Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Физико-математический лицей №31 г. Челябинска»
Методическая разработка на тему
Решение систем линейных
уравнений с двумя переменными в 6 классе
Автор-составитель: Иоголевич Ирина Юрьевна,
учитель математики
Челябинск
2023
ОГЛАВЛЕНИЕ
Пояснительная записка .......................................................................................................................................................... 3
Часть 1. Системы линейных уравнений. ............................................................................................................................... 4
Часть 2. Метод подстановки .................................................................................................................................................. 4
Часть 3. Метод алгебраического сложения. ......................................................................................................................... 5
Часть 4. Решение систем уравнений различными способами. ........................................................................................... 5
Часть 5. Метод замены переменных. .................................................................................................................................... 6
Часть 6. Задачи на составление систем уравнений. ............................................................................................................. 7
Часть 7. Контрольная работа по теме: «Системы линейных уравнений». ......................................................................... 7
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методическая разработка заданий к урокам по теме: «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Задачи на составление систем линейных уравнений.».
Данная методическая разработка предназначена для учителей, работающих в 6 классах с углубленным изучением математики, или родителей, дети которых находятся на семейном обучении. Разработка содержит несколько уроков по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными ,решение задач на составление систем линейных уравнений.» Здесь представлены материалы к урокам, начиная от отработки понятия линейного уравнения с двумя переменными, далее знакомство со способами решения систем линейных уравнений (способ подстановки, способ алгебраического сложения, способ замены переменной, комбинации различных способов решения систем). Задачи, которые можно решить составлением системы уравнений.
ЧАСТЬ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В данном разделе задания, которые помогают понять учащимся суть того, что решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными является упорядоченная пара чисел, которая обращает оба уравнения системы в верные равенства.
1. (Устно) Проверить, что числа 𝑥 = 40, 𝑦 = 20 являются решением системы:
𝑥 + 𝑦 = 60, {
𝑥 − 𝑦 = 20.
2. (Устно) Проверить, что числа 𝑥 = 4, 𝑦 = 3 являются решением системы:
2,5𝑥 − 3𝑦 = 1, {
5𝑥 − 6𝑦 = 2.
3. Привести пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решением которой будет пара чисел:
1) 𝑥 = 4, 𝑦 = −2 2) 𝑥 = 7, 𝑦 = 5.
4. Дана система уравнений
{ 𝑥 − 3𝑦 = 𝑐1, 2𝑥 + 4𝑦 = 𝑐2.
Известно, что пара чисел 𝑥 = 5, 𝑦 = 2 является ее решением. Найти 𝑐1 и 𝑐2.
5. Дана система уравнений
4𝑥 + 3𝑦 = 6, {
2𝑥 + 𝑦 = 4.
из следующих пар чисел найти ту, которая удовлетворяет данной системе:
1) 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 2) 𝑥 = 3, 𝑦 = −2.
6. Дана система уравнений
𝑦 = −1, {
𝑦 = 5.
из следующих пар чисел найти ту, которая удовлетворяет данной системе:
1) 𝑥 = 10, 𝑦 = 0 2) 𝑥 = 6, 𝑦 = −6.
7. Является ли пара чисел (60; 30) решением системы уравнений:
4𝑥 − 7𝑦 = 30, 3𝑥 + 5𝑦 = 330, 1) { 2) {
4𝑥 − 5𝑦 = 90; 6𝑥 − 8𝑦 = 110.
8. Какая из пар чисел (20; 18), (2; 1), (1; 2), (3; -1) является решением системы уравнений
2𝑥 + 11𝑦 = 15, {
10𝑥 − 11𝑦 = 9.
ЧАСТЬ 2. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Суть метода подстановки заключается в том, что из одного уравнения выражаем одну переменную через другую, а затем полученное выражение подставляем во второе уравнение .Цель научить ребят выбирать наиболее удобное уравнение для выражения одной переменной через другую.
1. Решить систему уравнений:
𝑥 = 2 + 𝑦, 𝑦 = 11 − 2𝑥, 𝑦 = 2 − 4𝑥,
1) { 3) { 5) {
3𝑥 − 2𝑦 = 9; 5𝑥 − 4𝑦 = 8; 8𝑥 = 5 − 3𝑦;
5𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 − 2𝑦 = 11, 3𝑥 − 5𝑦 = 8,
2) { 4) { 6) { 𝑥 = −𝑦.
𝑥 = 3 + 2𝑦; 𝑦 = 2𝑥 − 5;
2. Решить систему уравнений:
𝑥 + 5𝑦 = 7, 𝑥 + 12𝑦 = 11, 2𝑥 − 3𝑦 = 0,
1) { 3) { 5) {
3𝑥 − 2𝑦 = 4; 5𝑥 − 3𝑦 = 3; 3𝑥 − 2𝑦 = 5;
𝑥 − 3𝑦 = 17, 𝑦 − 3𝑥 = 5, 3𝑥 = 5𝑦,
2) { 4) { 6) {
𝑥 − 2𝑦 = −13; 5𝑥 + 2𝑦 = 23; −3𝑥 + 8𝑦 = −13.
3. Решить систему уравнений:
𝑥 + 𝑦 = 5, 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑦 − 𝑥 = −3, −2𝑥 + 𝑦 = 3,
1) {3𝑥 + 𝑦 = 7; 2) {𝑥 − 3𝑦 = 6; 3) {2𝑥 + 𝑦 = 9; 4) {3𝑥 − 𝑦 = −1.
4. Решить систему уравнений:
1) {𝑚3𝑚+−2𝑛2𝑛==155;, 2) {2𝑎𝑎++33𝑏𝑏==27,; 3) {3𝑘𝑘 +− 25𝑝𝑝 == 114; , 4) {32𝑐𝑐−−2𝑑𝑑==23,.
|
ЧАСТЬ 3. МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ. |
|||||||||
|
|
Суть метода алгебраического сложения заключается в том, что нужно сложить (или вычесть)уравнения системы, с целью исключения одной из переменных .Дети должны понимать ,что применять этот метод удобно, когда коэффициенты у одной из переменных равны или противоположны ,или их можно сделать такими путем умножения или деления одного или обоих уравнений на число, не равное нулю.. |
||||||||
|
1. |
Решить систему уравнений: 𝑥 − 𝑦 = 3, 1) { 𝑥 + 𝑦 = 5; |
|
2) |
𝑎 + 𝑏 = 2, { 𝑎 − 𝑏 = 6; |
3) |
3𝑧 − 𝑡 = 4, { 3𝑧 + 𝑡 = 8. |
|||
|
2. |
Решить систему уравнений: 1) { 𝑢 − 𝑣 = −10, 2𝑢 + 3𝑣 = 15; |
|
2) |
2𝑥 + 𝑦 = 5, { 3𝑥 − 5𝑦 = 1; |
3) |
6𝑚 + 3𝑛 = 3, { 2𝑚 − 2𝑛 = 4. |
|||
|
3. |
Решить систему уравнений: 1) {3𝑎 + 2𝑏 = 1, 2𝑎 + 5𝑏 = 8; |
|
2) |
3𝑢 − 2𝑣 = 12, { 4𝑢 + 3𝑣 = −1; |
3) |
3𝑥 − 2𝑦 = 0, { 5𝑥 − 3𝑦 = 19. |
|||
|
4. |
Решить систему уравнений: 𝑥 + 𝑦 = 5, 1) { 𝑥 − 𝑦 = 7; |
|
2) |
𝑎 − 𝑏 = 1, { 𝑎 + 𝑏 = −5; |
3) |
2𝑛 + 𝑚 = 5, { 2𝑛 − 𝑚 = 11. |
|||
|
5. |
Решить систему уравнений: 1) { 𝑢 + 𝑣 = 4, 3𝑢 − 5𝑣 = 20; |
|
2) |
3𝑥 − 𝑦 = 5, { 2𝑥 + 7𝑦 = 11; |
3) |
4𝑚 − 5𝑛 = 1, { 2𝑚 − 3𝑛 = 2. |
|||
|
6. |
Решить систему уравнений: 2𝑥 + 3𝑦 = −1, 1) { 3𝑥 + 5𝑦 = −2; |
|
2) |
2𝑛 − 3𝑑 = −1, { 3𝑛 + 4𝑑 = 24; |
3) |
2𝑎 + 3𝑏 = 0, { 7𝑎 − 2𝑏 = −25. |
|||
|
7. |
Решить систему уравнений: 2𝑥 + 𝑦 = 11, 1) { 3𝑥 − 𝑦 = 9; |
2) |
5𝑥 − 2𝑦 = 6, { 3) 7𝑥 + 2𝑦 = 6; |
4𝑥 + 7𝑦 = 40, { −4𝑥 + 9𝑦 = 24; |
4) |
𝑥 + 3𝑦 = 17, { 2𝑦 − 𝑥 = 13. |
|||
|
8. |
Решить систему уравнений: 4𝑥 + 3𝑦 = −15, 1) { 5𝑥 + 3𝑦 = −3; |
2) |
2𝑥 − 5𝑦 = 1, { 3) 4𝑥 − 5𝑦 = 7; |
𝑥 + 5𝑦 = 3, { 𝑥 + 4𝑦 = 2; |
4) |
2𝑦 − 3𝑥 = 6, { 𝑦 − 3𝑥 = 9. |
|||
|
9. |
Решить систему уравнений: 4𝑥 + 3𝑦 = −4, 1) { 6𝑥 + 5𝑦 = −7;
|
2) |
4𝑥 − 5𝑦 = −22, { 3) 3𝑥 + 2𝑦 = 18; |
7𝑥 = 9𝑦, { 5𝑥 + 3𝑦 = 66; |
4) |
5𝑥 + 6𝑦 = 0, { 3𝑥 + 4𝑦 = 4. |
|||
|
ЧАСТЬ 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ. |
|||||||||
В данном разделе представлены системы, для решения которых учащиеся должны выбрать самый удобный способ решения или применить несколько способов, предварительно упростив уравнения системы.
1. Решить систему уравнений:
1 0,3(𝑥 + 𝑦) = 22,2, (𝑥 + 𝑦) = 2, 2) {
1)
{15
0,4(𝑥 − 𝑦)
= 6,4.
(𝑥 − 𝑦) = 1;
2
2. Решить систему уравнений:
𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑧, 𝑥 + 𝑦 = 2,
1) { 𝑥 − 𝑦 = 3, 2) {𝑦 + 𝑧 = 4,
𝑧 = 2𝑥; 𝑧 + 𝑥 = 6.
3. Решить систему уравнений: 𝑥 𝑦
+ = 5, 𝑥 + 𝑦 = 3, 5𝑥 + 𝑦 = −4, 2𝑥 − 5𝑦 = −3,
1)
{𝑥5
𝑦2 2)
{𝑥2 𝑦3 8
3) { 2𝑥 5𝑦 1
4) { 35𝑥 47𝑦
4 − 3 = 0,5; 3 + 2 = 3 ; 3 − 6 = 6 ; 6 + 8 = 6.
5)
4. Решить систему уравнений:
3(𝑥 − 𝑦) + 5𝑥 = 2(3𝑥 − 2), 10 + 5(𝑥 − 5𝑦) = 6(𝑥 − 4𝑦),
1) { 3) {
4𝑥 − 2(𝑥 + 𝑦) = 4 − 3𝑦; 2𝑥 + 3(𝑦 + 5) = −5 − 2(𝑦 − 2𝑥);
2 − 5(0,2𝑦 − 2𝑥) = 3(3𝑥 + 2) + 2𝑦, 3(𝑦 − 2𝑥) − (5𝑦 + 2) = 5(1 − 𝑥),
2) { 4) {
4(𝑥 − 2) − (2𝑥 + 𝑦) = 2 − 2(2𝑥 + 𝑦); 7 − 6(𝑥 + 𝑦) = 2(3 − 2𝑥) + 𝑦.
5. Решить систему уравнений: 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
− = 8, 7𝑥−2𝑦 + 2𝑥 = 6,
1) {𝑥+2𝑦 𝑥−3𝑦 3) {5𝑦−28𝑥
+ = 11;− 𝑦 = −2;
3 4 3
𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
− = 2, 1 (2𝑥 − 𝑦) − 1 = 𝑦
− 2, 2) {2𝑥−𝑦9 3𝑥+23𝑦
4) {1 2
− = −20; (3𝑥
− 7) =(2𝑦 − 3) + 1.
6 3
4
6. Решить систему уравнений:
1)
{32𝑥𝑥++4𝑦𝑦−−87==00,; 3) {𝑥7+𝑦314−𝑥𝑦=
−2, 4) {−78𝑥𝑥2−+𝑦5𝑦= −3,
3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, 3 = 4,5; 2 = 3,5.
2) {
5𝑦 − 𝑥 − 6 = 0;
ЧАСТЬ 5. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ.
Суть метода заключается в том, чтобы путем замены переменных сделать систему проще для решения. Следует обратить внимание детей на то, что переменные находятся в знаменателе и необходимо исключить их равенство нулю.
Решить систему уравнений:
1 1 5 1 4
+ = , + = 4,
1) {1𝑥 𝑦1 16 4) {1𝑥 2𝑦
− = ; − = 10;
𝑥 𝑦 6 𝑦 𝑥
1 1 7 6 8
+ = , − = −2,
2) {1𝑥 𝑦1 121 5) {𝑥−9𝑦 𝑥+10𝑦
− = ; + = 8;
𝑥 𝑦 12 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
2 1 4 12
+ = 4, + = 3,
𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 3) {1 3 6) { 8 18
− = 9; − = −1.
𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
ЧАСТЬ 6. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.
Цель научить детей переносить практические задачи на математический язык. Научиться осознанному чтению. Научить понимать какой способ решения задачи оптимален (по действиям, составлением уравнения или составлением систем уравнений).Научить составлять математическую модель задачи и реализовывать эту модель при помощи решения систем уравнений.
1. Запишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:
1) Сумма двух чисел равна 17. Одно из чисел на 7 меньше другого.
2) Разность двух чисел равна 12. Одно из них больше другого в 4 раза.
3) В классе 36 учеников. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков.
4) Периметр прямоугольника 400 м. Длина его в 3 раза больше ширины.
5) 4 боксера тяжелого веса и 5 боксеров легкого веса вместе весят 730 кг. Спортсмен тяжелого веса весит на 70 кг больше спортсмена легкого веса.
6) Таня заплатила за 3 тетради и 2 карандаша 580 р., а Лена за 5 таких же тетрадей и 1 карандаш – 780 р.
7) Среднее
арифметическое двух чисел равно 22,5; 
их разности равна 1 
.
8) Одно число на 215 больше другого; 80% большего числа на 129 больше 60% меньшего.
9) В трехзначном числе сумма цифр равна 16. Цифра разряда сотен в 4 раза меньше цифры разряда десятков и на 4 меньше цифры разряда единиц. (Введите три переменные.)
2. Составьте систему уравнений и решите задачу:
1) Расстояние между домами, где живут Андрей и Борис, 1500 м. Школа находится между их домами, причем от дома Андрея она на 300 м дальше, чем от дома Бориса. На каком расстоянии от школы находится дом каждого мальчика?
2) У Толи 18 монет по 2 р. и 5 р. на сумму 87 р. Сколько монет каждого достоинства у Толи?
3) В магазине продаются тетради по 96 листов и по 24 листа. Во всех тетрадях, купленных Сашей, 528 листов. Сколько толстых и сколько тонких тетрадей купил Саша, если все купленные им толстые тетради содержат на 48 листов больше, чем все тонкие?
4) Поезд прошел первый перегон за 2 ч, а второй за 3 ч. Всего за это время он прошел расстояние 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.
5) Мальчик на вопрос о том, сколько лет ему и его отцу, ответил так: «Вместе нам 44 года. Через 2 года отец будет старше меня в 3 раза. Сосчитайте, сколько лет каждому из нас сейчас».
6) Две бригады вместе должны изготовить 270 изделий. К середине дня первая бригада выполнила 60% своего задания, а вторая – 70% своего. При этом первая бригада изготовила на 6 изделий больше, чем вторая. Сколько изделий должна изготовить каждая бригада?
7) Лодка
2 ч двигалась по течению и З ч против течения, пройдя за это время 36 км.
Скорость лодки против течения составляет 
скорости лодки по течению.
Какое расстояние пройдет лодка за это время в стоячей воде, если будет двигаться
с той же собственной скоростью?
ЧАСТЬ 7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ».
1. Решите систему способом подстановки:
5𝑦 − 𝑥
= 2,
{ 3
𝑥 + 10𝑦 = −3.
2. Решите систему способом алгебраического сложения:
9𝑥 + 8𝑦 = −50,
{
5𝑥 + 36𝑦 = −12.
3. Решите систему способом замены переменных:
4. Решите систему:
𝑦 
𝑦
= 1 + 
,
{ 
= 𝑦 − 
.
5. Решите задачу с помощью составления системы линейных уравнений:
Среднее арифметическое двух чисел 32,5. Найдите эти числа, если известно, что 30% одного из них на 0,25 больше 25% другого.
6. Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением 10𝑥 + 5𝑦 = 1 составило бы систему:
1) имеющую одно решение;
2) имеющую бесконечно много решений; 3) не имеющую решений.
7. (Дополнительно) Сад имеет форму прямоугольника. Если увеличить длину сада на 8 м, а ширину на 6 м, то площадь сада увеличится на 632 м2. Если же длину сада уменьшить на 6 м, а ширину увеличить на 8 м, то площадь сада увеличится на 164 м2. Определить длину и ширину сада.
1.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 664 525 материалов в базе
«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными
Больше материалов по этой теме
Настоящий материал опубликован пользователем Иоголевич Ирина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.