Урок геометрии в 10 классе на тему «Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых».

• 1 слайд

  Угол между прямыми в
  пространстве.
  Опр. Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости ( в котором лежат лучи), ограниченной этими лучами
  Опр. Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
  Опр. Две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом
  А
  В
  С
  а
  в
  О
  

• 2 слайд

  .
  .
  О
  О1
  А
  А1
  Опр. Два луча в пространстве называются одинаково
  направленными (сонаправленными),
  если один из них содержит другой
  или они лежат на параллельных прямых по одну сторону
  от прямой, соединяющей их вершины
  О
  О1
  h
  h1
  А
  А1
  

• 3 слайд

  Теорема об углах с сонаправленными сторонами
  Два угла с попарно сонаправленными сторонами равны
  Дано: О1 – вершина (h1 k 1);
  O2 – вершина (h2 k 2);
  h1, k 1 соответственно сонаправлены h2, k 2;
  Доказать: (h1 k 1)= (h2 k 2).
  
  Доказательство:
  Следствие. Углы, образованные соответственно, параллельными
  прямыми, равны.
  Пусть h1 1, k1 1, h2 2 , k2 2;
  Из условия следует, что 1|| 2 ( по признаку);
  Если О1О2 – проектирующая прямая, то при параллельном проектировании h1 переходит в h2, k1 в k2. Следовательно, (h1 k 1)= (h2 k 2).
  
  

• 4 слайд

  Опр. Углом между скрещивающимися
  прямыми а и в называется угол между
  пересекающимися прямыми а‘, в',
  соответственно параллельными данным.
  
  Рассмотрим какую-нибудь точку С в пространстве
  И проведём через неё прямые, параллельные прямым
  а и в соответственно.
  Точка С может принадлежать прямой а или в. В этом случае в качестве
  прямой а или в следует взять саму прямую а или в соответственно .
  а
  в
  в'
  С
  Пусть а и в заданные скрещивающиеся прямые.
  С
  а
  а‘
  в
  в'
  

• 5 слайд

  Опр. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
  
  Два отрезка будем называть перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.
  Углом между двумя отрезками будем называть угол между прямыми, на которых лежат эти отрезки.
  

• 6 слайд

  Свойство параллельных прямых
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к некоторой прямой, то и вторая прямая перпендикулярна к этой прямой
  
  с
  а в,
  в с
  а с
  а
  
  в
  

• 1 слайд

Наименование учреждения: ГУ СОШ №39 инновационного типа с гимназическими классами ФИО: Бураханова Райса Мендешевна Должность: учитель математики Стаж работы: 20 лет Категория: высшая, сертифицированный учитель второго ( основного) уровня Предмет: математика Тема: «Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых». Класс: 10, естественно-математического направления
КСП урока геометрии, 10  класс
Тема  урока:		«Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых».
Тип урока:		Урок изучения нового материала
Цели урока:		Образовательные: -Сформировать понятия угла в пространстве, угла между пересекающимися прямыми, угла между скрещивающимися прямыми;  перпендикулярные прямые; - рассмотреть теорему о равенстве углов и его следствии, свойство перпендикулярности прямых в пространстве; - сформировать умение решать задачи на углы в пространстве, использовать изученный материал для исследования реальных объектов. Развивающие: - развивать пространственное мышление, функциональную грамотность (навыки сотрудничества, оценивания, критического мышления, применения знаний к реальным ситуациям); стимулировать мыслительную деятельность; способствовать развитию внимания, наблюдательности. Воспитательные: - воспитывать познавательный интерес, коммуникативную компетентность.
Результаты обучения:		Учащиеся: Развивали умение применять изученный материал к реальной жизни, навыки мыслительной деятельности, навыки формирующего и суммативного оценивания, коммуникативные навыки, пространственное мышление. А – уч-ся знает определения угла в пространстве, угла между пересекающимися прямыми, угла между скрещивающимися прямыми, перпендикулярных прямых в пространстве, одинаково направленных лучей в пространстве, теорему о равенстве углов и его следствии, свойство перпендикулярности прямых в пространстве; В – учащийся умеет находить величину угла между прямыми; С – учащийся умело применяет материал  для решения задач по данной теме.
Ключевые идеи:		В пространстве некоторые теоретические положения аналогичны в плоскости, но есть существенные отличия, которые необходимо учитывать при решении задач.
Материал и оборудование:		Компьютеры, модели куба, «Листы оценивания участников групп», музыкальный трек для подачи звукового сигнала о завершении работы над заданием, приложения с задачами и их решениями, критериями оценивания заданий, презентационный материал для изучения теории.
Литература:		1)               И.Бекбоев и др.Учебник геометрия для 10 классов ЕМН общеобразовательных школ, Алматы «Мектеп» 2014; 2) Ж.Кайдасов, В.Гусев Геометрия 10 Дидактические материалы. Алматы «Мектеп» 2014; 3) Н.В.Бурмистрова. Проверочные работы с элементами тестирования.Геометрия 10. Саратов 2009; 4) П.И.Алтынов. Тесты.Геометрия 10-11 классы.М:2002;
Структура урока:		I.                 Орг.момент – 1 мин II.              Этап вызова –  3 мин          Формирование целостного представления изучаемого материала          через составление кластера. Целеполагание           III. Этап осмысления – 34 мин       - Изучение теоретического материала по электронному источнику с заполнением таблицы.         Парная работа.        -Рефлексирование теоретического материала – групповая работа        - Физминутка для глаз (из-за ограниченности объёма файла музыкальное сопровождение не вошло в матертиал)        -Проверка понимания темы – устная работа        - Решение задач с презентацией выполнения – групповая работа IV. Рефлексия-7мин        - Мини-тест за компьютерами – индивидуальная работа. Программа даёт возможность узнать в ходе тестирования правильность выполнения и «вес» задаваемого вопроса, а в конце тестирования посмотреть количество набранных баллов,  правильные ответы и  выбранный учащимся ответ. Задания дифференцированные и имеют свойство менять порядок следования.         - Возврат к целям         - Оценки за урок V. Запись домашнего задания.
Этапы урока				Действия учителя	Действия ученика	Время	Реализация 7 модулей
				На перемене организовать деление на группы	Делятся на группы при входе в кабинет по жетонам с одинаковой греческой буквой ( 3 группы по 5 человек)
Орг. момент	Положительный настрой на предстоящую работу			Здравствуйте, рада  вас снова видеть на уроке. Сегодня вы в составе групп «Альфа», «Бетта», «Гамма». Распределите роли. Лидеры групп отвечают за заполнение «Листов оценивания участников групп». Напоминаю, что лидеры групп должны комментировать баллы по ходу их выставления только для участников групп.	Приветствуют учителя. Распределяют роли в группе. Знакомятся с «Листом оценивания участников групп»	1 мин	ВО
Этап вызова	Целостность – кластер Выход на тему урока Целеполагание			Итак, мы с вами закончили изучать главу «параллельность в пространстве». И сегодня мы приступаем к изучению не менее важной главы это «Перпендикулярность в пространстве» (приклеить название кластера на доску). На ваш взгляд, при изучении данной главы, перпендикулярность каких фигур мы должны рассмотреть? (продолжить кластер по ответам учащихся) Верно. Сегодня мы с вами остановимся на перпендикулярности прямых, предварительно узнав, что такое угол между прямыми в пространстве. Итак, записываем тему урока: «Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых». Таким образом  к концу урока, что нового вы будете знать? Что уметь?	Составляют кластер. («Перпендикулярность в пространстве»   -перпендикуляр-  ность прямых       -перпендикулярность        прямой и плоскости                 -перпендикулярность                   плоскостей Записывают в тетрадь тему урока и дату Выдвигают цели на урок	3 мин	КМ ОдО
Этапы урока				Действия учителя	Действия ученика	Время	Реализация 7 модулей
Этап осмысления	1)Изучение теоретического материала 2)Муз. сигнал  ( mр3) о завершении работы в парах 3) Муз. сигнал  ( mр3) о завершении работы в группах			- А сейчас вам предоставляется возможность в паре за компьютером изучить теоретический материал по новой теме. В ходе изучения материала вам необходимо в тетрадях заполнить таблицу  из двух колонок: «Аналогично на плоскости» «Новое» Название презентации «Угол между прямыми в пространстве». Работу заканчиваем по сигналу. Всего отводится 10 минут. -Соберитесь в свои группы. Каждая группа выберите себе компьютер. Ваша задача: «листая» слайды свериться с друг другом таблицами. При этом можно обсуждать, консультироваться. (Подходить к каждой группе в ходе обсуждения) -Итак, что вы отнесли в колонку «Аналогично на плоскости»? -Что внесли в колонку «Новое»? -Эта таблица будет хорошим подспорьем при подготовке дома теории, своего рода план изложения теоретического материала.	Парная работа. Изучают теорию за компьютером (школьными ноутбуками). Заполняют таблицу в тетради. Работа в группе. Проверяют выполненное задание. Обсуждают. Рефлексируют Отвечает представитель каждой группы, по одному пункту. Кто не согласен, аргументируют свою позицию. ПРИЛОЖЕНИЕ№2	10мин 5 мин 2 мин	КМ ДО ИКТ ОдО, ТиО, ДО, УиЛ, НП, КМ, ИКТ КМ, ИКТ
Этапы урока				Действия учителя	Действия ученика	Время	Реализация 7 модулей
	4) Физ. минутка 5) Проверка понимания 6) Решение задач			- После работы за компьютером самое время выполнить гимнастику для глаз. -Ну, что же, зоркость глаз повысили. Примем теперь условно кабинет за модель прямоугольного параллелепипеда. Покажите пересекающиеся перпендикулярные прямые. С аргументацией. -Покажите примеры перпендикулярных скрещивающихся прямых. - Приведите ещё примеры перпендикулярных прямых в пространстве из окружающей жизни, принимая некоторые объекты условно за прямые. -Молодцы. С заданием справились. -А сейчас каждая группа получает свою задачу. Обсудите и оформите решение в тестовом режиме у себя в тетрадях.	Выполняют гимнастику для глаз, повторяя под музыку за учащимся, ответственным за физминутку. ПРИЛОЖЕНИЕ №3 Приводят с каждой группы по примеру перпендикулярных пересекающихся прямых на модели кабинета. ( Стыки потолка и стены, стены и стены, стены и пола) Приводят с каждой группы пример перпендикулярных скрещивающихся прямых (показать для определённого стыка). Приводят примеры перпенди-кулярных прямых в пространстве, из реальной жизни. (Столбы и провода, де-ревянная лестница, турник и др.) 1 группа - №1 стр.41 учебника 2 группа - №2 стр. 41 учебника ( 1 и 2 группа применяют модель куба) 3 группа – на карточке. Распределение ролей. Обсуж-дение решения задачи, обмен	1 мин 2 мин 1 мин 7 мин	ВО, ИКТ  ОдО КМ КМ, ВО КМ ТиО ДО
Этапы урока				Действия учителя	Действия ученика	Время	Реализация 7 модулей
	7) Муз. сигнал  ( mр3) о завершении работы в группах 8) Запас - устно			Применение учителем техники формативного оценивания «Измерение температуры». Слово каждой группе. Организация совместного устного оценивания выступления спикеров групп по критериям для внесения баллов в «Лист оценивания участников групп». - ( на доске) Сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой, можно провести через точку не лежащую на данной прямой? Почему? - А через данную на этой прямой точку? Почему?	мнениями. Выполнение рисунка на доске. ПРИЛОЖЕНИЕ№4 Спикеры озвучивают задачу и   рассказывают, в чём заключалось его решение. При необходимости отвечают на вопросы. Оценивают выступление групп по критериям, указанным на слайде ( Используют компь-ютеры). ПРИЛОЖЕНИЕ №5 Устная работа. ( Ответ: единственную. Так как по следствию из аксиомы, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну. А в плоскости отвечающий заданному условию вариант единственный). (Ответ: Бесконечно много – продемонстрировать. Так как можно провести бесконечно много плоскостей,  выбирая дополнительно произвольную точку)	6 мин	ОдО ОдО, ИКТ КМ, ТиО
Этапы урока			Действия учителя		Действия ученика	Время	Реализация 7 модулей
Рефлек-сия	Мини-тест		- Для подведения итогов изучения темы урока пройдите за компьютеры и выполните «Мини-тест». Итак, ранее  вы сказали, что к концу урока хотели бы: - знать, что называют углом между прямыми в пространстве, какие прямые называют перпендикулярными в пространстве; ВЫ узнали? -уметь приводить примеры перпендикулярных прямых; Вы умеете? -научиться применять изученный материал при решении задач. Вы научились?		Выполнение мини-теста, содержащего 3 разноуровне-вых вопроса. Оценивание в баллах программой тестирования. Самооценивание приёмом «светофор». «Зелёный» - да,  «жёлтый» - остались вопросы, «красный» - нет	3 мин 1 мин	ОдО, ИКТ
	Оценки за урок		-Лидеры групп выставьте оценку за урок каждому участнику вашей группы. Как было ранее сказано, всему классу оценки не аргументируются, так как они прокомментирова-ны внутри группы. Кто получил «5»? Кто – «4»? Тройки и двойки не выставляются, так как было изучение новой темы.		Лидеры выставляют оценки. Участники групп поднимают руки для обратной связи с учителем.	2 мин	ОдО УиЛ
Д/З			Орг.записи и д/з. Объявить о творческом задании (срок месяц):  начать создание презентации «Ситуации из реальной жизни в быту и на работе на применение знаний по главе ( куда входит и тема сегодняшнего урока) «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Основные критерии оценивания: соответствие содержания теме; наглядность; количество примеров, творческий подход. Спасибо за урок!		Записывают д/з §10 знать теорию. Стр.41 выполнить  №6(устно), №7(а) 1, 2 гр. - стр.40,  доказать следствие, 3 гр. – стр. 41,  доказать свойство.	1 мин	ВО ТиО

ПРИЛОЖЕНИЕ №2         

                                                   Изучение теории

«Аналогично на плоскости»	«Новое»
Определение угла	Определение угла между двумя пересекающимися прямыми
Определение перпендикулярных прямых	Определение одинаково направленных (сонаправленных) лучей
Перпендикулярные отрезки	Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами
Угол между отрезками	Следствие о равенстве углов образованных  соответственно параллельными прямыми
Свойство перпендикулярности прямых	Определение угла между скрещивающимися прямыми
	Определение перпендикулярных скрещивающихся прямых

Гимнастика для глаз «Десяточка»

1.    Смотрим вверх-вниз с максимальной амплитудой.

2.    Чертим круг по часовой стрелке и обратно.

3.    Рисуем глазами диагонали.

4.    Рисуем взглядом квадрат.

5.    Обводим взглядом ромб.

6.    Рисуем глазами бантики.

7.    Рисуем букву S – сначала в горизонтальном положении, потом в вертикальном.

8.    Чертим глазами дугу, сначала по часовой стрелке, потом – против.

9.    Переводим взгляд из одного угла в другой по диагоналям квадрата.

10.                      Часто-часто моргаем веками – как бабочка машет крылышками.

ПРИЛОЖЕНИЕ №4

№1, стр. 41 учебника

   АВСDABCD - куб. Найдите угол между прямыми ВВ  и АD.

             B                                          C

  A                                         D

                B                                         C

        

   А                                           D

Решение.

ВВ и АD- скрещивающиеся прямые по определению.

Так как все грани куба являются квадратами, то АА|| ВВ, как противоположные стороны квадрата и угол ААD = 45 по свойству диагоналей квадрата. Следовательно,  угол между прямыми ВВ  и АD равен 45  по определению угла между скрещивающимися прямыми.

№2 , стр. 41 учебника

АВСDABCD - куб. Найдите угол между скрещивающимися прямыми

А D и BC.

             B                                          C

  A                                         D

                             О

                B                                         C

        

    А                                       D

Решение.

Все грани куба являются равными квадратами. Поэтому АВ = DС.

АВ || DС по признаку параллельности прямых в пространстве. Следовательно, АВСD – параллелограмм по признаку.

Поэтому АD ||  ВС. Тогда  угол между скрещивающимися прямыми

А D и BC равен углу АОD  и равен 90

Ответ

Задача  для третьей группы.

Доказательство.

Из условия следует, что MN – средняя линия треугольника АВС, по определению.

MN||ВС по свойству средней линии треугольника, ВС    АD по условию. Следовательно, АD    MN. Что и требовалось доказать.

Лист оценивания участников группы

№	Ф.И.уч-ся	I. Начало урока 2 балла	II. Теория Макс.4б	III. Приведение примеров 2 балла	IV. Решение задачи		V. Устно (Запас) 2 б.	VI. Мини-тест Макс. 6 б.	Итого	Оценка «5», 20-24 баллов «4», 15-19 баллов
					Работа в группе Макс.4б	Оценка решения Макс.4б.

		1 балл	2 балла	3 балла	+1балл	Максимально
I	Начало урока	Участвовал в составлении кластера, либо в выдвижении целей урока	Участвовал в составлении кластера, в выдвижении целей урока	-		2 балла
II	Теория	Частично справился с заполнением таблицы	Справился с заполнением таблицы	Справился с заполнением таблицы и консультировал	Выступал от группы	4 балла
IV	Решение задачи	Понял решение задачи	Выдвигал идеи, которые были использованы в решении задачи	«Основной двигатель» решения задачи	Участие в презентации	4 балла