Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Математические этюды.11. Площади фигур"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья "Математические этюды.11. Площади фигур"

библиотека
материалов

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg


Площади фигур

(метод исчерпывания)



Еhello_html_6ebd6e5c.gifВКЛИД, древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.



МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. В 12-й книге «Начал» Евклида с помощью метода исчерпывания Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.


* * *



Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов. А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой?


hello_html_285960f9.gif



Наложим на изучаемую фигуру квадратную сетку. 

Покрасим  в желтый цвет квадраты, которые хотя бы частично пересекаются с фигурой. Чтобы зрительно увидеть и подсчитать площадь, занимаемую желтыми квадратами, сложим из них прямоугольник. Очевидно, что величина, которую мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры, меньше площади этого желтого прямоугольника.



hello_html_1ac825b.jpg hello_html_m3967da44.jpg


В синий цвет покрасим те квадраты, которые полностью лежат внутри нашей фигуры. Таких квадратов набралось, конечно, меньше, чем желтых.  Выложим и из них прямоугольник.  Площадь нашей фигуры больше площади этого синего прямоугольника.


Итак, то, что мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры больше площади синего  прямоугольника и меньше площади желтого. Но площади этих двух прямоугольников сильно различаются, и пока мы плохо представляем, какова же искомая площадь.

hello_html_m36c8ea82.jpg


Для того чтобы получить более точные нижнюю и верхнюю границы искомой величины, рассмотрим сеточку из более маленьких квадратов. Повторим предыдущие действия. В желтый покрасим те квадраты, которые хотя бы частью пересекаются с фигурой. В синий — те, которые полностью лежат внутри фигуры. Снова площадь фигуры больше площади синего  прямоугольника и меньше площади желтого. Но в этот раз, взяв более мелкую сетку, мы получили более точные границы.



hello_html_m211e69a0.jpghello_html_5396fcc5.jpg



Рассматривая еще более мелкую сетку, мы получим еще более точные верхнюю и нижнюю границы площади изучаемой фигуры.


Будем продолжать уменьшать ячейки сетки, делая их все мельче и мельче так, чтобы сторона квадратиков, из которых она составлена, стремилась к нулю. Абстрагировавшись от реальности, в математической модели считается, что делать квадратики можно сколь угодно маленького размера. Тогда, как говорят, в пределе, желтый и синий многоугольники окажутся равными.  Рассмотрим прямоугольник, составленный из половинок синего и желтого прямоугольников (можно было рассмотреть и любой из них).


hello_html_m3c16e5b5.jpghello_html_m4dd1fefc.jpg



Площадью изучаемой фигуры по определению называется площадь двуцветного прямоугольника.



* * *



В жизни бывают случаи, когда необходимо приближенно определить площадь фигуры. При этом посчитанная площадь должна отличаться от настоящей не больше чем на некоторую заданную величину. Для решения этой задачи необходимо взять сетку из таких квадратиков, чтобы разница между площадями желтого и синего прямоугольников не превосходила удвоенной заданной величины погрешности. Тогда за площадь изучаемой фигуры нужно взять число, равное сумме площадей желтого и синего прямоугольников, поделенной пополам.



Литература

  1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание. 2001.

  2. Математические этюды. Etudes ru local v 110. Электронная версия. 2005.

  3. Наглядная геометрия. Уч.пособие для 5-6 классов. М., Дрофа. 2002.





hello_html_m32be1b02.jpghello_html_m4d466bb7.png

Краткое описание документа:

Работа - по сути красочный лист из импровизированного математического журнала для школьников. Его можно использовать как дополнительный исторический материал к уроку или на внеклассное мероприятие. Как измеряли площади криволинейных фигур, метод исчерпывания... Просмотр материала не отражает композиции, скачай - всё увидишь!
Автор
Дата добавления 19.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров113
Номер материала ДВ-539667
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх