Степени с натуральными показателями и их свойства

1.2.  Степени с натуральными показателями и их свойства

В соответствии с тематическим планированием, на данный параграф отводится два часа учебного времени (два урока).

При этом рекомендуется весь теоретический материал рассмотреть на первом из этих уроков (при этом подкрепляя такое рассмотрение решением примеров), а второй урок полностью отвести на тренинг.

Первый урок

1.  Проверка домашнего задания (5 мин.).

2.  Выполняем этап работы с информацией (20 – 25 мин.).

Этап ориентирован на преимущественное формирование познавательных УУД (универсальных учебных действий): умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст.

Работаем с текстом на стр. 15 – 17, обсуждая в случае необходимости и вопросы, которые могут возникнуть у детей в процессе выполнения этапа работы с информацией. Устанавливаем цели урока, как предметные, так и метапредметные. При этом важно, чтобы дети формулировали собственные цели.

Работа с указанным текстом в основном ориентирована на повторение и обобщение изученного ранее материала. Новым здесь для некоторых ребят будут свойства операции возведения в степень, а также для всех ребят – стандартный вид числа.

Очень важно выработать понимание, что не всякая запись вида , где n – натуральное число, является стандартным видом числа, что для этого необходимо выполнение условия . Для осознания и закрепления полезно порешать задания вида:

Определите, являются ли приведённые записи стандартным видом числа. Если да, объясните, почему вы так решили. Если нет, запишите в стандартном виде Всегда ли вам удалось это сделать?

а)  ;                             в)  ;

б)  ;                                г)  .

3.  Выполняем этап развития умений (15–20 мин.).

Этап ориентирован на выработку

►  познавательных УУД – формирование умений:

–  по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

–  по использованию доказательной математической речи;

–  по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;

►  регулятивных УУД – формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные  результаты;

►  коммуникативных УУД – формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Обсуждаем, что это этап разъяснения всего непонятного, а также первоначального (непродолжительного) тренинга. Устанавливаем цели работы на данном этапе, добиваясь при этом от детей личного целеполагания: разъяснить для себя всё, что мало понятно, потренироваться в решении тех задач, которые вызывают затруднения.

По истечении времени, отведённого для выполнения задания, результаты работы выносятся педагогом на доску и обсуждаются учащимися. Подводится итог работы, происходит самооценка, связанная с определением того, что ясно и получается и того, что не ясно и не получается.

При решении упражнений к рассматриваемому параграфу многие учащиеся впервые сталкиваются с заданием вида «Докажите, что…». Безусловно, форма записи при решении таких заданий в 7 классе может быть произвольная. Например, № 12(а) Докажите, что квадрат любого числа неотрицателен.

Решение.

Если  > 0, то > 0, т.к. произведение двух положительных чисел – положительное число.

Если  < 0, то <  0, т.к. произведение двух отрицательных чисел – положительное число.

Если  = 0, то = 0, т.к. = ·.

Таким образом, ≥ 0 при всех значениях переменной.

Хотелось бы выделить еще одно упражнение – № 14. При каких натуральных значениях x выражение положительно. В данном номере переменная встречается как в основании степени, так и в показателе. Рассмотрим два пункта.

б) (–3)^х-3 · (–2)^х-2.

Решение: Числа х–3 и х–2 (показатели степеней) разной чётности: если одно из них чётное, то другое нечётное, поэтому один из множителей всегда положителен, а второй отрицателен, поэтому их произведение всегда отрицательно.

Ответ: таких значений х нет.

ж) (–х)³·х³·(–11)⁵.

Решение. Числа х и – х являются противоположными, причём каждое из них возводится в нечётную степень. Поэтому первые два множителя – числа разных знаков, т.е. один из этих множителей положителен, а другой отрицателен. Третий множитель – отрицательное число. Таким образом, произведение этих трёх множителей положительное число.

Ответ: при любых значениях х.

4.  Формулируем домашнее задание по различным уровням сложности в зависимости от результатов этапа развития умений