструменты.

Задача., работая с учебником Найти все двузначные числа, если сумма квадратов их цифр на 9 меньше первой цифры, умноженной на 4.

Ход работы.

1. Составьте математическую модель:

 

2. Выразите из равенства .

3. Занесите в таблицу расчеты при .  Подумайте, почему именно эти значения х?  Всегда ли возможно найти у?

х			y

4. Выберите х и у и составьте из них двузначные числа.  Могут ли быть другие двузначные числа, удовлетворяющие решению задачи?

5. Сформулируйте гипотезы о том, когда можно применять данный метод. Какое бы вы дали ему название?

6. Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Установлен  новый метод   при решении задач, в которых конечное число вариантов для неизвестных - метод перебора.

Исследовательская работа. 7 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Взаимное расположение графиков линейных функций». 

Цель: научиться оценивать взаимное расположение графиков линейных функций, не выполняя построения.

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.

4.     Построить два графика линейной функции y = kx + m в одной системе координат. Задания выполняются по группам.

1)у₁= 2х +3;         2)у₁= 2х +3;          3)у₁= х +4;                  

    у₂= 2х - 2;            у₂= -х +3;              у₂= х -3;

 4)у₁= х +3;         5)у₁=3х -5;           6)у₁= -2х;                   

    у₂= 0,5х +3;         у₂=2х -2;              у₂=-2 х +1;

5.     Заполнить таблицу.

	1	2	3	4	5	6
	К1=       К2=	К1= К2=	К1= К2=	К1= К2=	К1= К2=	К1= К2=
	m1=   m2=	m1=   m2=	m1=   m2=	m1=   m2=	m1=   m2=	m1=   m2=
Взаимное расположение графиков

3. Сделать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от коэффициентов к и m. 

4.  Проверка полученных выводов с помощью учебника.

Итог. Если к₁= к_2, m₁≠ m_2, то прямые у=к₁х + m₁ и у=к₂х + m₂ параллельны.         Если к₁= к_2, m₁ = m_2, то прямые у=к₁х + m₁ и у=к₂х + m₂  совпадают.                       Если к₁  ≠ к_2,  то прямые у=к₁х + m₁ и у=к₂х + m₂   пересекаются.

 Исследовательская работа, 7 класс.                                                                                         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Цель: научиться определять количество решений системы, не находя самих решений.

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.                                                                                                            1.Решить графически систему уравнений 

Задания выполняются по группам.

1)

2.Заполнить таблицу.

	1			2	3	4	5	6
	a1= a2=	b1= b2=	c1= c2=
Количество решений

3.Сделать выводы, как зависит количество решений системы        
 от коэффициентов  a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c₂.

4.Проверка полученных выводов с помощью доказательства.

Итог. Если, , то система решений не имеет.                             Если, , то система имеет бесконечное множество решений.

Если, , то система имеет одно решение.

                            Исследовательская работа, 7 класс.

                                      Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

Цель: вывести свойства прямоугольного треугольника.

Оборудование: равносторонний треугольник, вырезанный из бумаги.

Ход работы.

1.Сложите треугольник Δ пополам и определите углы, получившегося треугольника Δ.

 

2.Сравните длины гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30˚

3. Согните острые углы так, чтобы получился четырехугольник.

4. Сформулируйте гипотезы о сумме острых углов прямоугольного треугольника и о катете, лежащем против угла в 30˚.

5.Проверьте гипотезы и сделайте выводы. 

Итог. Формулируются свойства прямоугольного треугольника:

сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰;

катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

           Исследовательская работа,   7 класс.

                  Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Первый  и  второй признаки равенства треугольников».

Цель: сформулировать первый и второй признаки равенства треугольников.

Оборудование: альбомный лист, инструменты, ножницы.

Ход работы.

Работа в группах.

1.Постройте в тетради треугольник:

1 группа. А=40°, АВ=5см, АС=3см.

2 группа. ∠А=120°, АВ=6см, АС=4см.

3 группа. ∠А=90°,  АВ=7см, АС=5см.

4 группа. А=45°, АВ=5см,=45°.

5 группа. ∠А=120°, АВ=6см, =20°.

6 группа. ∠А=90°,  АВ=7см, =30°.

2.По этим же данным постройте треугольник на альбомном листе, вырежьте его.

3.Сравните два треугольника (наложением).

4. Сформулируйте гипотезы о равенстве треугольников по некоторым элементам.

5. Сверьте гипотезы с формулировками теорем по учебнику.

Итог. Формулируются  первый и второй признаки равенства треугольников.

            Исследовательская работа факультативного курса,  7 класс.

                                 О. В. Алексеева, учитель первой категории.

Тема: Перевод времени: прихоть или необходимость.

Цель: выяснить, зачем в России  переводят стрелки часов на летнее время.

Оборудование: счетчик электроэнергии, таблица восхода и захода солнца, график бодрствования человека.

Ход работы:

1. Сформулировать гипотезу на основе своих знаний и мнения окружающих о том, зачем переводят стрелки часов на летнее время  (желательно провести анкетирование разных возрастных групп и результаты представить в виде диаграммы).

2. Составить формулы и  вычислить денежную экономию на примере нескольких семей.

3. Провести исследование и выяснить какой ритм жизни, с биологической точки зрения, благоприятен для человека(опрос разных возрастных групп населения, статистические данные из поликлиник и больниц и т.д.)

4.  Сравнить результаты исследования с гипотезой, сформулированной в начале исследования.

Итог. Сделать выводы о денежной экономии в исследуемых семьях; проанализировать данные о здоровье человека в период перевода часов на летнее время; в случае несовпадения гипотезы с результатами исследования назвать причины; сформулировать свое мнение о полученных результатах и если это возможно, предложить свой выход из создавшейся ситуации.

    Исследовательская работа, 8 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Наибольшее значение произведения положительных чисел при их фиксированной сумме».

Цель: определить значения положительных чисел, для которых их произведение будет  наибольшим при фиксированной сумме.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1.     Представьте данное число в виде суммы двух положительных слагаемых всеми способами.

2.     Найдите произведение каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а+b=8       II группа а+b=10        III группа а+b=12

а	b	аb

а	b	аb

а	b	аb

3.     Выберите, при каких значениях a и b произведение наибольшее.

4.     Сформулируйте гипотезы о зависимости произведения положительных величин при их фиксированной сумме от значений этих величин.

5.     Проверьте истинность гипотез, составив разность между произведением аb, когда a и b различны, и, когда они равны, учитывая, что при равенстве а и b  а+b=2а=2b=к, а=b=к∕2, аb=к²∕4=(а+b)²∕4 .

Итог.  Делается вывод о том, что  произведение положительных чисел будет наибольшим при их фиксированной сумме, если эти числа будут равны.

Исследовательская работа, 8 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Наименьшее значение суммы положительных чисел при их фиксированном произведении».

Цель: определить при каких значениях положительных чисел их  сумма будет  наименьшая, при фиксированном произведении.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1.     Представьте данное число в виде произведения  двух положительных множителей  всеми возможными способами.

2.     Найдите сумму каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а×b=64       II группа а×b=100        III группа а×b=36

а	b	а+b

а	b	а+b

а	b	а+b

3.     Выберите, при каких значениях a и b сумма получилась минимальная.

4.     Сформулируйте гипотезы о зависимости суммы  положительных величин при их фиксированном произведении от значений этих величин.

5.     Проверьте истинность гипотез, составив разность между суммой а+b, когда a и b различны, и, когда они равны,  учитывая, что при равенстве а и b  аb = а² = b² = к,              а = b = √к, а + b = 2√к = 2√аb.  

Итог. Делается  вывод о том, что сумма положительных чисел будет наименьшей при фиксированном произведении, если эти числа равны.

                          Исследовательская работа, 8 класс.

               Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Нахождение значения  многочлена».

Цель: вывести правило нахождения значения многочлена с помощью схемы Горнера.

Оборудование: карточки с таблицей.

Ход работы.

Работа по группам.

Дан многочлен

Начертите таблицу и заполните верхнюю строку коэффициентов, внешний столбик, значение х и столбик старшего коэффициента.

1 группа x = 2, 2 группа x = 3, 3 группа x = 6.

		5	-8	-19	-6
I	2	5
II	3	5
III	6	5
			а)	б)	в)

1.   Преобразуйте многочлен следующим образом:

 и вычислите значение при заданном х.

а) во внутренних скобках;

б) во внешних скобках;

в) конечный результат.

2.   Занесите полученные числовые выражения и их значения в таблицу в строку соответствующего столбика а) б) в)

3. Сопоставьте полученные числовые выражения в клетке таблицы с числом стоящим в клетке слева, с «внешним» числом и числом из строки коэффициентов «сверху».

4. Сформулируйте гипотезы нахождения чисел в клетках таблицы.

5. Проверьте ваши гипотезы, сравнив с правилом в учебнике.

Итог.  Научились находить  значения многочлена с помощью схемы Горнера, вывели правило заполнения строк «следующее = левое × внешнее + верхнее».

                                 Исследовательская  работа,  8 класс.

            Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Теорема Виета».

Цель: сформулировать теорему Виета.

Оборудование: карточки с заданиями.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Решите уравнение x² + px + q = 0.

1гр.

2гр.

3гр.

4гр.

5гр.

6гр.

2. Заполните таблицу:

	1	2	3	4	5	6
p
q
x1, x2
x1 ∙ x2
x1 + x2

3. Найдите закономерность и сформулируйте гипотезы о

   связи  корней и коэффициентов приведенного квадратного  

   уравнения.

4. Верны ли полученные выводы для уравнения     

                 ax² + bx + c = 0?

5. Преобразуйте его к виду приведенного квадратного  

    уравнения _.

6. Сформулируйте гипотезы  для уравнения ax² + bx + c = 0.

7. Проверьте гипотезы c помощью доказательства, данного в учебнике.

Итог. Формулируется теорема Виета: Если х₁  и  х₂ корни уравнения           ах² + bх + с = 0, то х₁ +  х₂ = -,  х₁ ∙  х₂ =.

                              Исследовательская работа , 9 класс.

       Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Теорема синусов».

Цель: сформулировать теорему синусов.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир, таблицы Брадиса.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Постройте окружность заданного радиуса:

1 группа R =2см, 2 группа R = 3см, 3 группа R = 4см.

2. Возьмите три произвольные точки  на окружности и постройте треугольник.

3. Измерьте стороны и углы треугольника.

4. Заполните таблицу.

n	1	2	3
an
An
Sin An

5. Сформулируйте гипотезы об отношении стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

6. Сравните результат с величиной диаметра окружности.

7. Проверьте гипотезы.

Итог.   Формулируется теорема синусов:        

и рассматривается ее доказательство по учебнику.

                               Исследовательская работа, 9 класс.

         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Уравнение эллипса».

Цель: вывести уравнение построенной кривой.

Оборудование: лист бумаги, кнопки, нитка, карандаш.

Ход работы.

1.     На листе воткните две кнопки на расстоянии 12 см друг от друга    (точки А и В).

2.     Из нитки длиной 32 см свяжите кольцо и набросьте его на кнопки.

3.     Оттягивая нитку карандашом, проведите на листе бумаги замкнутую кривую.

4.     Введите систему координат: О (0;0) – середина АВ, Ох – прямая, совпадающая с  АВ, Оу – прямая, проходящая  через (0;0) перпендикулярно Ох.

5.     Определите координаты точек А и В в этой системе координат.

6.     Для произвольной точки М (х; у) кривой выполняется равенство АМ+ВМ+АВ=32. Чему равно тогда АМ+ВМ?

Выразите АМ + ВМ по формуле расстояния между точками через координаты точек А, М, В.

7.     Упростите полученное уравнение:

- перенесите один корень в правую часть,

- возведите в квадрат обе части уравнения,

- приведите подобные слагаемые,

- «уедините» корень и снова возведите в квадрат обе части уравнения,

- еще раз приведите подобные слагаемые,

- разделите обе части уравнения на свободный член,

-представьте числа в знаменателях дробей в виде квадратов.

8.     Сравните  полученные в уравнении числа с   координатами точек пересечения кривой с осями.

Сформулируйте гипотезы об уравнении эллипса.

9.     Проверьте гипотезы, сравнив с выводом уравнения эллипса в учебнике в общем виде.

Итог. Выводится  уравнение эллипса:   и выясняется  способ определения  а и b.

Исследовательская работа предпрофильного курса, 9 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Связь между вероятностями и статистическими данными».

Цель: установить связь между статистическими данными и вероятностью, сформулировать закон статистической  устойчивости.

Оборудование: монеты, кубики, карты, пособие А. Г. Мордковича,

 П. В. Семенова «», тексты  из книги Г. Остера «Вредные советы–2», ПК, проектор, экран и презентация.

Работа по группам.

Первой группе: А – выпадение решки при бросании монеты,

 второй группе: А – выпадение пяти очков при бросании игрального кубика, третьей группе: А- выбор бубновой карты из четырёх карт разной масти.

Работа сначала проводится индивидуально.

Ход работы.

1. Проведите десять испытаний на исследование частоты наступления события А и запишите результаты в свою таблицу.

Испытание	Число испытаний (N)	События А	Частота события А (M)	Относительная частота события (W (А) = M/N)
Бросается  монета		Выпала решка
Бросается кубик		Выпало пять очков
Выбор одной карты из  четырёх разных мастей		Карта бубновой масти

2. Соберите данные всей группы и посчитайте общую частоту.

    Посчитайте классическую вероятность.

3. Сравните свою частоту, общую частоту с классической вероятностью.

4. Сформулируйте свою гипотезу об их связи.

5. Сравните свои гипотезы с законом статистической  устойчивости.

Проведите  статистическое исследование литературного текста.

Какая из букв А, О, Е, И чаще встречаются.

6. Посчитайте общее число букв А, О, Е, И, заполните таблицу и посчитайте частоту появления каждой буквы.

Общее число букв в тексте	Число букв А	Число букв О	Число букв Е	Число букв И	Частота появления буквы
					А	О	Е	И

7. Сравните результаты в группе, чтобы избежать ошибки в счёте.

8.  Озвучьте свой текст и результаты исследования, сделайте свой вывод.

9. Посчитайте общую частоту появления букв во всех трёх текстах. Сделайте общий вывод.

10.  Сравните полученный результат с результатом статистического исследования над огромным числом литературных текстов в виде частотной таблицы языка.

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
Частота	6,2	1,4	3,8	1,1	2,5	7,2	0,7	1,6	6,2	1,0	2,8	3,5	2,6	5,3	9,0	2,3
Буква	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ш	Щ	Ы	Ь, Ъ	Э	Ю	Я
Частота	4,0	4,5	5,3	2,1	0,2	0,9	0,4	0,6	0,3	1,6	1,4	0,3	0,6	1,8

11. Обратите внимание на расположение букв на клавиатуре, почему их не расположили в порядке алфавита?

 Итог. Устанавливается связь теории вероятностей и математической статистики с практикой.

Исследовательская работа, 10 класс.

         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Правильные многогранники».

Цель:  установить число правильных многогранников, их названия, их        Эйлерову характеристику, двойственность и место в философии.

Оборудование: развертка выпуклого многогранного угла, набор правильных многогранников, таблицы, ПК, проектор, экран и презентация.

 Ход работы.

Работа состоит из серии исследований.

1 исследование:  определение количества правильных многогранников.

 1. Рассмотрите  развертку выпуклого многогранного угла, в его  вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.                                                                 

2. Сколько может быть углов правильного трех, четырех, пяти, шестиугольника при вершине многранного угла?

3. Составьте и решите в целых числах неравенства:

60к < 360, 90к < 360, 108к < 360,   (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

4. Сделайте общий вывод.

2 исследование: установление соотношения между названиями и количеством граней.

5.Посчитайте количество вершин, ребер и граней каждого многогранника и заполните таблицу

№	Правильный многогранник	Число вершин	Число  ребер	Число  граней	В-Р+Г
1
2
3
4
5

6. Определите   название многогранников по числу граней, если в переводе с греческого языка: тетра – 4, гекса -6, окта -8, додека – 12, эйкоси -20.                       

7. Проверьте по слайду, верны ли ваши названия.

3 исследование: определение Эйлеровой  характеристики.

8.Вычислите Эйлерову характеристику по формуле В-Р+Г, что вы замечаете?

9. Сделайте общий вывод.

4 исследование: установление  двойственности многогранников.

10. Представьте, что получится, если построить многогранник, соединив все центры граней у куба, додекаэдра и тетраэдра?

11.  По таблице сравните, у какого многогранника число граней   равно числу вершин другого.

12. Сделайте общий вывод о двойственности многогранников.

13. Сравните по слайду ваши предположения.

5 исследование: ознакомление с правильными многогранниками,  как символами стихий.

14. Определите,  какой из многогранников олицетворял какую сущность или "стихию.

Попробуйте, держа их в руках пофантазировать, если известно, что:.

он символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх,  

он -  воду, т.к. он самый "обтекаемый",   

он - землю, как самый "устойчивый",   

он  - воздух, как самый "воздушный»,  

он - символизировал все мироздание, считался главным.

15. Сравните по слайду ваши предположения.

Итог. Определяется число правильных многогранников и их названия,  Эйлерова характеристика, двойственность и место в философии.

 Исследовательская работа, 11 класс.

               В. В. Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции».

Цель: показать связь вычисления площади криволинейной трапеции с понятием интеграла.

Оборудование: рабочая тетрадь, инструменты.

Ход работы.

Работа по группам.

1.     Постройте прямоугольники с заданным шагом и высотами, найдите их площади и сложите.

2.     Найдите точное значение площади по формуле Ньютона-Лейбница.

3.     Разбейте отрезок [0;1] на 10 равных частей.

4.     Через эти точки проведите прямые, перпендикулярные Ох, до пересечения с кривой у=х²   и вычислите значения функции в этих  точках.

5.     Постройте график функции у=х²  на отрезке [0;1] (единичный отрезок 10 см)

6.     Внесите полученные результаты в таблицу:

	I гр	II гр	IIIгр	Точная площадь
S криволин. трапеции

7.     Сравните полученные площади с точным значением площади  и определите зависимость результата от шага.

8.     Сформулируйте гипотезу о вычислении площади криволинейной трапеции.

9.     Проверьте гипотезу.

Итог. Вычислили площадь подграфика на отрезке [а; b] способом разбиения всей площади на более мелкие криволинейные трапеции. Установили, что площадь подграфика функции f(х) – одна из первообразной этой функции, т. е. S(х) = ∫ f(х) dх.

Исследовательская работа, 11 класс.

             В. В. Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Применение интеграла для вычисления площади криволинейной                   трапеции».

Цель: установить зависимость площади криволинейной трапеции от способа интегрирования.

Оборудование: на рис. изображен график функции , где . Точка В_х и точка В_у  - проекции точки В на оси координат.

Ход работы.

Работа по группам.

1.     Запишите в виде интеграла площадь  криволинейной трапеции:

I группа – SOBB_x

II группа – SOB_yB

III группа – OB_yBB_­x

2.     Запишите  площадь той же криволинейной трапеции  по оси ОУ.

3.     С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислите значение  площадей по оси ОХ и по оси ОУ

4.     Занесите полученные данные в таблицу:

	I гр	II гр	III гр
S(x)
S(y)

5.     Сравните площади криволинейных трапеций в результате вычисления различными способами.

6.     Сформулируйте гипотезы о вычислении S криволинейной трапеции.

7.     Проверьте гипотезы.  

Итог.  С помощью формулы Ньютона – Лейбница  

S(х) = F(b)-F(a) = _а ∫ ^b  f(х) dх  установили, что площадь криволинейной трапеции не зависит от способа интегрирования.