Статья по математике на тему "Теорема о равностороннем треугольнике"

Теорема о равностороннем треугольнике

«Любую геометрическую теорему можно доказать».

(М. Уильямс)

Теорема

Любой равносторонний треугольник нельзя вписать в квадрат.

Доказательство

Построим две окружности с центрами в точках  и  так, чтобы отрезок  одновременно являлся радиусом как окружности с центром в точке  так как радиусом окружности с центром в точке  Получаем две пересекающиеся между собой окружности с общим радиусом. На одной из двух точек пересечения (верхней или нижней) отмечаем точку  Таким образом, мы получаем три точки  и  лежащие на равном расстоянии друг от друга. Соединив эти точки между собой, мы получаем равносторонний треугольник  (см. чертёж).

Теперь достроим данный треугольник до квадрата принимая за длину одной его стороны, длину отрезка  В результате этого достраивания, мы получаем квадрат  На чертеже видно, что длина отрезка  равна длине отрезков  и  Длина отрезков  и  меньше длины отрезков и  причём  касается не отрезка  а точки пересечения двух окружностей. Иными словами,  является описанным вокруг  но не вписанным в него.

Отсюда следует вывод, что любой равносторонний треугольник нельзя вписать в квадрат. Теорема доказана.