ТЕМА УРОКА "Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач"

Тема: Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач

Цель урока:Познакомить учащихся с применением определённых интегралов при решении геометрических и физических задач.

Задачи урока:Отработка навыка нахождения определённого интеграла.

• Привитие интереса к математике.

Ход урока:

I этап: организационный момент, приветствие, проверка домашнего задания

II этап: Новая тема:

Мы уже знаем, что определенный интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, а снизу — осью Ох.

Иногда встречаются плоские фигуры, ограниченные и сверху и снизу графиками различных функций.

Чтобы определить площадь заштрихованной плоской фигуры (рис.1), нужно из площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у₁=?₁(х), вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком функции у₂=?₂(х).

Тогда S= ? ?₁(х) dx — ? ?₂(х) dx = ? (?₁(х) - ?₂(х)) dx

S= ? (?₁(х) — ?₂(х)) dx (1)

В некоторых случаях нужно вычислить площадь фигуры, которая ограниченна прямыми у=с и у=d, параллельными оси Ох, х=о и одна из боковых сторон ограничена линией (рис 2).

Площадь такой фигуры вычисляется:

S = ? φ(у)dу (2)

Если фигура с двух боковых сторон ограничена кривыми линиями х= φ₁(у) и х= φ₂(у) (рис3), тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем:

S=? ( φ₂(у) — φ₁(у)) dу (3)

Примеры:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у=х³+1, прямой у=2 и осью Оу (рис 4)

2. Решение: По формуле (1):

3. S=?(2- х³-1)dx=?(1-х³)dх=(х-х⁴/4)?=1-1/4 =3/4

4. Ответ: 3/4кв.ед.

2. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямыми у=2х, х=1 и осью Ох (рис5)

2. Решение: Площадь этого треугольника: S=?2хdх=х²?=1

3. Такой же результат можно получить, если воспользоваться формулой площади треугольника: S=1/2*аh, а=1, h=2. Тогда S=1/2*1*2=1

4. Ответ: 1 кв.ед.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у²=4х и прямой у=х (рис 6)

6. Решение: Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого нужно решить систему двух уравнений:

7. у²=4х или у²/4=у, откуда: у₁=0 и у₂=4

8. у=х

2. Значит площадь:

3. S=? (у — у²/4)dу = (у²/2 — у³/12)?= 4²/2 — 4³/12=8 — 16/3=8/3

4. Ответ: 8/3 кв.ед.

III этап: решение примеров у доски: ? 47 (2) ? 48 (1)

IV этап: подведение итогов

V этап: Домашнее задание ? 47 (1), ? 48(2)