Урок Геометрический и физический смысл производной. изучение и первичное закрепление....

• 1 слайд

  Производные различных функций
  
  
  

• 2 слайд

  Выбери правильный ответ.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 4 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 5 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  6х
  

• 6 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 7 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 8 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 9 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 10 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 11 слайд

  Найдите произвлдную функции:
  Правильный ответ:
  

• 12 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 13 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 14 слайд

  Найдите производную функции:
  Правильный ответ:
  

• 1 слайд

  Математика
  группа 3\1б
  Преподаватель: Назарова Н.В
  

• 2 слайд

  Δ x
  Δ y
  X1
  X2
  Y1
  Y2
  X
  Y
  
  Рассмотрите чертеж и дайте определение
  производной функции
  

• 3 слайд

  Найдите производные функций
  Функция
  Производная
  

• 4 слайд

  Найдите производные функций
  функция
  производная
  

• 5 слайд

  функция
  производная
  Найдите производные функций
  

• 6 слайд

  Найдите производные функций
  Функция
  Производная
  

• 7 слайд

  Найдите производную функции в точке
  в точке
  
  
  

• 8 слайд

  x
  0 1
  y
  xo
  y=f(x)
  Найдите производную функции в точке х =-3
  

• 9 слайд

  x
  0 1
  y
  xo
  y=f(x)
  к а с а т е л ь н а я
  f/(xo)=-5
  f/(xo)=-3
  f/(xo)=1
  f/(xo)=-1
  f/(xo)=k
  

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

  Спасибо за занятие!
  

ПЛАН ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ

Дата проведения: 20.03.15

Дисциплина: Математика

Группа: 3\1б

Преподаватель: Назарова Наталья Владимировна

Тема занятия: Геометрический и физический смысл производной.

Тип занятия:  изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности

Цель занятия: Дать  геометрический и физический смысл производной и уметь находить производные в задачах прикладного характера.

Задачи:

 Образовательные:

·        Дать  геометрический и физический смысл производной;

·        Сформировать умение находить производные в задачах.

Развивающая:

·        Создать условия для развития  пространственного математического мышления;

Воспитательная:

·        Прививать интерес к математике, используя межпредметные связи

·        формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.

Методическая цель: показать применение индивидуальной работы с самостоятельным выбором уровня усвоения.

Оборудование и дидактический материал: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. «Мнемозина». 2008г. «Элементарная геометрия», А.П. Киселев, видеопроектор (мультимедийная презентация), КИМ (задания разного уровня сложности).

Ход занятия:

№	Наименование этапа	Время	Содержание этапа	Деятельность на занятии		Результат этапа
				преподавателя	студентов
1	Организационный этап	2 мин	Подготовка к занятию	Приветствие, определение отсутствующих	Подготовка к работе на занятии	Включение студентов в деятельность
2	Этап мотивации студентов	10 мин	Пример предметов; Постановка темы занятия; Формулирование целей урока;	Примеры фигур неизвестной формы. Постановка  целей;	Понимание того, что без четко поставленной цели трудно организовать собственную учебную деятельность	Формирование познавательной компетентности
3	Этап актуализации студентов	13 мин	Повторение темы пройденной на прошлом занятии;	Опрос студентов, оценивание ответов	Ответы на вопросы	Закрепление пройденного материала, выявление непонимания отдельных факторов
4	Этап усвоения новых знаний и способов деятельности	25 мин	Организация восприятия, осмысления и первичного запоминания теоретического материала	Объяснение решения задач жизненного характера;	Составление опорного конспекта. Осмысление нового материала, ответы на вопросы	Формирование познавательной, самообразовательной компетенций
5	Этап представления доклада	5 мин	Организация выступления студентов, осмысление материала	Сообщение темы доклада	Осмысление материала, ответы на вопросы	Формирование познавательной компетенции
4	Этап первичной проверки и понимания изученного	12 мин	Выявление пробелов первичного осмысления студентами изученного материала	Консультирование студентов	Осмысление материала, ответы на вопросы, конспектирование	Правильность, осознанность, полнота ответов студентов
5	Этап применения знаний и способов деятельности	15 мин	Организация самостоятельной работы студентов	Организация деятельности студентов по отработке изученных  действий посредством их применения в ситуациях по образцу и в измененных ситуациях	Выполнение самостоятельной работы	Умение пользоваться понятиями и теоремами в стандартных и измененных ситуациях
6	Этап постановки домашнего задания	2 мин	Информация о домашнем задании	Инструктаж по выполнению домашнего задания	Запись домашнего задания	Установка на выполнение домашнего задания студентами в соответствии с их учебными возможностями
7	Рефлексия	3 мин	Мобилизация студентов на рефлексию	Определение осознания студентами поставленной цели занятия, путем постановки вопросов	Осмысление результативности своей деятельности	Достижение поставленной цели
8	Этап подведения итогов занятия	3 мин	Подведение итогов учебного занятия	Оценка работы отдельных студентов	Обсуждают результаты деятельности	Оценка деятельности студентов

Дисциплина: математика.

Тема занятия: Геометрический и физический смысл производной.

Цель:

Ход урока.

Здравствуйте, присаживайтесь. Отметим, кого сегодня нет.

Мы с вами проходим производную функции, дайте определение производной, используя рисунок?

Изучены уже все правила нахождения производной, давайте их повторим и закрепим, устно найдите производные следующих функций.

Функция	Производная

Мы очень хорошо научились находить производную функции, если функция заданна аналитически(формулой), теперь найдем производную функции в точке.  Пример:  в точке , также       

а что если функция будет заданна графически, рассмотрим пример.

Приготовили доклад

1.     Историческая справка (доклад ученик) С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина “ производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже, Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице.

  Лагранж

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

  Ньютон

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в “Геометрии” Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

   Лейбниц

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

Учитель:  рассмотрите слайд №. Что изображено на сладе, объясните,  что такое х₁ и х₂,   у₁  и  у₂,     и.  Дайте определение производной функции

2.            Учитель математики:

·        В чем состоит физический смысл производной?  Ведь не даром у нас урок физики и математики (сформулировать: физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.)

– Так с помощью чего можно найти мгновенную скорость? (при помощи производных) – Тогда вспомним правила нахождения производных.  (Слайд 7-8)

·        Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, физике, так и по экономике, биологии и другим наукам.

3.     Учитель физики: (Слайд 9)

Производная – это скорость роста функции.

1.     Мощность – это производная работы по времени P = A'(t).

2.     Сила тока – производная от заряда по времени I = q'(t).

3.     Сила – есть производная работы по перемещению F = A'(x).

4.     Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).

5.     Давление – производная силы по площади P = F'(S)

6.     Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l_окр=S'_кр(R).  

7.     Успехи в учебе? Производная роста знаний.

Решим задачи по физике, используя применение производной:

1.    Если q (t) = t+ , в какой момент времени сила тока равна нулю? (Слайд 10)

Решим задачу с использованием производной.

Сила тока I – это производная от заряда q(t) 

I (t) = q'(t) = (t + )' = 1 –

I (t) = 0 при 1 –= 0

= 0

Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)

Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).

Задача 1.   Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону

 S(t) = t⁴ + t³ – t² + 8. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 секунды после начала движения?

1)    123             2) 111              3) 108           4) 121

Задача 2.   Через точку графика функции у = - 0,5 х² +4х + 7 с абсциссой х₀ =2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1)    -1                2) 2               3) 6                  4) 17

Задача 3.   Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции  y =  с осью ОХ, в точке с абсциссой х₀ = -2.

1)    45⁰             2) 30⁰            3)  60⁰           4) 135⁰

Задача 6. Материальная точка движется по закону

x(t) =  t³ – t² +9t +11 ( х – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 10 м/с²  ?

1)    6           2)  2             3)   3           4)  4

Итог урока

Ответим на следующие вопросы:

·        Что такое производная? (придел отношение приращения функции к приращению аргумента, если приращению аргумента стремиться к нулю).

·        Чему равна производная  в данной точке? (угловому коэффициенту, тангенсу угла наклона)

·        Что такое мгновенная скорость? (значению производной от перемещения в данный момент времени)

·        Что такое ускорение? (значению производной от уравнения скорости  в данный момент времени)

Тест. Вариант 1

1. Точка движется по закону S(t)=2t³+3t.

Чему равна скорость точки в момент времени t= 1c ?

А) 5                Е) 12         И) 9          К) 13

2. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции g(x)=4x² - х в точке х₀=1

Д) 8            С) 7                  В) 3

3. Найти силу, действующую на материальную точку массой З кг, движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t³ - 4,5t² при t=2c?

И) 27            Б) 30                  С) 81                   Т) 54

4. Найти производную функции

О)          Д )             

Тест. Вариант 2

5. Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=2t + 0,02t³ (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=5c?

Р) 2,0                           О) 1,5                                   Е) 3,5                    П) 4,0

6. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х² - Зх + 5 в точке =-1

Д)  у=-5х + 4                             Э) у=5х-4                                   Х) у=-5х

7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= +3t²-5.Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0.

А) 2             М) 4                 К) 8                   0) 6

8. В какой точке графика функции y = кx касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°?

     В) нет ответа

Тест. Вариант 3

9. Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с течением времени по закону q(t)=0,4t + 3t² + 1

Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2c

Ф)19                   А)12,4                   В)13                             И)21,04

10. Найти производную функции

11. Две материальные точки движутся по законам: X_l(t)=2,5t²-6t+l;    X₂(t) =0,5t² + 2t - 3

В какой момент времени их скорости равны?

Р)10                   Б) 4                 И) 2                          Ю) 7

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=2 - х² в точке х₀=3

А) у =2х +5           Е) у =-6х +11                  В) у = -Зх - 6                           Г) нет ответа 

Домашнее задание красворд

Вопросы кроссворда:

1.     Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
«Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
заданной точки «. (касательная)

2.     Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени. (кинематика)

3.       Какую  переменную обычно обозначают х? (аргумент)

4.     Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.) (непрерывная)

5.     Что является мерой изменения механической энергии?  (работа)

6.     Эта величина определяется как производная скорости по времени. (ускорение)

7.     Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют. (сложная)

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют ли они отношение к теме нашего урока? Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока. (Слайд 40).

А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились

«Слеп физик без математики»

Спасибо за урок!

Задания из банка задач к ЕГЭ (если останется время)

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m =4 кг

х(t) = t² +t + 1

t=3 с

W_к ?    F?   

Решение: необходимо вспомнить формулы: Кинетическая энергия-W =      и

Второй закон Ньютона  F = ma    (для решения необходимо найти скорость и ускорение)

Скорость есть функция времени, поэтому

  = х’(t)

  = 2t + 1 

 (3) = 7 м/с  

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = ’(t)      

a(t) =2м/с²   

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.

W =     

W = 98 Дж

F = ma   

F = 8 Н

Ответ: 98 Дж;  8 Н.

Химия :

Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем  t выражается уравнением: М(t) = Аt² +Bt, где А и В – постоянные. Какова скорость реакции?

Дано:

М(t)  = Аt² +Bt

Скорость химической реакции определяется:  = М’(t)   

 = 2 At+ B

Ответ: 2 At+ B

Биология:

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2

n’(t) ?

Решение:

n’(t) = (2 = 2 ( · (- 0,05t)’ = 2  · (- 0,05) = -0,1

Ответ: -0,1;  знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.