Учебное пособие по математике

Скачать материал

Государственное автономное профессиональное Образовательное Учреждение

Колледж Туризма и гостиничного Сервиса

Санкт-Петербурга

О. А. Малышева

Учебное пособие

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

по дисциплине

Математика

для студентов 1 курса, обучающихся по специальностям СПО

социально-экономического и технического профиля на базе основного (общего) образования:

43.02.11 Гостиничный сервис,

43.02.10 Туризм

43.02.01 Организация обслуживания в общественном питании

38.02.04 Коммерция (по отраслям)

38.02.05 Товароведение и экспертиза потребительских товаров

38.02.03 Операционная деятельность в логистике

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Санкт-Петербург

2015г.

Составитель: Малышева О.А., преподаватель математики Колледжа туризма.

В Пособии представлены задания по изучаемой программе, учитывающие требования к результатам освоения учебного курса «Математика», реально достижимых при массовом обучении в ходе реализации ФГОС среднего (полного) общего образования (базового уровня) в пределах ОПОП СПО.

Содержание Пособия формируется по принципу соответствия промежуточной аттестации в учреждениях профтехобразования и государственной итоговой аттестации в формате ЕГЭ. Основу составляют задания из сборников и пособий для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня, рекомендованных ФИПИ.

Пособие содержит Словарь – определения основных изученных понятий, терминов.

Пособие будет полезно преподавателям, студентам, а также родителям.

Содержание

Номер пункта	Тема	Страница
	Введение	4
1	Демонстрационные варианты	5
2	Арифметические действия в множестве действительных чисел R. Текстовые задачи	9
3	Логарифмы	11
4	Исследование функций с помощью производной	13
5	Геометрия	15
6	Действия со степенями. Иррациональные уравнения	19
7	Показательные уравнения и неравенства	20
8	Логарифмические уравнения и неравенства	21
9	Тригонометрия	22
10	Функции: определение, свойства, графики	24
11	Словарь	26

Введение

Уважаемые студенты!

Это Пособие подготовлено с целью оказания вам помощи при подготовке к промежуточной аттестации по математике. В нем представлены ведущии темы программы, подлежащие контролю в формате экзамена. На выполнение письменной экзаменационной работы отводится 4 астрономических часа (240) минут. Работа состоит из 2 частей: обязательной и дополнительной. Требования, проверяемые заданиями письменной экзаменационной работы:

· Уметь выполнять вычисления и преобразования

· Уметь решать уравнения и неравенства

· Уметь выполнять действия с функциями

· Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами, векторами

· Уметь решать практические задачи.

Требования к выполнению заданий состоят в том, чтобы:

· Из представленного решения был понятен ход рассуждений

· Ход решения был математически грамотным

· Представленный ответ был правильным.

Критерии оценки выполнения работы:

Оценка	Число баллов, необходимое для получения оценки
«3» (удовлетворительно)	9-14
«4» (хорошо)	15-20 (не менее одного задания из дополнительной части)
«5» (отлично)	21-30(не менее двух заданий из дополнительной части)

Начинать работу следует с выполнения заданий обязательной части, отслеживая по таблице критериев необходимое количество заданий.

При выполнении заданий дополнительной части вам необходимо также ориентироваться на таблицу критериев, сколько заданий достаточно правильно выполнить, чтобы получить оценку «4» или «5».

Если Вы добросовестно проработаете предлагаемый материал, то можно не сомневаться, что успех на экзамене гарантирован.

Желаю Удачи!

Автор.

1. Демонстрационные варианты

экзаменационной работы

1 вариант

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-8 запишите ход решения и полученный ответ.

1. (1 балл) Пара носков стоит 25рублей. Какое наибольшее количество пар носков можно купить на 200 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 40%?

2. (1 балл) Для ремонта квартиры купили 18 рулонов обоев. Сколько пачек обойного клея надо купить, если одна пачка клея рассчитана на 7 рулонов?

3. (1 балл). Какие из перечисленных точек принадлежат графику функции у(х)= - х+12:

А(0;2), В(-1;13), С(1;11), К(2;10)?

4. (1 балл) Вычислите:

5. (1 балл) Найдите значение cosα, если известно, что sinα = - и αIII четверти.

6. (1 балл) Решите уравнение:7^2х+1=49

7. (1 балл) Вычислите значение выражения: .

8. (1 балл). Решите уравнение:

9. (1 балл). Графиком какой из приведенных функций может быть данная линия:

Используя график функции, определите и запишите ответ:

10. (1 балл) наибольшее и наименьшее значения функции;

11. (1 балл) промежутки возрастания и убывания функции;

12. (1 балл) при каких значениях х f(x) ≤ 0.

13. (1 балл). Электрику ростом 1,8 м нужно поменять лампочку на стене дома на высоте 4.2 м. Для этого у него есть лестница длиной 3 м. На каком наибольшем расстоянии в метрах от стены должен быть установлен нижний конец лестницы, чтобы с последней ступеньки электрик дотянулся до лампочки?

4,2 3

14. (1 балл). Тело движется по закону S(t)=0,5t²-20t-17. В какой момент времени тело остановится?

15. (1 балл). Найдите область определения функции у(х) = .

16. (1 бал л). Решите уравнение:

17. (1 балл). Решите уравнение: sin3x +1= sin.

18. (1 балл). Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты: (2;2), (2;4), (6;0), (6;5).

Дополнительная часть:

19. (3 балла) Найдите точки экстремумов функции у = х³-3х²-8.

20. (3 балла) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 20 см. Боковое ребро равно. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы.

21. (3 балла) Решите систему уравнений:

22. (3 балла) Решите уравнение: . В ответ запишите корни, принадлежащие отрезку [0;2π].

2 вариант

Обязательная часть

При выполнении заданий 1-8 запишите ход решения и полученный ответ.

1. (1 балл). Установка 2 счетчиков воды стоит 3200 рублей. До установки счетчиков за воду платили 2200 рублей ежемесячно. После установки счетчиков оплата воды стала составлять 1400 рублей в месяц. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счетчиков, если тарифы не изменятся?

2. (1 балл) В летнем лагере на каждого учащегося полагается 20 г сливочного масла в день. В лагере 127 человек. Сколько упаковок масла по 200г понадобится на каждый день?

3. (1 балл). Какие из перечисленных точек принадлежат графику функции у(х)= -10 х-2:

А(0;-2), В(-1;8), С(1;-11), К(2;-22)?

4. (1 балл). Вычислите значение выражения: log₁₈3+log₁₈6

5. (1 балл) Вычислите:

6. (1 балл). Решите уравнение: lg(3х+5)= log₈64

7. (1 балл) Найдите значение cosα, если известно, что sinα = и αIII четверти.

8. (1 балл). Решите уравнение:

9. (1 балл) Определите, какой из ниже приведенных графиков принадлежит логарифмической функции:

A) B) C)

Используя график функции, определите и запишите ответ:

10. (1 балл) наибольшее и наименьшее значения функции;

11. (1 балл) промежутки возрастания и убывания функции;

12. (1 балл) при каких значениях х f(x) ≤ 0.

13. (1 балл) От электрического столба высотой 6 м к дому, высота которого 3м натянут кабель. Вычислите длину кабеля, если расстояние между домом и столбом 4 м.

14. (1 балл) Найдите область определения функции у=ln(x²-6x).

15. 1 балл). Тело движется по закону S(t)=0,5t²-4t-17. В какой момент времени тело остановится?

16. (1 балл) Решите уравнение:

17. (1 бал л). Решите уравнение:

18. (1 балл). Найдите площадь параллелограмма, вершины которой имеют координаты: (2;7), (4;3), (4;7), (6;3).

Дополнительная часть

19. (3 балла). Найдите точки экстремумов функции у(х)= -х³+3х²+9х.

20. (3 балла). В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 10 см. Боковое ребро равно. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы.

21. (3 балла). Решите систему уравнений:

22. (3 балла). Решите уравнение: В ответ запишите корни, принадлежащие отрезку [0;2π].

2. Арифметические действия в множестве действительных чисел R

Найдите значение выражения:

Текстовые задачи

1. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5г 3 раза в день в течение 8 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

2. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,25г раз в день в течение 14 дней. В одной упаковке 20 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

3. В городе живет 300000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько жителей города работает?

4. Дима, Антон, Паша и Гоша учредили компанию с уставным капиталом 150000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Антон — 60000 рублей, Паша — 0,2 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Гоша. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Гоше?

5. Митя, Антон, Никита и Денис учредили компанию с уставным капиталом 100000 рублей. Митя внес 25% уставного капитала, Антон — 55000 рублей, Никита — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Денис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 700000 рублей причитается Денису?

6. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

7. Таксист за месяц проехал 6000 км. Цена бензина 20 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

8. Таксист за месяц проехал 10000 км. Цена бензина 22 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 7литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

9. На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

10. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

11. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек надо купить на все дни конференции?

12. Для ремонта квартиры купили 42 рулона обоев. Сколько пачек клея надо купить, если 1 пачка рассчитана на 8 рулонов?

13. В колледже есть трехместные палатки. Какое наименьшее количество палаток нужно взять в поход, в котором участвуют 20 человек?

14. В июне 1 кг огурцов стоил 50 рублей. В июле огурцы подешевели на 20%, а в августе еще на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов в августе?

15. В школе 124 ученика изучают французский язык. Что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

16. 27 выпускников школы собираются учиться в вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

17. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Магазин делает пенсионерам скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

18. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре подорожал на 25%,а в ноябре еще на 40%. Сколько рублей стоит 1 кг винограда в ноябре?

19. Студент получил свой первый гонорар за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей преподавательницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный налог составляет 13%, розы стоят 90 рублей за штуку, а букет должен состоять из нечетного числа цветов?

20. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа.

21. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счете осталось меньше 16 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счете было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

Для самостоятельного решения:

№ задания	Сумма на счете	Ежедневно снимают	№ задания	Сумма на счете	Ежедневно снимают
1	700	24	6	500	19
2	300	22	7	700	18
3	200	23	8	300	17

22. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Решение

Ежемесячная экономия 800-300=500 рублей. Если количество искомых месяцев –х, условие задачи означает, что выполняется неравенство 500х>3300, x>6,6, т.е. х=7. Ответ: 7

Для самостоятельного решения:

№ Зада ния	Стоимость установки	Плата до установки счетчиков	Плата после установки счетчиков	№ Зада ния	Стоимость установки	Плата до установки счетчиков	Плата после установки счетчиков
1	3000	1100	700	4	2300	1900	1300
2	3200	1800	1300	5	2500	800	600
3	2100	1500	1100	6	2800	1000	700

23. В магазине мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку на дому, стоимость которой составляет 15% от стоимости мебели. Шкаф стоит 5000 рублей. Во сколько обойдется покупка мебели вместе со сборкой?

24. В магазине мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости мебели. Шкаф стоит 8000 рублей. Во сколько обойдется покупка мебели вместе со сборкой?

25. В магазине мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку на дому, стоимость которой составляет 20% от стоимости мебели. Шкаф стоит 18000 рублей. Во сколько обойдется покупка мебели вместе со сборкой?

26. В магазине мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку на дому, стоимость которой составляет 25% от стоимости мебели. Шкаф стоит 5000 рублей. Во сколько обойдется покупка мебели вместе со сборкой?

27. В магазине мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку на дому, стоимость которой составляет 15% от стоимости мебели. Шкаф стоит 5000 рублей. Во сколько обойдется покупка мебели вместе со сборкой?

3. Логарифмы

Справочный материал

Для a>0, a≠1, b>0, c>0:

Обязательная часть

Вычислите:

Найдите область определения функции

1. y=ln

Решение

Т.к. логарифмы имеют смысл только для положительных чисел, то выражение должно быть положительным, т.е.

>0. Решая неравенство методом интервалов, получаем:

1. Нули числителя и знаменателя: =0, х=1, х=2 и х-6=0, х=6.

-- + ---- +

1 2 6

3. Ответ: 1<x<2 или x>6.

Дополнительная часть

Вычислите

Решите системы:

Решите уравнения

Решите неравенства

1.log₄(x²+2x-8)<2. Укажите все целые решения.

2. . Укажите все натуральные решения.

4. Исследование функций с помощью производной

Справочный материал:

I. Формулы для нахождения производных:

II. Геометрический смысл производной:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению к оси абсцисс.

III. Физический смысл производной:

, т.е.скорость - это производная пути по времени.

IV. Производная и поведение функции:

Производная функции f′(x)	+ , т.е. f′(x)>0	- ,т.е. f′(x)<0
Поведение функции

V. Максимумы и минимумы функции (экстремумы функции):

Если х₀-критическая точка, и

При переходе через х₀ f′ меняет знак: а) с плюса на минус- х₀-точка максимума

б) с минуса на плюс- х₀-точка минимума.

VI. Уравнение касательной «m» к графику функции y=f(x) в точке х₀:

m: y=f′(x₀)(x-x₀)+f(x₀)

VII. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, заданной на промежутке [a;b]:

1. Найти производную функции f′(x)

2. Найти критические точки х₁, х₂, …

3. Выбрать те, которые входят в [a;b]

4. Вычислить значения функции в этих точках, т.е. f(x₁), f(x₂),…

5. Вычислить значения функции f(a), f(b).

6. Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции.

*Обязательная часть*
Найдите промежутки возрастания функций:	Найдите промежутки убывания функций:
1. у(х)=2х²-х⁴+8	22. у(х)=3x⁴-4х³+2
2. f(x)=x³-3x²+1	23. f(x)=5х³-3х⁵+4
3. y(x)=x⁵-5x²-6	24. у(х)=х²-4х+7
4. f(x)=2x³-3x²-36x	25. f(x)=-3х²-12х+9
5. y(x)=x³+5x²-2	26. у(х)=-х²-5х
6. y(x)=x³-4x²+16x+9	27. f(x)=-(х+2)²
7. y(x)=2x³-3x²-3	28. у(х)= -2х²+х⁴+18
8. f(x)=2x³+9x²-24x	29. y(x)= - x³-5x²+13
9. y(x)=-x³+x²+8x	30. f(x)= - 2x³-9x²+24x
10. f(x)=2x³-x⁴-8	Найдите точки экстремумов данных функций:
11. y(x)=	31. y(x)=3х²-2х³+7
12. f(x)=3-3x-2x²	32. y(x)=-х³+9х²+21х
13. y(x)=-x³+x	33. f(x)=
14. f(x)=-3x³+6x²+5x	34. y(x)=2х³-9х²-60х+1
15. y(x)= -3x³+6x²-5x	35. f(x)=х⁴-х²
Вычислите значение производной функции при данном значении “х»:	36. y(x)= х⁴-х³
16. f(x)=tgx-2sinx , x= -	37. f(x)=х⁴+2х³-5х²
17. y(x)=e^xcosx, x=0	38. y(x)= х⁴-2х²
18. f(x)=x²lnx, x=1	39. f(x)= - х²+2х-3
19. y(x)=4sinx-cosx, x=-	40. y(x)= 3х-х³
20. f(x)=6sinx +tgx, x=-	41. f(x)= 3х+х³
21. y(x)=3x+, x=16	42. y(x)=
43. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него изменяется по закону S(t)=0,5t²+3t+2 , где t –время движения в секундах. Через какое время скорость тела будет равна 15м/с?
44. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него изменяется по закону S(t)= - 0,5t²+3t+4 , где t –время движения в секундах. Через сколько секунд тело остановится?
45. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него изменяется по закону S(t)= - 3t²+12t, где t –время движения в секундах. Через сколько секунд тело остановится?
46. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него изменяется по закону S(t)=t³-3t+4 , где t –время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
*Дополнительная часть*
47. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у= cos3x в точке с абсциссой х₀=
48. Составьте уравнение касательной к графику функции у=, параллельной прямой у=3х
49. В каких точках касательные к графику функции у=х³-3х+1параллельны оси х?
50. В каких точках касательные к графику функции у=параллельны прямой у=-х?
51. Найдите точки экстремума функции у=2х+3е^-х
52. Найдите точки экстремума функции у=х+2е^-х.
53. Найдите точки минимума функции у=
54. Найдите точки максимума функции у=
55. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1;4]
56. Найдите наименьшее значение функции у= на отрезке [1;3]
57. Найдите наибольшее значение функции у=-3+4sinx+2x на отрезке [π;2π]
58. Найдите наименьшее значение функции у=1+4sinx-2x на отрезке [0;π]
59. Найдите точку максимума функции у=(20-х)*е^х+20
60. Найдите точку минимума функции у=(21-х)*е^21-х
61. Найдите точку минимума функции у=(х+3)*е^х-3
62. Найдите точку максимума функции у=(х+15)*е^15-х

5. Геометрия

Справочный материал

СТЕРЕОМЕТРИЯ
			Площадь боковой поверхности		Площадь полной поверхности			Объем
*КУБ*			S_б.п= 4a²		S_п..п= 6a²			V = a³
*ПАРАЛЛЕЛЕ* *ПИПЕД-прямоугольный*			S_б.п*=2(a+b)c**		S_п.п= S_б.п.+2* S_осн			V = авс
*ПРИЗМА прямая*			S_б.п*=Р_оснН**		S_п.п= S_б.п+2* S_осн.			V = S_осн.*H
*ПРИЗМА наклонная*			S_б.п=сумме площадей боковых граней		S_п.п= S_б.п+2* S_осн.			V = S_осн_.*H
*ПИРАМИДА* *правильная*			S_б.п*= Р_оснh, h-** апофема		S_п.п= S_б.п+S_осн.			V =* S_осн.*H
*ПИРАМИДА произвольная*			S_б.п=сумме площадей боковых граней		S_п.п= S_б.п+S_осн.			V =* S_осн.*H
*ЦИЛИНДР*			S_б.п=2		S_п.п= S_б.п+2S_осн=2+			V = S_осн.*H =H
*КОНУС*			S_б.п=, - образующая		S_п.п= S_б.п+S_осн=+			V =* S_осн.*H=H
*ШАР*			-		S_п.п=4			V =
Планиметрия
1	*Треугольник*			4		*параллелограмм*	где α – угол между сторонами, φ - – угол между диагоналями
	а) произвольный	где p-полупериметр,		5		*ромб*
	б) правильный			6		*квадрат*
	в) прямоугольный			7		*прямоугольник*
2	*круг*	S=
3	*трапеция*	, где MN – средняя линия

Планиметрия-Обязательная часть

1.Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3 метрам. Ответ дайте в метрах.

2.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h₁перил относительно земли равна 1,5 м, а наибольшая h₂ равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.

3. Дачный участок имеет форму квадрата, стороны которого равны 30 м. Размеры дома, расположенного на участке и имеющего форму прямоугольника, — 8 м × 5 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

6. Садовод решил разбить на своём дачном участке 4 квадратные клумбы и 8 клумб в виде правильных треугольников, огородив каждую из них небольшим заборчиком. Длина каждой стороны у любой клумбы равна одному метру. Найдите общую длину всех заборчиков в метрах.

7. Строители огораживают место для проведения работ забором. Забор имеет форму прямоугольника со сторонами 18 м и 16 м. Причём необходимо оставить проёмы в заборе для проезда машин. Проездов четыре, каждый шириной 2 м. Найдите общую длину забора.

6. Рыболовное хозяйство строит бассейн для разведения рыбы. Бассейн имеет форму прямоугольника со сторонами 4 м и 12 м. В центре каждого бассейна находится техническая постройка, которая имеет форму прямоугольника со сторонами 2 м и 3 м. Найдите площадь оставшейся части бассейна.

7. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника25 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если в заборе нужно предусмотреть ворота шириной 4 м.

8.Колесо имеет 5 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий прямоугольный пруд размером 10 м на 14 м (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?

10.

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h₁перил относительно земли равна 1,05 м, а наибольшая h₂ равна 2,05 м. Ответ дайте в метрах.

11.Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты: (4;2), (10;2), (10;9), (8;9).

12. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты: (4;2), (10;2),(9;9), (1;9).

13. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты: (4;3), (10;3), (10;9), (6;9).

14. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты: (4;3), (10;3), (3;9), (1;9).

!5. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты: (1;3), (3;3), (8;6), (10;6).

16. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты: (1;3), (3;3),(3;7), (5;7).

17. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты: (2;2), (4;2), (6;6), (8;6).

18.Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты: (2;2), (4;2), 7;5), (9;5).

19.Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см.

20. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см.

Стереометрия

Обязательная часть

Устно:

1) Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится объем?

2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если: а) его высоту уменьшить в 4 раза?

б) его радиус уменьшить в 3 раза?

3) Как изменится объем конуса, если высоту увеличить в 4 раза, а радиус уменьшить в 2 раза?

2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

4. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Дополнительная часть

7.Цилиндр и конус имеют одинаковые основание и высоту. Объем конуса равен 65. Докажите, что объем цилиндра равен 195.

8. Цилиндр и конус имеют одинаковые основание и высоту. Объем цилиндра равен 69. Вычислите объем конуса.

9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9 см. Боковое ребро равно . Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы.

10. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2 см. Боковое ребро равно. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы.

11. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна , а высота этой призмы равна

4. Найдите объем призмы.

12. В основании прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, гипотенуза равна , а высота этой призмы равна 3. Найдите объем призмы.

13. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4, а высота призмы равна . Найдите объем призмы.

15. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О –центр основания, S-вершина, SO =10, BD=48. Найдите боковые ребра пирамиды.

17. В правильной треугольной пирамиде SABC точка М – середина ребра ВС, S-вершина, АВ =6, SM=19. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

19. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус и высота которого равны 5,5.

Найдите объем параллелепипеда.

21. В правильной четырехугольной пирамиде SABC постройте угол наклона боковой грани СSD к основанию АВС. Вычислите высоту пирамиды, если этот угол равен 30⁰, сторона основания равна 10 см.

23. В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень поднялся на 5 см. Чему равен объем детали?

14.Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно .

16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О –центр основания, S-вершина, SС =10, AC=18. Найдите высоту пирамиды.

18. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ D₁B= , BB₁=3, A₁D₁=4. Найдите длину А₁В₁.

20. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы, радиус которой равен 6. Найдите его объем.

22. Вычислите объем и площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды SABC, если боковое ребро наклонено к основанию под углом 60⁰, высота равна 6 см.

24. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находится уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

8. Действия со степенями	Иррациональные уравнения
Найдите значение выражения 18)Запишите в виде степени: по основанию 2: 16, 8, по основанию 5:125, 19)Запишите произведение в виде степени по основанию 2:	Решите уравнения
7. Показательные уравнения и неравенства
Обязательная часть	Дополнительная часть
1. ${{2}^{3-2x}}~=~32$	1.
2. $9^{7 -1x}=81^{2x}$	2.
3. ${{49}^{x-5}}~=~\frac{1}{7}$	3.
4. $\left(\frac{1}{5}\right)^{4-x}=5.$	4.
5. ${{\left(\frac{1}{49}\right)}^{x-8}}~=~7$	5.
6.3^х=2^х	6.
7. ${{2}^{3-4x}}~=~128$	7.
8. ${{6}^{4x-10}}~=~\frac{1}{36}$	Решите неравенства
9. ${{81}^{x-3}}~=~\frac{1}{3}$	8.
10. $\left(\frac{1}{18}\right)^{x-1}=18^x.$	8.
11. ${{9}^{x-10}}~=~\frac{1}{3}$	9.
12. $6^{5+x}=216.$	10.
13. ${{\left(\frac{1}{4}\right)}^{4x-13}}~=~\frac{1}{64}$	11.
14.	12.
15.	Решите системы
16. $4^{5 +2x}=0,4 \cdot 10^{5 +2x}$	13.
17. $2^{4 +3x}=0,4 \cdot 5^{4 +3x}$	14.
18.	15.
19.	16.
20.	17.
21.	17.

8. Логарифмические уравнения и неравенства

Обязательная часть	Дополнительная часть
Решите уравнения
1. ${{\log }_{2}}(7-x)~=~6$	1. $\log_{x +4} 81=4$
2. ${{\log }_{2}}(8+x)~=~3$	2. $\log_{x +6} 81=2$
3. ${{\log }_{6}}(3-x)~=~2$	3. $\log_{x -3} 16=2$
4. ${{\log }_{3}}(4-x)~=~2$	4. $\log_{x -1} 32=5$
5. ${{\log }_{\frac{1}{8}}}(13-x)~=~-2$	5. $\log_{16} 2 ^ {5x+1} = 3$
6.	6. $3 ^ { \log_{9} 5x+4} = 3$
7. ${{\log }_{\frac{1}{4}}}(9-5x)~=~-3$	7.
8. ${{\log }_{\frac{1}{9}}}(13-x)~=~-2$	8.
9. ${{\log }_{13}}(17-x)~=~{{\log }_{13}}12$	9.
10. ${{\log }_{3}}(14-x)~=~{{\log }_{3}}5$	10.
11. ${{\log }_{7}}(9-x)~=~{{\log }_{7}}8$	11.
12. ${{\log }_{11}}(16+x)~=~{{\log }_{11}}12$	12.
13. ${{\log }_{2}}(16+x)~=~{{\log }_{2}}3$	13.
14. ${{\log }_{9}}(x+6)~=~{{\log }_{9}}(4x-9)$	Решите неравенства
15. ${{\log }_{7}}(x+9)~=~{{\log }_{7}}(5x-7)$	14.
16. ${{\log }_{4}}(x+3)~=~{{\log }_{4}}(4x-15)$	15.
17. $\log_2 (8 +7x)=\log_2 (8 +3x) +1$
18. $\log_2 (8 +3x)=\log_2 (3 +x) +1$
19. $\log_2 (2 -x)=\log_2 (2 -3x) +1$
20. $\log_2 (4 +x)=\log_2 (2 -x) +2$
21. ${{\log }_{2}}(18-6x)~=~4{{\log }_{2}}3$
22. ${{\log }_{5}}(5-5x)~=~2{{\log }_{5}}2$	19.
23.	20.
	21.
	22.
	23.
	24.

9. Тригонометрия

Справочный материал

I. Основные тождества II.Формулы двойных углов

Ш. Переход от суммы к произведению IV. Формулы понижения степени

V. Решение простейших уравнений

Уравнение	Общая формула	Частные формулы
Уравнение	Общая формула	а = 1	а = - 1	а = 0
sinx=a, a[-1:1]	x= (-1)ⁿ*arcsina+πn, nZ
cosx=a, a[-1:1]	x=arccosa+2 πn, nZ
tgx=a, aR	x = arctga+ πn, nZ

Примеры:

1.Вычислите sinα, если известно, что cosα= и .

Решение

1.Известно, что sin²α + cos² α = 1. Тогда

2. Т. к угол по условию находится в 4 четверти, то синус будет отрицательным

. Ответ: sinα =

2.Решите уравнения:

а)

По общей формуле:

б)sinx=1/2

в)sinx= - 1/2

г)сosx=-0,4

*Обязательная часть*
Решите уравнения	Вычислите
11. cos²x+cosx= -sin²x	I. sinx, если: 1. cos x = 0,6, 2. cosx = - 0,8, 3. cos x= , II. cosx, если: 1. sinx = - 2. sinx = 0,8, sinx = - 0,6,
*Дополнительная часть*
Решите уравнения

Решите уравнения: а)Найдите все корни данного уравнения б)Запишите корни, принадлежащие промежутку [0;2π]
5.	6.
7.	8.
9. cosx = cos3x+2sin2x	10. sinx+sin3x=4cos²x
11. sin²6x+sin²4x = 1	12.cos²6x-sin²3x-1=0

10. Функции: определение, графики, свойства

I. Пользуясь графиком функции, найдите:

1. Промежутки возрастания и убывания функции

2. Наибольшее и наименьшее значения функции

3. При каких значениях «х» значения функции:

a. Положительны б) Неположительны в) Отрицательны

1	2	3











4	5	6








7	8	9

II. Опишите функции, графики которых приведены:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

III. Установите соответствие между графиком и функцией - заполнив таблицу:

1. 2. 3. 4.

1 1 1

3. 6. 7. 8.

А) у= - х+1 Б) у=0,5^х В) у= Г) у=х²-3х Д) у=log₂x Е)у=-х²+4 Ж)у= З) у=log_0,2x

И) у=х²+4 К)у=5^х М)у= Р) у=х+1

ТАБЛИЦА

1	2	3	4	5	6	7	8

1	Арифметика-	Раздел математики, изучает числа, их свойства, действия с числами
2	Сложение -	Математическое действие, результат сложения –сумма, компоненты-слагаемые.
3	Вычитание -	Математическое действие, результат вычитания –разность.
4	Умножение -	Математическое действие, результат умножения –произведение.
5	Деление -	Математическое действие, результат деления – частное, отношение.
6	Алгебра -	Раздел математики, изучает буквенные выражения.
7	Алгебраическое выражение -	Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней и с помощью скобок.
8	Одночлен -	Выражение, которое содержит числа, степени переменных и их произведения и не содержит никаких других действий над числами и переменными.
9	Многочлен -	Сумма одночленов
10	Уравнение -	Равенство двух алгебраических выражений
11	Решить уравнение -	Найти все его корни или доказать, что их нет.
12	Корень -	Число, при подстановке которого в уравнение уравнение превращается в верное числовое равенство.
13	Дедуктивный метод рассуждений -	Рассуждение от общего к частному
14	Индуктивный метод рассуждений -	Рассуждение от частного к общему
15	Числовая прямая –	Прямая, на которой выбрана точка отсчета, задан единичный отрезок и направление. Здесь «живут» все числа.
16	Степень-	Выражение а^п,заменяет произведение
17	Иррациональное уравнение-	Уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня (радикала)
18	Показательное уравнение-	Уравнение, в котором неизвестное находится в показателе степени
19	Логарифм-	Показатель степени, в которую надо возвести одно число, чтобы получить другое: log_ab-показатель степени, в которую надо возвести «а», чтобы получилось «в».

11. Словарь

20	Логарифмическое уравнение-	Уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма
21	Десятичный логарифм-	Логарифм по основанию 10
22	Натуральный логарифм-	Логарифм по основанию е.
23	Комбинаторика-	Раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).
24	Размещением из n элементов по k	Упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
25	Сочетанием из n по k	Набор k элементов, выбранных из данных n элементов
26	Перестановкой из n элементов	Всякий упорядоченный набор из этих элементов.
27	Вероятность события-	Отношение количества благоприятных исходов к количеству всех возможных исходов
28	Тригонометрия-	Раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии . Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).
29	Синус угла-	Ордината соответствующей точки на окружности
30	Косинус угла-	Абсцисса соответствующей точки на окружности
31	Тангенс угла-	Ордината соответствующей точки на оси тангенсов
32	Котангенс угла-	Абсцисса соответствующей точки на оси котангенсов
33	Дифференциальное исчисление-	Раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.
34	Интегральное исчисление-	Раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений
35	Производная-	Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
36	Дифференцирование-	Действие нахождения производной
37	Критические точки функции-	Точки, в которых производная равна 0 или не существует.
38	Исследовать функцию на монотонность-	Найти значения переменной, при которых функция возрастает или убывает.
39	Исследовать функцию на экстремумы-	1. Выяснить, есть экстремумы или нет 2. Если есть, то в каких точках 3. Какой экстремум –максимум или минимум 4. Чему равен.
40	Условие монотонности функции-	Если производная функции на некотором промежутке положительна, то функция на этом промежутке возрастает, если производная отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.
41	Достаточное условие существования экстремума	Если в некоторой точке производная равна 0и, кроме того, производная, проходя через нее, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.
42	Экономический смысл производной-	Позволяет · определять поведение изучаемого экономического показателя: увеличивается или уменьшается · определять, как быстро происходит изменение
43	Геометрический смысл производной-	Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику в данной точке.
44	Физический смысл производной-	Скорость изменения функции
45	Первообразная-	Функция, производная которой равна данной
46	Интегрирование-	Действие нахождения первообразной, обратное дифференцированию
47	Неопределенный интеграл-	Множество всех первообразных,
48	Определенный интеграл-	Число,
49	Криволинейная трапеция-	Фигура, ограниченная линиями: у=f(x),x=a, x=b,y=0(ось х)
50	Стереометрия-	Раздел геометрии, изучающий пространственные фигуры
51	Аксиома (постулат в геометрии)-	Утверждение, не требующее доказательства.
52	Теорема-	Утверждение, требующее доказательства
53	Основные (неопределяемые понятия)	Точка, прямая, плоскость
54	Параллельные -
	прямые	Лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
	плоскости	Не имеют общих точек
55	Перпендикулярные
	прямые	Пересекающиеся под прямым углом
	плоскости	При пересечении образуют прямой двугранный угол
56	Двугранный угол-	Угол, образованный двумя пересекаюшимися плоскостями
57	Линейный угол двугранного угла-	Угол, образованный двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными из одной точки ребра.
58	Признак-	Специальная теорема, описывающая необходимые характерные признаки объекта
59	Призма-	Многогранник,(от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани —параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
58	Призма
	-прямая	Боковое ребро перпендикулярно основанию
	-правильная	Прямая, у которой в основании правильный многоугольник
59	Пирамида	Многогранник, образованный n-угольником и n треугольниками, имеющими общую вершину
	-правильная	В основании правильный многоугольник и вершина проектируется в центр основания.
60	Параллелепипед-	Многогранник, образованный двумя параллельными многоугольниками и 4 параллелограммами.
	-прямой	Боковое ребро перпендикулярно основанию.
	-прямоугольный	Прямой, в основании – прямоугольник.
61	Куб-	Прямоугольный параллелепипед, все грани которого –квадраты.
62	Тетраэдр-	Треугольная пирамида.
63	Правильный тетраэдр-	Тетраэдр, у которого все грани – правильные треугольники.
64	Цилиндр (прямой круговой)-	Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг стороны
65	Конус(прямой круговой)-	Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
66	Сфера-	Множество точек пространства, одинаково удаленных от одной точки – центра.
		Тело, образованное вращением окружности вокруг диаметра.
66	Шар-	Тело, ограниченное сферой.

Скачать материал

Скачать материал "Учебное пособие по математике"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

В Пособии представлены задания по изучаемой программе, учитывающие требования к результатам освоения учебного курса «Математика», реально достижимых при массовом обучении в ходе реализации ФГОС среднего (полного) общего образования (базового уровня) в пределах ОПОП СПО.

Содержание Пособия формируется по принципу соответствия промежуточной аттестации в учреждениях профтехобразования и государственной итоговой аттестации в формате ЕГЭ. Основу составляют задания из сборников и пособий для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня, рекомендованных ФИПИ.

Пособие содержит Словарь – определения основных изученных понятий, терминов.

Пособие будет полезно преподавателям, студентам, а также родителям.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 671 709 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Из опыта работы "Осуществление руководством методического объединения".

10.09.2016
397
0

docx

Факультатив для одаренных детей

10.09.2016
800
2

docx

Открытый урок по математике "Логарифмы.Свойства логарифмов"

10.09.2016
569
0

docx

Урок геометрии в 11 классе

10.09.2016
476
0

docx

Урок по теме: "Повторение курса математики за 5 класс" (6 класс)

Рейтинг: 3 из 5

10.09.2016
15534
723

pptx

Открытый урок по математике на тему:" Признаки делимости на 2,5 и10

Рейтинг: 3 из 5

10.09.2016
1945
21

docx

Итоговый тест по теме Натуральные числа

Рейтинг: 4 из 5

10.09.2016
2523
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 10.09.2016 1258
- DOCX 667.7 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Малышева Ольга Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Малышева Ольга Алексеевна
- На сайте: 8 лет и 5 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 7000
- Всего материалов: 7