Технологическая карта урока (учебного занятия) на основе системно-деятельностного подхода.

Характеристика этапов урока

* ФОУД – форма организации учебной деятельности обучающихся (Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П – парная, Г – групповая).

Конспект урока по теме: «Арифметическая прогрессия»

Тип урока: урок «открытия» нового знания

Образовательные цели:

создать условия для формирования первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиска и выделения необходимой информации; подведения под понятия; выведения следствий; умения  строить логическое рассуждение и делать выводы; формирования образовательной компетентности.

Развивающие цели:

организовать работу по  развитию умений определять понятия, создавать обобщения;

развитию умений анализировать.

Воспитательные цели:

способствовать  воспитанию настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.                        

Ход урока

1. Этап актуализации.

- Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим ваш багаж и выясним готовы ли вы к восхождению.

Теоретически – практический тест  

Вариант 1

1. Последовательности бывают:

     а) конечные   б) постоянные      в) бесконечные

2. Числа, образующие последовательность, называются:

      а) членами   б) номерами   в) числами

3. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена  х_n = 2n – 1

    а) 2; 7; 8;…    б) 1; 3; 5; …    в) -1; 2; 6; …

4. Найдите седьмой член последовательности ( а_n), заданной формулой:  а_n = n( n + 1 )

     а) 5    б) 12    в) 56

5. Найдите второй член последовательности ( с_n ), если с₁ = 8; с_n+1 = c_n – 1

     а)  6     б) 7     в) 8

Вариант 2

1. Последовательность обозначается

          а) хⁿ         б)  аn     в) ( x_n )

2. Способы задания последовательностей:

          а) формулой n – го члена   б)  рекуррентный способ   в) словесно

 3. Члены последовательности обозначаются:

           а) а¹, а², а³,…  б) 1а, 2а, 3а,…   в) а₁, а₂,а₃,….

 4. Найдите второй член последовательности ( с_n ), если с₁ = 8; с_n+1 = c_n + 1

           а)  9     б) 7     в) 3

 5. Найдите шестой член последовательности ( а_n), заданной формулой:  а_n = n( n + 1 )

        а) 67    б) 42    в) 56

(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям. За каждое верно выполненное задание 1 балл)    (Слайд 2)

- Поставьте оценки в трансфертные листы, которые вы сдадите в конце урока.  (Приложение 1)

- Кто всё правильно выполнил? У кого 1 ошибка? 2 ошибки?

- Молодцы! Теперь можно смело отправляться в путь. Путь к вершине всегда труден.  и чтобы её достичь.  нужно преодолеть немало испытаний. Перед вами первое испытание.

2. Этап проблематизации.

(Работа в парах + группа из 4 человек разгадывает кроссворд)

(Слайд 3)

Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.

(a_n): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…

(к_n): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …

(х_n): 1, 2, 4, 8, 16; …

 (c_n): 2; 6; 18; 54…

(d_n): 16; 13; 10; 7…

(e_n): 32; 16; 8; 4…

- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и то же число.

- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.

- Кто готов ответить? Какие ещё варианты?

- Теперь сравните полученные результаты с образцом и поставьте оценки. (Слайд 4)

(Правильно сгруппированы последовательности и верно определён признак – «5», верно сгруппированы последовательности, но признак определён неверно – «4», допущены 1 - 2 ошибки при группировке последовательностей, признак определён неверно – «3», допущено больше 2 ошибок,  признак не определён или определён неверно – «2»)

Поднимите руки у кого «5», «4».

- Как называется каждая из этих последовательностей нам скажут ребята, работавшие в группе.

Вопросы:

1. Номер члена последовательности, стоящего в самом начале. (Первый)
2. Член последовательности, стоящий перед любым ее членом, начиная со второго. (Предыдущий)
3. Последовательность, в которой конечное число членов. (Конечная)
4. Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращаться» . (Рекуррентный)
5. Числа, образующие последовательность. (Члены)
6. Последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего. (Возрастающая)
7. Способ при котором правило составления последовательности описано словами. (Словесный)
8. Число, указывающего порядковый номер любого члена последовательности. (Индекс)
9. Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего. (Убывающая)

-Это … (прогрессия). Верно.

Проверьте ваши ответы и поставьте оценки согласно критериям. (Слайд 5)

 (Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «3»)

Что мы сегодня будем изучать? (прогрессии)

- А откуда произошло это слово и что оно означает?

(Краткая историческая справка. Сообщение ученика. Индивидуальное задание)  (Слайды 6-8)

   Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.), и понимался

как бесконечная числовая последовательность.

   Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

  У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке.

   Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике начала XVIII века – «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России.

- Вы справились с  первым испытанием и тем самым  преодолели 1 этап.  Двигаемся дальше. О каких видах прогрессий шла речь в сообщении? (Арифметической и геометрической)

 Сегодня мы изучим одну из них. Предлагаю начать с арифметической прогрессии.

- Тема урока: «Арифметическая прогрессия» (Слайд 9)

3. Этап целеполагания.

-Чтобы знать, к чему  стремиться,  сформулируйте цель и задачи урока.

Цель: изучить арифметическую прогрессию

Задачи:

Ø  изучить определение арифметической прогрессии;

Ø  узнать,  как задаётся арифметическая прогрессия;

Ø  научиться определять,  является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет;

Ø  изучить формулу n-го члена  арифметической прогрессии;

Ø  научиться применять формулу n-го члена  арифметической прогрессии при решении задач.

Как вы считаете, какая у меня цель?

(Организовать работу так, чтобы мы смогли справиться со всеми поставленными задачами)

(Слайд 10)

4. Этап концептуализации и моделирования.

- Итак, давайте, вернёмся к последовательностям первой группы, назовите ещё раз их общий признак. (Слайд 11)

 (Каждый следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и тоже число).

 Это число назвали разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.

- Обсудите  в группах и запишите в черновик определение арифметической прогрессии.    Что у вас получилось?

(После того, как причитают все группы)

Откройте учебник на странице 145 и сверьте записанное вами определение с тем, какое приводят авторы учебника. (Прочитать вслух.)

Определение.

          Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом  число d называют разностью прогрессии.

-Запишите его в тетрадь. 

- Скажите, чьи определения были точнее?

Фронтальная работа.

Что означает фраза: «Запиши на языке математики»? (Записать с помощью специальных обозначений)

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком и пишут:

                            . (Записать на доске)

 Работа в группах. 4 группы. Приложение 2.

 Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы (Слайд 12):

1)      Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?

2)      Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.

3)      Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.

4)       Выясните,  при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.

  (a_n):  0, 2, 4, 6, 8, …

  (b_n):   1, 2, 3, 5, 8, …

  (c_n):   -7, -10, -13, -16…

  (d_n):   5, 5, 5, 5, 5, …

  (х_n):   3, 5, 7, 9, 6, …

   (к_n): - 8; -4; 0; 4; 8, …

Проверка по образцу. (Слайд 13)  Каждая группа отвечает на один из  вопросов.

Ответ:

1)   (a_n),  (c_n), (к_n), (d_n) - арифметические прогрессии

 2) (a_n) - арифметическая прогрессия, у которой а₁ = 0, d =2;

     (c_n) - арифметическая прогрессия, у которой а₁ = -7, d =-3;

        (к_n) - арифметическая прогрессия, у которой а₁ = -8, d =4;

     (d_n) - арифметическая прогрессия, у которой а₁ = 5, d =0.

3)      (a_n).  (к_n)  – возрастающие прогрессии

(c_n) – убывающая прогрессия

4)      Арифметическая прогрессия является  возрастающей последовательностью, если d >0 и убывающей, если d <0.

(Оценить работу в группе) Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «2».

- Кто выполнил всё верно? У кого были ошибки? У кого есть вопросы по этому заданию, что не понятно?

- Молодцы, вы преодолели следующий этап.

- Чтобы продолжить путь  предлагаю решить задачу (Слайд 14). Обсудите её решение в парах.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения? (15, 20, 25, 30, 35)

Как вы решили эту задачу? (прибавляли по 5 и взяли пятое число или записали арифметическую прогрессию и взяли пятый член)

- Кто  верно решил задачу? Поднимите руки.

Как поступить, если потребуется узнать продолжительность процедуры через месяц лечения? (Аналогично)

 Проблема.

- А как упростить решение этой задачи? Что позволяет сразу находить  любой член последовательности.

(Эту задачу можно решить быстрее,  если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.)

- Выведите формулу n-го члена  арифметической прогрессии. Для этого рассмотрите арифметическую прогрессию   с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу. Групповая работа.  Раздать задания. Приложение 3.

  ,

,

,

,

, и т.д.

Догадайтесь, как найти а_n.

Проверьте, что получилось.  (Слайд 15) 

Оцените свою работу согласно критериям. ( Задание выполнено верно – «5», допущена ошибка в записи формулы – «4», допущена ошибка в заполнении пропусков – «3»,   допущена ошибка в заполнении пропусков и неверно записана формула «2»)      

,

,

,

,

, и т.д.

                                    Это формула n-го члена  арифметической прогрессии. Запишите её в тетрадь.

- Кто справился с заданием? У кого были ошибки?  Где ошиблись?

Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия   каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта можно посмотреть дома в учебнике.

4. Этап конструирования.

(Слайд 16)

Какие задачи можно решать,  используя формулу a_n = a₁ + d (n-1).

(Найти ,  ,   d ,   n)

Вернёмся к нашей задаче. Как перевести её условие на математический язык?  Что известно в задаче? (а₁= 15,   d = 5)

Что нужно найти? (а₃₀ или а₃₁ в зависимости от того  сколько в месяце дней)

- Запишем решение задачи в тетрадь при условии, что в месяце 30 дней.

Показать оформление. (Слайд 17)

Дано: а₁= 15, d = 5.

Найти: а_30.

Решение: а₃₀ = а₁ +(30 – 1) d = 15 + 29*5 = 15 + 145 = 160

Ответ: а₃₀ = 160.

- Как найти из формулы n-го члена    ,   d ,   n? (Работа в группах)

                                   1 группа         ,

                                   2 группа   ,

                                   3 группа      ,   .

                                   4 группа . (Более сильная)

В арифметической прогрессии некоторые члены отсутствуют:

-6; а₂; 9; а₄; 24

Можно ли восстановить пропущенные  числа? Если возможно, то выявите закономерность, найдите пропущенные числа и сделайте вывод. Найдите разность арифметической прогрессии.

(а₂ = 1,5; а₄ = 16,5;  d = 7,5

а₁; а₂; а₃; а₄;… а_{n – 1}; a_n; a_{n + 1}; …   а_n = a_{n – 1} + a_{n + 1}

                                                                          2

Каждый член, начиная со второго,  равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.) 

Проверим работу 4 группы.  http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo-arifmeticheskoy-progressii-i1.html    ( 8-11 кадр) Интернет-ресурс.

- Проверим, что у вас получилось.

Отчёт групп, результаты записывают в  тетрадь. (Слайд 18)

. Оцените свою работу.  (Принимал активное участие в работе группы и получил верный результат – «5», принимал участие в работе группы, но не всегда предлагал верные решения – «4», иногда принимал участие в обсуждении, не все предложения были верными – «3», не принимал участия в работе группы – «2»)

Кто получил «5», у кого «4». Молодцы, вы преодолели ещё один этап и теперь имеете весь необходимый инвентарь  для дальнейшего продвижения, нужно только правильно им пользоваться.

Работа в группах.

Заполните таблицу. (Слайд 19)

Проверить, оценить.  (Слайд 20) 

Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».

- Дальше подъём каждый будет продолжать самостоятельно. Для этого вам нужно выполнить задания на компьютере.

http://fcior.edu.ru/card/12461/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-formula-n-ogo-chlena-arifmeticheskoy-progressii-p1.html

Оценка. Всё правильно  – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».

5. Этап рефлексии.

В начале урока вы ставили цель и задачи. Теперь подведём итоги и выясним все ли задачи были решены?

(Слайд 21)

·         Изучить определение арифметической прогрессии.

·         Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

·         Изучить формулу n-го члена  арифметической прогрессии.

·         Научиться применять формулу n-го члена  арифметической прогрессии при решении задач.

- А как по вашему, справилась ли я со своей задачей?

Домашнее задание. (Слайд 23)

1 уровень. § 16 пункт 1, 2, 4,  № 16.3(а, в), 16.4(а, б),

2 уровень . § 16 пункт 1, 2, 4,  № 6.5(а), 16. 7(г),

2 уровень . § 16 пункт 1, 2,4,  16. 17(в), 16. 18 (в)

Дополнительная задача. (Мотивация на следующий урок «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.)

Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м² уложат студенты за 15 дней?

Список литературы:

1. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Учебник, М.: Мнемозина, 2007.
2. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Задачник, М.: Мнемозина, 2007.
3. Александрова Л. А. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы для общеобразоват. учреждений. Учеб. Пособие  под ред. А. Г. Мордковича.- М.: Мнемозина, 2004.
4. А. Г. Мордкович. Алгебра 7-9.: Методическое пособие для учителя.- М.: Мнемозина, 2004
5. Занина О. В.,Данкова И. Н. поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.:ВАКО,2007.
6. Г.А. Игнатьева, М.Н. Крайникова и др. Проектирование и сценирование инновационных форм учебных занятий в условиях введения ФГОС общего образования: Методические рекомендации.-Нижний Новгород:НИРО, 2013.

Приложение 1.

Трансфертный лист.

Ф.И. ______________________

Приложение 2

Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы:

1)      Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?

2)      Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.

3)      Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.

4)       Выясните,  при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.

  (a_n):  0, 2, 4, 6, 8, …

  (b_n):   1, 2, 3, 5, 8, …

  (c_n):   -7, -10, -13, -16…

  (d_n):   5, 5, 5, 5, 5, …

  (х_n):   3, 5, 7, 9, 6, …

   (к_n): - 8; -4; 0; 4; 8, …

Приложение 3.

Рассмотрите арифметическую прогрессию   с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу.

  ,

,

,

,

, и т.д.

Догадайтесь, как найти а_n.

Приложение 4.

Приложение 5.

Закладка.