Способы задания прямой линии на плоскости (для студентов 1 курса нематических факультетов и учащихся старших классов с углубленным изучением математики

• 1 слайд

  УРАВНЕНИЕ
  ЛИНИИ
  

• 2 слайд

  Уравнение прямой
  на плоскости
  Уравнением линии на плоскости XOY
  называется уравнение, которому удовлетворяют
  координаты x и y каждой точки этой линии
  и не удовлетворяют координаты любой точки,
  не лежащей на этой линии.
  В общем случае уравнение линии может быть записано в виде
  или
  

• 3 слайд

  Пусть задана прямая, пересекающая ось у в точке В (0,в) и образующая с осью х угол α
  Выберем на прямой произвольную точку М(х,у).
  Способы задания
  прямой на плоскости
  1. Уравнение прямой с
  угловым коэффициентом
  

• 4 слайд

• 5 слайд

  Координаты точки N (x,в). Из треугольника BMN:
  k – угловой коэффициент прямой.
  Уравнение прямой с
  угловым коэффициентом
  1
  

• 6 слайд

  Рассмотрим частные случаи:
  - уравнение прямой, проходящей через начало координат.
  1
  2
  - уравнение прямой, параллельной оси х.
  

• 7 слайд

  т.е. у вертикальной прямой нет углового коэффициента.
  3
  - не существует
  Уравнение прямой, параллельной оси у, в этом случае имеет вид
  где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х.
  

• 8 слайд

  Пусть задана прямая, проходящая через заданную точку
  2. Уравнение прямой, проходящей
  через заданную точку
  в заданном направлении
  и образующая с осью х угол α
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Т.к. точка М1 лежит на прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению (1):
  Вычитаем это уравнение из уравнения (1):
  Уравнение прямой,
  проходящей через данную
  точку в данном направлении
  2
  

• 11 слайд

  Если в этом уравнении угловой коэффициент не определен, то оно задает пучок прямых, проходящих через данную точку, кроме прямой, параллельной оси у, не имеющей углового коэффициента.
  

• 12 слайд

  Пусть задана прямая, проходящая через две точки:
  3. Уравнение прямой, проходящей
  через две точки
  Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М1:
  

• 13 слайд

  Т.к. точка М2 лежит на данной прямой, подставим ее координаты в уравнение пучка прямых:
  Подставляем k в уравнение пучка прямых. Тем самым мы выделяем из этого пучка прямую, проходящую через две данные точки:
  

• 14 слайд

  или
  Уравнение прямой,
  проходящей через две точки
  3
  

• 15 слайд

  ПРИМЕР.
  Составить уравнение прямой,
  проходящей через точки А(-1,2) и
  В(2,2).
  

• 16 слайд

  РЕШЕНИЕ.
  Подставляем координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки.
  

• 17 слайд

  Пусть задана прямая, отсекающая на осях координат отрезки, равные а и в.
  Это значит, что она проходит через точки
  4. Уравнение прямой в отрезках
  Найдем уравнение этой прямой.
  

• 18 слайд

• 19 слайд

  Подставим координаты точек А и В в уравнение прямой, проходящей через две точки (3):
  4
  Уравнение прямой
  в отрезках
  

• 20 слайд

  ПРИМЕР.
  Составить уравнение прямой,
  проходящей через точку А(2,-1) если она
  отсекает от положительной полуоси у
  отрезок, вдвое больший, чем на
  положительной полуоси х.
  

• 21 слайд

  РЕШЕНИЕ.
  По условию задачи,
  Подставляем в уравнение (4):
  Точка А(2,-1) лежит на этой прямой, следовательно ее координаты удовлетворяют этому уравнению:
  

• 22 слайд

  Рассмотрим уравнение:
  5. Общее уравнение прямой
  Рассмотрим частные случаи этого уравнения и покажем, что при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, это уравнение есть уравнение прямой на плоскости.
  5
  

• 23 слайд

  Тогда уравнение (5) можно представить в виде:
  Тогда получаем уравнение (1):
  Обозначим:
  1
  

• 24 слайд

  Тогда уравнение имеет вид:
  Получаем уравнение:
  - уравнение прямой, проходящей через начало координат.
  2
  3
  - уравнение прямой, параллельной оси х.
  

• 25 слайд

  Тогда уравнение имеет вид:
  Получаем уравнение:
  - уравнение оси х.
  4
  5
  - уравнение прямой, параллельной оси у.
  

• 26 слайд

  Тогда уравнение имеет вид:
  - уравнение оси у.
  6
  Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости.
  Это
  Общее уравнение прямой