Урок на тему "Прогрессии"

ПРОГРЕССИИ

План урока дан для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе. Изучение арифметической и геометрической прогрессий проводится параллельно.

Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит – понять предмет". (К.Д. Ушинский)

Сравнение – сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и черт различия между ними. Суждения, выражающие результат сравнения, служат цели раскрытия содержания понятий сравниваемых объектов". (Философский словарь)

Цели урока:

1. Образовательные – продолжить работу над определениями  арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; характеристическими свойствами, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии.

2. Развивающие – продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма проведения урока:

Индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Оборудование на уроке: Ноутбук  (3 штуки),  мультимедийный проектор,

Структура урока:

I.                    Подготовительный этап ( мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

II.                 Актуализация ЗУН

III.              Отработка ЗУН по теме

IV.              Самостоятельная работа

V.                 Сравнение и решение задач практического направления

VI.              Применение свойств прогрессий к решению уравнений

VII.           Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

I     Подготовительный этап  

Тему сегодняшнего урока мы узнаем, отгадав кроссворд

                             

1.    Как называется график квадратичной функции?

1. Математическое предложение, справедливость которого доказывается.
2. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.
3. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся  России начинают её изучать с 7 класса.
4. Линия на плоскости, задаваемая уравнением  Y=кх+b
5. Числовой промежуток
6. Предложение, принимаемое без доказательства
7. Прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении в бесконечность
8. Название второй координаты на плоскости
9. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений. 

Итак, тема урока «Прогрессии».  «Прогрессия" – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность

А почему во множественном числе, какие знаете прогрессии, дать определение.

Сегодня на уроке мы подведем итог по теме «Прогрессии», решая задачи, определить к какому виду прогрессии она относится, и какие свойства надо применить.

II.Актуализация знаний 

1)Но прежде проверим знания по теме.

     А) Заполнить таблицу (за отворотом доски, потом проверить)

	Арифметическая прогрессия   ( ¸)	Геометрическая Прогрессия  (  )
Определение
Формула n-го члена
Характеристическое свойство
Формула суммы n членов

   Б) за последними партами за Ноутбуками  решить задачи тестирующей программы  из раздела «Дополнительные задания» (см. приложение)

  В)  2 ученика на месте  выполняют тест (можно предложить выполнить не все задания, а конкретные номера)

2) Остальные учащиеся   устно выполняют задания:  (задания проектируются на экран)

Каждой из предложенных последовательностей дать характеристику (задание на узнавание последовательности)

(a_n):  a_n=5n                             арифмет.прогрессия.

(b_n):  b_n=1;    b_n+1=5b_n               геометр.прогрессия.

(с_n):  с₁=1;     c_n+1=c_n  -5            арифмет.прогрессия

(d_n):  1;2;4;8;…                       геометр.прогрессия.

(x_n):  1;4;9;16;…                     числовая последовательность

(y_n):  1;-2;4;-8;…                     геометр.прогрессия.

(z_n):  z_n=10·3^n-1                        геометрич.прогрессия

3)

Это ошибочное мнение. График прогрессии это множество точек плоскости  на множестве натуральных чисел

   Появление верных графиков.

4) 1.Дана геометрическая прогрессия  (b_n):  b₁ = 25, q = .Не решая задачи, выяснить:

  Может ли среди членов этой прогрессии находиться число 50?

   2.Дана арифметическая прогрессия:   1, 4, 7, 10, 13, ... .Не решая задачи, выяснить:

   Может ли на сотом месте стоять число 297. Сделайте вывод.

5)      Проверить ответ учащегося, заполнявшего таблицу доски, с помощью учащихся

6)      Отметить результаты теста на месте и по тестирующей программе, в это время учащиеся класс записывают тему урока

III. Отработка ЗУН

1)Петя довольный пришел из школы и предложил папе

 заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит

1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.

Как вы думаете, в каком классе

учится Петя, и что нового он узнал

в школе

Петя в 9 классе,  на уроке алгебры была тема «Сумма членов геометрической прогрессии»и на уроке рассматривалась задача :

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат, ученого Сету, и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше и т.д. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"

2 ⁶⁴-1

18 446 744 073 709 551 615

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной  человечеством  до настоящего времени.

Петя должен получить   2³⁴-1 или    171798691,83руб

1в. 1	2в.1	1в.2	2в2

IV Самостоятельная работа (при проведении двойного урока)

Выполнить задание, выбрать соответствующую букву и заполнить таблицу

Первый получает приз

I вариант                                                                                        2 вариант.

1.Дано: (а_n) арифметическая прогрессия               1.  Дано: (а_n) арифметическая прогрессия

        а₁=20,     d=4.                                                                   а₁=1,7,     d=-0,2.   

Найти:  а₅                         (36)                                                          Найти:  а₈         (0.3)

2.  Дано: (b_n) геометрическая прогрессия           2. Дано: (b_n) геометрическая  прогрессия              

      b₂= 8;        b₃= -32                                                     b₂= -8;        b₃= 32

Найти: S₄                    (102)                                           Найти: S₄      (-102)

Выбрать буквы соответствующие ответу:

102	3.5	36	0,3	33	-2.5	-102	0.7
С	Г	Х	А	О	М	И	Ф

1в. 1	2в.1	1в.2	2в2
Х	А	С	И

В Японии палочки для еды называются хаси. Одной  из традиций является вручение палочек детям на 100 с момента рождения день, т.к. считается, что использование их для еды детьми влияет на интеллектуальное развитие.  Учащимся, которые  первыми решат работу  вручить приз – хаси.

V. Сравнение и решение задач практического направления

3)Задачи 1 и 2  обсудить, выяснив алгоритм решения и свойства прогрессий, которые надо применить:

Задача 1.При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Задача2

Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 ряда

Что общего в решении этих задач и что из различает

Решение у доски

Задача 3.  Отдыхающий, следуя совету врача, загорал первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал загорать в среду.

Решение:

а₁=5, d=5, а_n=40  Þ   n=8.  Т.е. на восьмой день, т.е. опять в среду.

Задача 510.   (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 рублей на 5 лет под 20% годовых.  Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

Задача 472 (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась 22 у.е?

Решение:

а₁=26  d= -2,  а_n=28-2n,     S_n=27n-n²,      ,        9n²-41n-360=0,        n=9 (nÎN)

Ответ: 9 колец

Задача 526.   (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)

  Два приятеля положили в банк по 10 000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй  - с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение: вклад изменяется в одно и тоже число т.е. геометрическая прогрессия

1 приятель                                                                            2 приятель

b₁=10 000                                                                               b₁=10 000

4 квартала, т.е. найти b₅                                                                                   в конце года, т.е. найти b₂

q=1,1                                                                                       q=1,45

b₅=14 641 рубль,                                                                    b₂=  14 500

 Ответ:   первый больше.

(Задачи  510, 526,472 являются резервными, если урок один, или основными, если проводится сдвоенный урок)

VI. Применение свойств прогрессий к решению уравнений

Прочти задачу.

    Вычислить:  2 + 4 + 8 + 16 + ... + 256 + 512.

    Расставь этапы решения задачи в правильном порядке:

             1. найти номер последнего члена прогрессии;

             2. найти знаменатель или разность прогрессии;

             3. вычислить искомую сумму;

             4. определить вид прогрессии.

                                          1. определить вид прогрессии.

                                          2. найти знаменатель или разность прогрессии;

                                          3. найти номер последнего члена прогрессии;

                                          4. вычислить искомую сумму;

S₉=2*(2⁹ – 1)=2*511=1022

 Используя, полученный алгоритм подумайте над вопросом « Как решить уравнения?»

Решить уравнение

1) (x² + x + 1) + (x² + 2x + 3) + (x² + 3x + 5) + . . . + (x² + 20x + 39) = 4500

Каждое слагаемое отличается на (х+2), следовательно арифметическая прогрессия, где а₁= x² + x + 1

a_n= x² + 20x + 39 ,     a_n= а₁+(x+2)(n-1),       n=20,                   

(x² + x + 1+ x² + 20x + 39)*20:2=4500

(2x² +21 x + 40)10=4500,

2x² +21 x + 40=450,

2x² +21 x – 410 =0,

Ответ:   10; - 20,5                                             x=10,     x=-20,5

Решить уравнение

2)  + x + x² + x³  + . . .  = ,  x < 1.

          +1+ x + x² + x³  + . . .  = 1+3,5   ,  

Бесконечная убывающая прогрессия с q=x, q<1, тогда  S=, т.е.    =4,5 и т.д.

Ответ:,

VII. Подведение итогов и домашнее задание:

Решить уравнение

1).    (обсудить характеристическое свойство ариф.прогрессии)

2). 2x + 1 + x² - x³ + x⁴ - x⁵ + . . . =  , x < 1  (обсудить преобразование левой части и её вид)

3)№ 521, 522  (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)

 Считать  несчастным  тот  день  или тот  час,  в  который  ты  не  усвоил

ничего  нового,  ничего  не  прибавил  к своему образованию.

                                                                                                                  Ян Амос Коменский

Оцените  свои  знания  и  умения  на конец  урока.  Был  ли  полезен  урок

для каждого из вас? Чем?