Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник заданий по планиметрии. Треугольники

Сборник заданий по планиметрии. Треугольники

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7
имени адмирала Ф.Ф.Ушакова









Сборник заданий по планиметрии.
Треугольники
(Задания для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)





учитель математики

Кузнецова Нелли Валериевна

















Тутаев, 2015


СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………......3

  1. Дидактический комплект………………………………………………….5

1.1 Описание дидактического комплекта………………………………...5

  1. Рекомендации по проведению обобщающего повторения темы «Треугольники» …………………………………….……………………..7

  2. Теоретические сведения и задания для повторения основных свойств треугольников………………………………………………………………8

  1. Треугольник и его элементы…………………………………………...8

  2. Признаки равенства треугольников………………………………….10

  3. Подобные треугольники ……………………………………..…….....10

  4. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике…………………………………………………………...14

  5. Четыре замечательные точки треугольника…………………………19

  6. Свойство биссектрисы угла треугольника …………………………..20

  7. Задачи на применение свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника………………………………….………………………..22

  8. Задачи на применение свойства медиан треугольника……………...23

  9. Теорема Фалеса………………………………………………………...24

  10. Теорема синусов и косинусов (Решение треугольников)…………...26

  11. Вписанные и описанные окружности………………………………..29

  12. Площадь треугольника………………………………………………..30

  13. Вычисление некоторых линейных элементов треугольника с использованием формулы площади 32

Литература………………………………………………………………………...34

Приложения……………………………………………………………………….37




ВВЕДЕНИЕ

При обучении математике ученик последовательно переходит от изучения одной дидактической единицы к изучению другой. При этом у него формируются линейные связи между различными дидактическими единицами. С ростом числа дидактических единиц цепочка линейных связей между ними увеличивается, её становится трудно удержать ученику в памяти, поэтому постепенно математика начинает представляться для него в виде набора некоторых определений, аксиом, теорем, задач.

Одна из главных целей обучения математике – формирование системы знаний у обучающихся. Поэтому необходима организация деятельности учащегося на определенном этапе обучения, специально направленная на систематизацию и обобщение приобретенных учеником элементов знаний. Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания.

Обобщающее повторение целесообразно проводить в конце 9го класса, когда изучение планиметрии закончено и необходимо систематизировать полученные учащимися знания и приобретенные умения для дальнейшего их применения на выпускном экзамене по математике.

Особое значение имеет обобщающее повторение при изучении первых разделов стереометрии, так как одним из важных вопросов является проблема закрепления материала по планиметрии в процессе преподавания стереометрии. Актуальность этой проблемы исходит из необходимости умелого использования материала по планиметрии на уроках стереометрии при решении задач на сечения многогранника плоскостью, нахождение площадей полученных сечений, вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

В предыдущие годы геометрические задания при сдаче ЕГЭ выпускники плохо решали или не решали вовсе. В настоящее время наметился прогресс в выполнении геометрических задач на выпускном экзамене, однако выпускники по-прежнему испытывают определенные трудности при решении планиметрических задач.

Несмотря на то, что некоторые задачи экзаменационной работы – вычислительные, для их решения важно владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур на уровне применения этих свойств для проведения вычислений и, что очень важно, для распознавания различного вида фигур.

По-прежнему, как показывает анализ результатов ЕГЭ, низок процент справляемости с заданиями по стереометрии и планиметрии из второй части КИМа. Решение данных задач требует от учащихся умения проводить анализ условия задачи, который выведет на комплексное применение нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии. Практика проведения ЕГЭ говорит о том, что большее влияние на результаты выполнения заданий оказывает не тематика проверяемого материала, а степень узнаваемости ситуации, в которой он применяется. Из всего сказанного следует, что для успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:

1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;

2) формирование системных знаний об изучаемых в школьном курсе фигурах;

3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;

4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Результатом составления данного сборника является многолетний опыт работы с учащимися 9 – 11 классов, который показывает, что при решении указанных проблем большая роль отводится повторению материала, систематизированного по изученным фигурам, которое следует проводить в конце 9 и 11 классов.

  1. ДИДАКТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКТ
    1.1. Описание дидактического комплекта

Закончив изучение курса планиметрии в 9-м классе, учащиеся не всегда могут применить полученные знания при решении задач. На уроках часто не хватает времени для полноценного закрепления изученного материала на решении задач. По некоторым темам нет достаточного количества необходимых задач.

У учеников появляются пробелы в знаниях, которые со временем накапливаются и устранение их требует больших затрат по времени. В 10-11 классах при изучении стереометрии постоянно приходиться возвращаться к некоторым фактам планиметрии, поскольку решение любой стереометрической задачи сводиться к решению нескольких планиметрических задач. Поэтому необходимо иметь комплект дидактических материалов, который учитель всегда может использовать по мере необходимости.

Разработанный дидактический комплект направлен на ликвидацию пробелов в теоретическом материале и его систематизацию, отработку умений и навыков решения задач по всему курсу планиметрии. Здесь предусмотрено повторение свойств основных фигур через решение задач. Дидактический комплект содержит задачи, навык решения которых потребуется при изучении стереометрии, а также при подготовке к ГИА в 9 классе и ЕГЭ. Большая часть теоретического материала дана в справочных таблицах, которые могут вывешиваться на уроки повторения или записываться учащимися в справочные тетради. Некоторые темы предлагается повторить устно, решая задачи с использованием готовых чертежей, а в классах со слабоуспевающими учащимися решения некоторых таких задач можно записать.

Комплект содержит задачи с решениями, демонстрирующими какой-либо способ рассуждений при решении задач, который возможно не был рассмотрен на уроке при изучении данной темы. Задачный материал по некоторым темам оформлен в виде тестов, имеет готовые чертежи.

При повторении и систематизации материала целесообразно одну и ту же задачу решать несколькими способами, что способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить к решению задачи с разных сторон. Поэтому в комплекте есть задачи, решенные несколькими способами. При разборе различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны оценить все плюсы и минусы способа и выбрать наиболее удачный. Возможность проведения анализа, выбор рационального способа решения воспитывают самостоятельность учащихся, способствуют прочности усвоения геометрического материала.

В дидактический комплект могут включаться:

  1. Справочные таблицы.

  2. Задания с готовыми чертежами.

  3. Блок ключевых задач планиметрии и группы задач с их использованием.

  4. Материалы для проведения контроля за знаниями учащихся, разноуровневые задания.

  5. Наборы задач с решениями несколькими способами.


    1. Рекомендации по проведению обобщающего повторения темы «Треугольники»

Повторение планиметрии можно провести с помощью специально подобранных упражнений по каждой из основных тем геометрии 7-9 классов. Система упражнений направлена на ликвидацию недостатков в знаниях по планиметрии учащихся 9-х классов, кто планирует успешно сдать выпускной экзамен по математике, а также далее обучаться в 10-11 классах. Предлагаемая система упражнений направлена на формирование специальных математических навыков решения планиметрических задач. При этом из курса 7-9 классов выбраны только те умения и навыки, которые имеют широкое применение при решении задач по стереометрии, а также на ЕГЭ.

Заключительное повторение курса планиметрии можно построить на основе повторения свойств основных геометрических фигур – треугольников, четырехугольников, окружности и круга. Таким образом, весь учебный материал курса организуется по принципу наиболее полного описания свойств и признаков каждой из геометрических фигур.

На первом этапе повторяем учебный материал, отражающий свойства одной из основных фигур планиметрии – треугольника. Учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Треугольник – одна из основных «рабочих» фигур изучаемого в школе курса планиметрии, а также широко применяемого и при изучении стереометрии (выход на треугольные призмы и пирамиды, различные сечения конуса).


    1. Теоретические сведения и задания для повторения
      основных свойств треугольников

  1. Треугольник и его элементы

Принятые обозначения:

a, b, с – стороны;

–противолежащие углы;

p –полупериметр;

r – радиус вписанной окружности;

R – радиус описанной окружности;

ha, ma, la – соответственно высота, медиана, биссектриса,
проведенная к стороне
a;

S – площадь.


Определение треугольника и его элементов
(
угол, сторона, высота, медиана, биссектриса треугольника).
Виды треугольников



a

Неравенство треугольника:

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.


Сумма углов треугольника равна



Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Повторение определения треугольника, его элементов, видов треугольников можно провести устно с использованием таблиц с соответствующими чертежами.

Равнобедренный треугольник





Неравенство треугольника:

a<b+c b<a+c c<a+b


Внешний угол треугольника:



Теорема о сумме углов треугольника широко используется при решении задач с прямоугольным треугольником, в теме «Площади», где в четырехугольниках выделяется прямоугольный треугольник и приходиться находить неизвестные углы. Повторение этой темы можно организовать следующим образом: на доске заготовить чертежи, по которым устно провести доказательство этой теоремы. Проводя доказательства и переходя от чертежа к чертежу, учащиеся повторяют при этом одну из центральных тем «Признаки и свойства параллельных прямых», а также свойство вертикальных углов, понятия развернутого угла и внешнего угла треугольника (см. Приложение 1).


  1. Признаки равенства треугольников

Установление цепочек равных треугольников – широко используемый прием доказательства различных геометрических утверждений. Признаки равенства треугольников применяются при доказательстве свойств и признаков параллелограммов, при выводе признаков равенства прямоугольных треугольников, при решении задач из планиметрии и стереометрии.

Повторение можно провести в устной форме, используя готовые чертежи (см. Приложение 2). Определение и признаки равенства треугольников можно вынести на плакаты, которые можно повесить в кабинете.


Равные треугольники

Признаки равенства треугольников



  1. Подобные треугольники

Повторение темы можно начать с фронтальной работы с использованием таблицы со справочным материалом. Признаки подобия треугольников применяются при решении задач по планиметрии, в стереометрии при решении задач на многогранники и тела вращения (в 11 классе применяются свойства площадей подобных треугольников).



ABCA1B1C1


hello_html_m52cf5010.gif

Признаки подобия треугольников

hello_html_3a982228.gif

Справочная таблица

I

1. Первый признак подобия

2. Задача:


A=A1,
C=C1.
————————
ABC
A1B1C1.


PQ||AB.
———————
ABC PQC.

  1. Свойства сторон и углов

——————————
1) ;
2)
A=M, B=N, C=K.

4. Свойства площадей
ABC MNK
————————
,

- коэффициент подобия

Далее закрепляется повторенный раздел теории и решается задача 5 из справочной таблицы, которая раскрывает механизм получения производной пропорции из данной. Задача 5.1 дается в виде образца, а 5.2 используется для закрепления полученных сведений. Если ответ ученику не очевиден, то он выполняет все выкладки подробно при нахождении нужного отношения.

5. Пропорциональные отрезки (задачи)

1)

MN || AC

————

2)

MN || AC

—————

Решение:

, значит MB=2x, MA=3 x
AB=5 x; .

Ответ: .

Решение:

, значит BC=…, CN=…
Так как MBNABC, то .

Ответ: .

Следующие уроки учащиеся вместе с учителем выполняют тренировочные упражнения по данной теме.

Настроенные на идею подобия, большинство учащихся при решении задачи 1 из таблицы тренировочных упражнений будут составлять пропорцию. Проверяя решение следует обратить их внимание на возможность доказать, что A1B1 – средняя линия A2OB2, следовательно, .

На применение теоремы о средней линии треугольника можно решить следующие задачи:

- параллелограмм с периметром 28 см, - точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки до середины , если расстояние от точки до середины равно 3 см.


В заключении повторения по теме «Подобие треугольников» можно провести проверочную работу.

Тренировочные упражнения: Iт

1)


2)

hello_html_m6ca68484.gif

3)


4)

hello_html_m381a104c.gif

5) Найти A2B2, если A1B1||A2B2.

hello_html_m2848ad4f.gif

6)

hello_html_m421c07d4.gif

Проверочная работа Iп

Вариант 1

Вариант 2


Дано: MN||BC
AM:MB=7:2
BC=2,7 
см

Найти: MN.


Дано: BA||CE
DB:BC=5:2
AB=4,5 см

Найти: CE.

hello_html_m31791537.gif

Дано: MN||AC
NK||CD

NK=1,8 см
Найти: CD.

hello_html_m31791537.gif

Дано: MN||AC
NK||CD

CD=2,1 дм
Найти: NK.



  1. Соотношения между сторонами и углами
    в прямоугольном треугольнике

Сначала идет работа со справочным материалом таблицы, которую можно распределить на три урока: на первом – повторить теорему Пифагора, на втором – определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и следствия из них, на третьем – теорему о среднем пропорциональном.

Справочная таблица II

1. Теорема Пифагора

2. Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла и следствия из них.





hello_html_7d791a28.gif

3. Теорема о среднем пропорциональном

hello_html_m664d7f60.gif


Затем на нескольких уроках идет тренировочная работа. Каждый набор упражнений в данном случае состоит из 5 одношаговых задач. Важно, чтобы перед учащимися была четко сформулирована цель: научиться пользоваться соотношениями, существующими в прямоугольном треугольнике, и рационально организована работа по ее достижению.

Сформированность соответствующих навыков проверяется при проведении проверочной работы №1 (из таблицы IIп). Особого внимания требуют к себе пятые задачи из нее, так как задача на вычисление высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, встречается достаточно часто (особенно в 11 классе).

Тренировочные упражнения: IIт

Найти x.

1

hello_html_36eb0c78.gif

hello_html_m6f9bc86e.gif

hello_html_mbd5b7fa.gif

hello_html_2161bc41.gif


2


hello_html_cfece42.gif


hello_html_650f7c5a.gif

hello_html_5b55048f.gif

3


hello_html_382161c7.gif

hello_html_m7912be1a.gif


hello_html_bdcf17f.gif

4

hello_html_m5d314980.gif

hello_html_m1f224d6e.gif

hello_html_m10657ba1.gif


hello_html_335cd625.gif


Проверочная работа №1 IIп

Вариант 1

Вариант 2

Найти x

1)


2)


1)


2)


3)


4)


3)


4)


5)


5)




После проведения проверочной работы №1 (на следующих уроках) целесообразно рассмотреть более подробно задачу, аналогичную задаче №5. Решая эту задачу нужно рассмотреть пять способов решения, чтобы учащиеся выбрали из них наиболее понравившиеся и запомнили его.

С этой целью можно решить следующую задачу.


Дано:
ABC, C=90,
CDAB,
AC=6, AB=9.

Найти: CD.

Решение:

I способ: введение вспомогательного линейного неизвестного.
Пусть
AD=y, тогда CD2=AC2-y2 и CD2=BC2(AB–y)2. Отсюда находим y, а затем и CD.

II способ: применение теоремы о среднем пропорциональном.
Используя равенство
AC2=ABAD, находим AD, а затем CD.

III способ: использование подобия треугольников.
ACDABC, значит , отсюда находим CD.

IV способ: введение вспомогательного угла.
Из треугольников
CAD и CAB имеем соответственно
и . Отсюда и .

V способ: использование формулы площади треугольника.
Так как и , то и .


При повторении данной темы следует обратить особое внимание на решение задач, где требуется найти острый угол в прямоугольном треугольнике. Навык решения таких задач потребуется при решении задач по стереометрии (10, 11 кл.), в которых нужно вычислить угол между прямой и плоскостью, двугранный угол или угол между плоскостями. Формированию такого навыка служат тренировочные упражнения таблицы IIIт и соответствующая проверочная работа №2. Здесь необходимо объяснить учащимся, что не редко под задачей «Найти угол» понимают задачу «Найти какую-нибудь тригонометрическую функцию этого угла». Например, при отсутствии микрокалькулятора правомерен ответ , где – острый (тупой) угол.

Тренировочные упражнения: IIIт

Найти угол .

1






2






3






Проверочная работа №2 IIIп

Вариант 1

Вариант 2

Найти угол

1)


2)


1)


2)


3)


4)


3)


4)


5)


5)



К этой теме могут быть отнесены и задачи на вычисление линейных элементов прямоугольного треугольника введением вспомогательного угла (справочная таблица II). Этот навык потребуется при решении задач на вычисление неизвестных элементов четырехугольников, радиуса шара, описанного около пирамиды или конуса (11 кл.).

Справочная таблица в данном случае предназначена только для того, чтобы показать учащимся, что с этим приемом они знакомы и его можно распространить на некоторые незнакомые задачи.

При наличии таблицы задания 1 и 2 можно решить устно. Применение метода введения вспомогательного угла можно показать на задачах 3.1-3 из таблицы IIт. При их рассмотрении нужно подсказать учащимся, что выбор тригонометрической функции угла зависит от условия задачи и что ученик должен ввести ее так, чтобы иметь возможность использовать известные элементы треугольников.

При итоговом повторении в 11 классе можно предложить учащимся решить следующие задачи :

В , . Найдите .

В , . Найдите .

В , . Найдите .

В , . Найдите .

В , . Найдите .

В , . Найдите .

В , ,. Найдите .

В , ,. Найдите .

В . Найдите .

В , - высота. Найдите .

В , - высота, . Найдите .

В , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

В , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине.

  1. Четыре замечательные точки треугольника

Справочная таблица

- медианы


Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины


- биссектрисы

- центр вписанной окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке


- серединные перпендикуляры

- центр описанной окружности

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке


- высоты

- остроугольный, - внутри треугольника

- тупоугольный, - вне треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке


  1. Свойство биссектрисы угла треугольника

Справочная таблица IV

Свойство биссектрисы угла в треугольнике.

l – биссектриса


hello_html_6ffc56ae.gif


Учебники геометрии не содержат достаточного количества задач по данной теме. Между тем навык решения задач на нахождение биссектрисы треугольника потребуется при подготовке к ЕГЭ. С помощью предложенной системы тренировочных упражнений отрабатываются не только способы решения задач на нахождение биссектрисы, но и приемы вычисления неизвестных элементов треугольника с помощью теорем косинусов и синусов. Таким образом, повторяется тема «Решение треугольников».


Задача 1: В треугольнике даны длины двух сторон b и c и угол между ними. Найти длину биссектрисы, проведённой к третьей стороне.

hello_html_m2b05c211.gif

Дано: EFQ,

EF = b,

FQ = c,

F = ,

EFC = QFC.

Найти: FC.

Решение:

Пусть FC = l. ;.

Ответ: .



Задача 2: В ABC, AB=7, BC=6, AC=8. Найти биссектрису C.

hello_html_m604a2774.gif

Дано: ABC,

AB = 7, BC = 6, AC = 8,

CK - биссектриса

ACK = BCK.

Найти: CK.

Решение:

1. По свойству биссектрисы: , пусть AK=x, BK=7–x, , x=4, AK=4, BK=3;

2. ABC, по теореме косинусов: , ;

3. ACK, по теореме косинусов: , , CK2=36, CK=6.

Ответ: CK=6.


Тренировочные упражнения IVт

1) Найти: CE.


2) Найти: CE.


3) Найти: BK.


4) Найти: BE.


7. Задачи на применение свойства биссектрисы
внутреннего угла треугольника:

1. В прямоугольном ABC с прямым углом B проведена биссектриса A, которая пересекает сторону BC в точке K, причем BK=4см, а KC=6см.
Найти площадь
ACK.


Дано: ABC, B=90,
AK – биссектриса, BK=4см, KC=6см.

Найти: SACK.

Решение:

1) Так как AK – биссектриса BAC, то

2) Пусть AB=2x, тогда AC=3x. По теореме Пифагора AC2=AB2+BC2, 9x2=4x2+100, ,

3) .


Ответ: .

2. В ABC – AB=4, BC=6, ABC=30. Биссектриса ABC пересекает AC в точке M. Найти SABM.


Дано: ABC, AB=4, BC=6, ABC=30,
BM – биссектриса, MAC.

Найти: SABM.

Решение:

1 способ: 1) Проведем AEBC и MFBC

2) В BAE ABE=30, значит AE=2

3) Так как BM – биссектриса ABC, то .

4) AECMFC , MF=1,2.

5) .

2 способ: 1)

из этого равенства находим

2) .


Ответ: .

3. В ABC проведены биссектрисы BK и AE (точка K лежит на AC, а точка E на BC). Точки K и E соединены отрезком. Найти отношение площадей треугольников ABC и CKE, если AB=6, BC=4, AC=3.


Дано: ABC,
BK, AE – биссектрисы, KAC, EBC.

AB=6, BC=4, AC=3.

Найти: .

Решение:

1) Так как BK – биссектриса ABC, то ;AK=1,8; CK=1,2.

2) Так как AE – биссектриса CAB, то ;.

3) .


Ответ: .

  1. Задачи на применение свойства медиан треугольника:

Навык решения задач на применение свойства медиан треугольника необходим для решения задач по стереометрии, в которых требуется вычислить некоторые линейные элементы треугольных призм, треугольных пирамид.

В равнобедренном медианы пересекаются в точке . Найдите расстояние от точки до вершины данного треугольника, если .

Вычислите медианы треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

В треугольнике со сторонами 15 см, 15 см и 24 см найдите расстояние от точки пересечения медиан до сторон треугольника.

Расстояния от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см и 5 см. Найдите стороны треугольника.

  1. Теорема Фалеса

Этой теореме мало времени уделяется на уроках геометрии. В учебнике Атанасяна Л.С. она рассматривается в виде задачи (решение приводится), следствие из теоремы Фалеса – теорема о пропорциональных отрезках также рассмотрено в задаче, к которой приведено решение. Не богат и задачами по этой теме учебник геометрии. Обе теоремы широко используются при решении задач на нахождение площадей фигур (как один из способов решения).

Тренировочные упражнения по теореме о пропорциональных отрезках:


1) Дано: a || b. Найти: x


2) Дано: KP || DE. Найти: x


3) Дано: DE=30. Найти: x и y.


4) Дано: AC || FD || PK. Найти: x и y.




Задача на применение теоремы Фалеса для нахождения площади фигуры:

В ABC сторона AB разделена на пять равных частей. Точки деления, начиная от точки A, обозначены буквами M1, M2, M3, M4. Через каждую из этих точек проведены прямые, параллельные AC; точки их пересечения с BC обозначены буквами E1, E2, E3, E4, считая от C. Найти сумму площадей четырехугольников M1M2 E2E1 и M3M4E4E3, если AC=b=24см, BHb=25см.



Дано: ABC,
AM
1=M1M2=M2M3=M3M 4=M4B,
M
1, M2, M3, M4лежат на AB,
M
1E1||M2E2||M3E3||M4E4,
E
1, E2, E3, E4лежат на BC,

AC=b=24см, BH=25см, BHAC.

Найти: .

Решение: рассмотрим несколько способов решения.

1 способ: 1) .
Используя теорему Фалеса находим высоты полученных трапеций,
т.е. расстояния между точкой
B и M4E4 или между M4E4 и M3E3:
h=25:5=5см.

2) Пусть M4E4=x, тогда M3E3=2x, M2E2=3x, M1E1=4x, AC=5x
(согласно теоремам о средней линии треугольника и средней
линии трапеции). Таким образом получаем уравнение: 5
x=24;
x=4,8см.

3) Находим искомую площадь:



2 способ: Разобьем на треугольники, равные .


Искомая площадь в 10 раз больше площади найденного треугольника, т.е. 1210=120см2.






3 способ: Достроим ABC до параллелограмма ACBP, тогда SACBP=2SABC=600см2.

Искомая площадь состоит из площади параллелограмма, в состав которого входят трапеции M1M2E2E1 и M3M4E4E3.








  1. Теоремы синусов и косинусов (Решение треугольников)

Повторение следует начать с рассмотрения справочной таблицы по данной теме.

Справочная таблица V

Теорема косинусов

Теорема синусов






Задачный материал лучше подобрать таким образом, чтобы в результате решения задач можно было получить красивый ответ (т.е. такой, который выражается целым числом, либо целым числом, умноженным на «привычные корни»: или ). Значения некоторых наиболее употребительных углов учащиеся должны знать и уметь находить их без калькулятора (т.к. и в 9-м, и в 11-м классах пользоваться микрокалькуляторами на экзаменах нельзя). Навык решения задач на применение теоремы синусов и теоремы косинусов потребуется для вычисления некоторых элементов четырехугольников и многогранников.

Тренировочные упражнения Vт

Теорема косинусов

Теорема синусов

1.


2.


1.


2.


3.


4.


3.


4.


5.


6.


5.


6.



Проверочная работа Vп

Вариант 1

Вариант 2

Найти x

1)


2)


1)


2)


3)


4)


3)



4)


5)


6)


5)


6)


7)


7)


Для итогового повторения можно предложить учащимся задачи, в которых фигурируют различные треугольники, а также четырехугольники, решение которых сводится к применению теоремы Пифагора, теоремы косинусов и теоремы синусов:

В . Найти .

В . Найти .

В . Найти .

В . Найти .

В . Найти .

Выясните, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны 6,7 и 10.

Определите вид треугольника, если его стороны равны 5 см, 7 см и 6 см.

В . Найдите длины сторон и , если они пропорциональны числам 3 и 8.

Найдите диагональ параллелограмма, если вторая диагональ равна 8 см, а стороны равны 4 и 6 см.













  1. Вписанная и описанная окружности

Справочная таблица



- тупоугольный

- остроугольный

- прямоугольный

В отдельную группу можно выделить задачи, связанные с вписанными и описанными окружностями. Навык решения таких задач пригодится при изучении разделов стереометрии, в которых рассматриваются задачи с различными комбинациями тел.

Задачи по теме: Окружность, вписанная в треугольник» и «Окружность, описанная около треугольника»:

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 10. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

В . Радиус описанной окружности этого треугольника равен . Найдите .

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16.

В окружность радиусом вписан правильный . Точка делит сторону в отношении . Найдите .

Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 4 см.










  1. Площадь треугольника

Прочные знания формул площадей треугольников (произвольных, прямоугольных) нужны для решения задач планиметрии – для вычисления некоторых линейных элементов треугольника, таких как высота, радиусы вписанной и описанной окружностей. В стереометрии знание формул площади треугольника применяется при вычислении площадей поверхности и объемов многогранников и тел вращения.

Формулы можно повторить устно с помощью справочной таблицы. Далее учитель проводит уроки по формированию навыка решения задач на нахождение площади треугольника с использованием тренировочных упражнений. Позднее можно провести проверочную работу.

Справочная таблица VI




hello_html_1e0c77d8.gif

hello_html_73a10ebe.gif, где 

hello_html_67ac256.gif

hello_html_2a1b6166.gif

hello_html_6b47f3c6.gif

hello_html_m498b675e.gif
hello_html_m55ca25fb.gif

Тренировочные упражнения VIт

Вычислить площадь фигуры












Проверочная работа VIп

Вычислить площадь треугольника

Вариант 1

Вариант 2

1)


2)

hello_html_m2534c189.gif

1)


2)


3)


4)

hello_html_159506c3.gif

3)


4)

hello_html_45546f5c.gif

5)

hello_html_m209ef24f.gif

5)

hello_html_m10f8f4ce.gif

  1. Вычисление некоторых линейных элементов (h, r, R) треугольника с использованием формулы площади

Справочная таблица (типы задач) VII

Найти h

Найти r

Найти R


Дано: ABC,

C=90, AC=6, BC=8, CDAB.
Найти: CD.

Решение:

2SABC=ACBC, и 2SABC=ABCD.
.
.
Ответ: CD=4,8

Вывод: .



Дано:
ABC, AB=13, BC=14, AC=15.
Найти:
r.

Решение:

S=pr ,
r=4.

Ответ: r=4.


Дано: ABC, AB=13, BC=14, AC=15.
Найти:
R.

Решение:

,


, тогда , .

Ответ: .

Задачи таблицы VII предложены в виде образца. Навыки решения таких задач закрепляются при выполнении тренировочных упражнений.

Тренировочные упражнения VIIт

Найти h

Найти r и R

1




2





На уроках итогового повторения целесообразно предложить учащимся задачи, в решении которых применяется теорема, обратная теореме Пифагора, формула Герона, так как способы решения таких задач будут использованы при решении стереометрических задач на вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников:

В . На стороне отмечена точка так, что . Найдите .

Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными 24 см,
25 см и 7 см.

Найдите площадь четырехугольника , в котором .

Расстояние от точки , лежащей внутри , до прямой равно 6 см, а до прямой равно 2 см. Найдите расстояние от точки до прямой , если .

Дан . На стороне отмечена точка так, что . Найдите площадь и , если .

В прямоугольном гипотенуза равна и . Найдите все медианы в этом треугольнике.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе , разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен . Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла.




ЛИТЕРАТУРА

  1. Блинков А.Д. Сценарии уроков геометрии [9 класс]//Современный урок. – 2009. - №1. – с. 15 – 28.

  2. Вольфсон Б.И., Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие/Б.И.Вольфсон, Л.И.Резницкий. – Ростов н/Д: Легион – М, 2011. – 2011. – 224с.

  3. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2008. – 368с.

  4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс. – М.: ВАКО, 2005. – 320с.

  5. Геометрия.7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/[Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 384с.

  6. Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 176с.

  7. Гусев В.А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. Спец. Пед. ин-тов и учителей/В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1992. – 352с.

  8. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя/В.А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006. – 256с.

  9. Далингер В.А.. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 80с.

  10. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания/ И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 63с.

  11. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ. – М.: Интеллект-Центр, 2010. – 96с.

  12. Корикова Т.М., Ястребов А.В. Справочные материалы по общей методике преподавания математики [Текст]: учебное пособие. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2009. – 60с.

  13. Кочагин В.В. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник заданий/В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. – М.: Эксмо, 2009. – 208с.

  14. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416с.

  15. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие./Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина и др.; Под ред. Ю.М. Колягина. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2009. – 732с.

  16. Мищенко Т.М. Заключительное повторение курса планиметрии//Математика в школе. – 2004. - №3. – с.19 – 33.

  17. Мищенко Т.М., Рослова Л.О. Курс по выбору для IX класса «Избранные вопросы математики»// Математика в школе. – 2004. - №4. – с.20 – 25.

  18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 320с.

  19. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. – 56с.

  20. Российская педагогическая энциклопедия: В 2 т./Гл. ред. В.В. Давыдов. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. – 672с., ил. Т. 2. – М-Я – 1999.

  21. Семенов А.В. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Единый государственный экзамен 2012. Математика. Учебное пособие./А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров; под ред. И.В.Ященко; Московский центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2012. – 112с.

  22. Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/Под ред. А.П.Семенова, И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 256с.

  23. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1989. – 576с.

  24. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7 – 9 кл. – М.: Дрофа, 1997. – 352с.

  25. Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252с.




















ПРИЛОЖЕНИЯ












Приложение 1

Различные способы доказательства теоремы о сумме углов треугольника

Теорему о сумме внутренних углов треугольника можно доказать по одному из предложенных шести рисунков. Доказательства, проводимые по каждому из данных рисунков, требуют всякий раз новых теоретических сведений, изученных школьниками в данной теме.






Приложение 2

Устные задачи по теме: Признаки равенства треугольников


1. Найти пары равных треугольников и доказать их равенство:


1)

2)

3)

4)

5)

6)

2.

1)

2)

Приложение 3

Задачи, иллюстрирующие прием обобщения

Задача 1:

1) В на стороне взята точка , через которую проведены прямые, параллельные сторонам и . Найти площадь , если , () [9].



Решение:

1. (по 2 углам);

(по 2 углам);

(по 2 углам);

2. Пусть

hello_html_m53d4ecad.gif;

;

;

;

;



2) Изменим условие задачи: при этих же данных найти .

Решение: .



3) Изменим условие еще раз. Через точку , взятую внутри треугольника, проведены прямые, параллельные его сторонам. Они разбивают треугольник на шесть частей, среди которых есть три треугольника с площадями . Найдите площадь исходного треугольника [9].






Решение: (1 способ)

  1. Пусть длины отрезков на стороне обозначим .

  2. Из подобия треугольников получаем:

hello_html_m53d4ecad.gif;





;

;

;


Решение: (2 способ)

Пусть ,

;

;.

4) Условие задачи можно изменить еще раз.

Из точки, расположенной на стороне треугольника, проведены прямые, которые параллельны двум его другим сторонам. Эти прямые разделили треугольник на два треугольника и один параллелограмм. Площадь одного из треугольников равна , а площадь параллелограмма равна . Найдите площадь исходного треугольника [33].



Задача 2: На продолжении медиан взяты точки так, что . Найти , если [31].



Решение:

;- общий, значит, (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники подобны, то - соответственные при прямых и секущей , то .

Аналогично: , , значит, ; .

Получаем: , .

, ; - вертикальные, значит,

(по двум сторонам и углу между ними).

Аналогично: , , значит, (по трем сторонам).

; , .


9

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Разработанный дидактический комплект направлен на ликвидацию пробелов в теоретическом материале и его систематизацию, отработку умений и навыков решения задач по теме «Треугольники». Здесь предусмотрено повторение свойств треугольников через решение задач. Дидактический комплект содержит задачи, навык решения которых потребуется при изучении стереометрии, а также при подготовке к ГИА в 9 классе и ЕГЭ.

Автор
Дата добавления 30.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров284
Номер материала ДБ-171187
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх