Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Математические этюды.11. Площади фигур"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Статья "Математические этюды.11. Площади фигур"

библиотека
материалов

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg


Площади фигур

(метод исчерпывания)



Еhello_html_6ebd6e5c.gifВКЛИД, древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.



МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. В 12-й книге «Начал» Евклида с помощью метода исчерпывания Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.


* * *



Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов. А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой?


hello_html_285960f9.gif



Наложим на изучаемую фигуру квадратную сетку. 

Покрасим  в желтый цвет квадраты, которые хотя бы частично пересекаются с фигурой. Чтобы зрительно увидеть и подсчитать площадь, занимаемую желтыми квадратами, сложим из них прямоугольник. Очевидно, что величина, которую мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры, меньше площади этого желтого прямоугольника.



hello_html_1ac825b.jpg hello_html_m3967da44.jpg


В синий цвет покрасим те квадраты, которые полностью лежат внутри нашей фигуры. Таких квадратов набралось, конечно, меньше, чем желтых.  Выложим и из них прямоугольник.  Площадь нашей фигуры больше площади этого синего прямоугольника.


Итак, то, что мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры больше площади синего  прямоугольника и меньше площади желтого. Но площади этих двух прямоугольников сильно различаются, и пока мы плохо представляем, какова же искомая площадь.

hello_html_m36c8ea82.jpg


Для того чтобы получить более точные нижнюю и верхнюю границы искомой величины, рассмотрим сеточку из более маленьких квадратов. Повторим предыдущие действия. В желтый покрасим те квадраты, которые хотя бы частью пересекаются с фигурой. В синий — те, которые полностью лежат внутри фигуры. Снова площадь фигуры больше площади синего  прямоугольника и меньше площади желтого. Но в этот раз, взяв более мелкую сетку, мы получили более точные границы.



hello_html_m211e69a0.jpghello_html_5396fcc5.jpg



Рассматривая еще более мелкую сетку, мы получим еще более точные верхнюю и нижнюю границы площади изучаемой фигуры.


Будем продолжать уменьшать ячейки сетки, делая их все мельче и мельче так, чтобы сторона квадратиков, из которых она составлена, стремилась к нулю. Абстрагировавшись от реальности, в математической модели считается, что делать квадратики можно сколь угодно маленького размера. Тогда, как говорят, в пределе, желтый и синий многоугольники окажутся равными.  Рассмотрим прямоугольник, составленный из половинок синего и желтого прямоугольников (можно было рассмотреть и любой из них).


hello_html_m3c16e5b5.jpghello_html_m4dd1fefc.jpg



Площадью изучаемой фигуры по определению называется площадь двуцветного прямоугольника.



* * *



В жизни бывают случаи, когда необходимо приближенно определить площадь фигуры. При этом посчитанная площадь должна отличаться от настоящей не больше чем на некоторую заданную величину. Для решения этой задачи необходимо взять сетку из таких квадратиков, чтобы разница между площадями желтого и синего прямоугольников не превосходила удвоенной заданной величины погрешности. Тогда за площадь изучаемой фигуры нужно взять число, равное сумме площадей желтого и синего прямоугольников, поделенной пополам.



Литература

  1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание. 2001.

  2. Математические этюды. Etudes ru local v 110. Электронная версия. 2005.

  3. Наглядная геометрия. Уч.пособие для 5-6 классов. М., Дрофа. 2002.





hello_html_m32be1b02.jpghello_html_m4d466bb7.png

Краткое описание документа:

Работа - по сути красочный лист из импровизированного математического журнала для школьников. Его можно использовать как дополнительный исторический материал к уроку или на внеклассное мероприятие. Как измеряли площади криволинейных фигур, метод исчерпывания... Просмотр материала не отражает композиции, скачай - всё увидишь!

Общая информация

Номер материала: ДВ-539667

Похожие материалы