Уравнение эллипса, основные элементы. Решение задач

• 1 слайд

  Тема занятия: Уравнение эллипса, основные элементы.
  Решение задач.
  

• 2 слайд

  Цель занятия:
  продолжить формирование знаний, умений и навыков по кривым второго порядка, развивать умение применять теоретические знания для решения практических задач
  

• 3 слайд

  Задачи занятия:
  

• 4 слайд

  1. Командная проверка по пройденному материалу
  2. Исследовательское д.з
  3. Изучение нового материала
  4. «Своя игра»
  5. «Ромашка»
  6. Подведение итогов занятия
  
  
  
  
  
  Этапы занятия:
  

• 5 слайд

  Командная проверка по пройденному материалу
  

• 6 слайд

  1.
  2.
  
  3.
  
  4.
  
  5.
  1.Укажите уравнение окружности в нормальном виде:
  

• 7 слайд

  
  1.
  2.
  3.
  
  4.
  5.
  2. Укажите уравнение окружности радиусом 5 с центром в точке О (3;-2)
  

• 8 слайд

  
  1.
  2.
  
  3.
  
  4.
  5. нет верного ответа
  3. Найдите координаты центра и радиус окружности
  

• 9 слайд

  
  1.
  2.
  
  3.
  
  4.
  5. нет верного ответа
  4. Найдите координаты центра и радиус окружности
  

• 10 слайд

  
  1.
  2.
  
  3.
  4.
  
  5.
  5. Вычислить координаты центра и радиус окружности
  

• 11 слайд

  
  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  6. Вычислить координаты центра окружности
  

• 12 слайд

  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  

• 13 слайд

  1. А(-2,5;3,5), r=4
  2. А(0;-2,5), r=3
  3. А(3,5;0), r=5
  4. А(0,5;0,3), r=9
  5. А(5,7;5, 9), r=4
  8. Найти центр и радиус окружности
  х2+у2+5х-7у+2,5=0
  

• 14 слайд

  1. А(3;-2), r=6
  2. А(0;-2), r=3
  3. А(3;0), r=5
  4. А(0;0), r=9
  5. А(5;5), r=4
  9. Найти центр и радиус окружности
  х2+у2-6х+4у-23=0
  
  

• 15 слайд

  Исследовательское домашнее задание:
  3 команда
  

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

  Исследовательское домашнее задание:
  2 команда
  

• 19 слайд

  Мои наблюдения
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Уравнение эллипса, основные элементы. Решение задач
  

• 22 слайд

  «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
  Дьердье Пойа
  

• 23 слайд

  Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
  

• 24 слайд

  Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F1 и F2. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F1 F2 пополам.
  Обозначив F1 F2=2с, получим F1 (с;0)и F2(-с;0). М(х;у) произвольная точка эллипса
  Def: расстояния r1 =F1M и r2 =F2M называются фокальными радиусами точки М, тогда согласно определению эллипса 2а – величина постоянная, причем 2а >2c, т.е. а >c
  х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏 - каноническое (нормальное)уравнение эллипса
  
  х,у – текущие координаты эллипса, а и в – параметры, связанные с половиной расстояния между фокусами равенством а 𝟐 − с 𝟐 = в 𝟐
  
  

• 25 слайд

  Определим форму эллипса по его каноническому уравнению х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏
  Координаты точки О(0;0) не удовлетворяют каноническому уравнению, поэтому эллипс, определяемый этим уравнением, не проходит через начало координат
  Найдем точки пересечения эллипса с осями координат
  А) пусть в уравнении х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏 у=0 тогда х=±а следовательно, эллипс пересекает ось ОХ в точках А1 (а;0) и А2(-а;0)
  Б) пусть в уравнении х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏 х=0 тогда у=±в следовательно, эллипс пересекает ось ОУ в точках В1 (0;в) и В2(0; -в)
  Исследование формы эллипса по его уравнению
  

• 26 слайд

  3) Так как в уравнении х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏 переменные х и у входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно и относительно начала координат.
  4) Определим область изменения переменных х и у, т. к.
  х ≤а следовательно −а≤х≤а подставляем в каноническое уравнение
  х 𝟐 = а 𝟐 𝟏− у 𝟐 в 𝟐 следовательно 𝟏− у 𝟐 в 𝟐 ≥𝟎 и у ≤в, −в≤у≤в
  Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х=а,х=-а, у=в, у=-в.
  5) Перепишем уравнение х 𝟐 а 𝟐 + у 𝟐 в 𝟐 =𝟏 в виде у=± в а а 𝟐 − х 𝟐 и
  х=± а в в 𝟐 − у 𝟐 видно, что при возрастании х от 0 до а величина у убывает от в до 0, а при возрастании у от 0 до в величина х убывает от а до 0.
  

• 27 слайд

  Построим эллипс с помощью нити, карандаша и двух кнопок
  

• 28 слайд

  Точки А1, А2, В1, В2 пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.
  Отрезок А1 А2 ( А1 А2=2а, F1 ∈ А1 А2, F2 ∈ А1 А2) называется большой осью эллипса, а отрезок В1 В2 ( В1 В2=2в) – малой осью. Оси А1 А2 и В1 В2 являются осями симметрии эллипса, а точка О- центром симметрии эллипса
  
  

• 29 слайд

  эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой 𝜺.
  если а>в, то 𝜀= с а = а 2 − в 2 а
  если а<в, то 𝜀= с в = а 2 − в 2 в
  из этих формул видно, что 0≤𝜀≤1. При этом с увеличением разности между полуосями а и в увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между полуосями а и в уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю, поэтому по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет тем больше эллипс вытянут вдоль большей оси; чем меньше эксцентриситет, тем больше эллипс по форме ближе к окружности.
  В частности если в=а, то 𝜀 =0 и уравнение эллипса примет вид х2+у2=а2, которое определяет окружность радиуса а с центром в начале координат, таким образом окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.
  
  

• 30 слайд

  Определить длины осей и координаты фокусов эллипса, эксцентриситет 16х2+36у2=576
  
  

• 31 слайд

  «СВОЯ ИГРА»
  

• 32 слайд

  УРОВЕНЬ 1 (3 мин)
  

• 33 слайд

  УРОВЕНЬ 2 (5мин)
  

• 34 слайд

  УРОВЕНЬ 3 (7мин)
  

• 35 слайд

  Итог урока
  

• 36 слайд

  Домашнее задание
  Конспект, задачи 177,176
  

• 37 слайд

  Спасибо за урок